Aljabar Contoh

$x^{3} - 2 x^{2} + 10 x + 136$

Langkah 1

Atur $x^{3} - 2 x^{2} + 10 x + 136$ sama dengan $0$ .

$x^{3} - 2 x^{2} + 10 x + 136 = 0$

Langkah 2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Faktorkan $x^{3} - 2 x^{2} + 10 x + 136$ menggunakan uji akar rasional.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 136, \pm 2, \pm 68, \pm 4, \pm 34, \pm 8, \pm 17$

$q = \pm 1$

Langkah 2.1.2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm 136, \pm 2, \pm 68, \pm 4, \pm 34, \pm 8, \pm 17$

Langkah 2.1.3

Substitusikan $- 4$ dan sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $- 4$ adalah akar dari polinomialnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Substitusikan $- 4$ ke dalam polinomialnya.

${(- 4)}^{3} - 2 {(- 4)}^{2} + 10 \cdot - 4 + 136$

Langkah 2.1.3.2

Naikkan $- 4$ menjadi pangkat $3$ .

$- 64 - 2 {(- 4)}^{2} + 10 \cdot - 4 + 136$

Langkah 2.1.3.3

Naikkan $- 4$ menjadi pangkat $2$ .

$- 64 - 2 \cdot 16 + 10 \cdot - 4 + 136$

Langkah 2.1.3.4

Kalikan $- 2$ dengan $16$ .

$- 64 - 32 + 10 \cdot - 4 + 136$

Langkah 2.1.3.5

Kurangi $32$ dengan $- 64$ .

$- 96 + 10 \cdot - 4 + 136$

Langkah 2.1.3.6

Kalikan $10$ dengan $- 4$ .

$- 96 - 40 + 136$

Langkah 2.1.3.7

Kurangi $40$ dengan $- 96$ .

$- 136 + 136$

Langkah 2.1.3.8

Tambahkan $- 136$ dan $136$ .

$0$

Langkah 2.1.4

Karena $- 4$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $x + 4$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menemukan akar yang belum diketahui.

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} + 10 x + 136}{x + 4}$

Langkah 2.1.5

Bagilah $x^{3} - 2 x^{2} + 10 x + 136$ dengan $x + 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.5.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x$

$4$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$10 x$

$136$

Langkah 2.1.5.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $x^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$10 x$	+	$136$

Langkah 2.1.5.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$10 x$	+	$136$
			+	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Langkah 2.1.5.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $x^{3} + 4 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$10 x$	+	$136$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Langkah 2.1.5.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$10 x$	+	$136$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$

Langkah 2.1.5.6

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$x^{2}$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$10 x$	+	$136$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$10 x$

Langkah 2.1.5.7

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- 6 x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$10 x$	+	$136$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$10 x$

Langkah 2.1.5.8

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$10 x$	+	$136$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$10 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$24 x$

Langkah 2.1.5.9

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- 6 x^{2} - 24 x$

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$10 x$	+	$136$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$10 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$24 x$

Langkah 2.1.5.10

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$10 x$	+	$136$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$10 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$24 x$
							+	$34 x$

Langkah 2.1.5.11

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$10 x$	+	$136$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$10 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$24 x$
							+	$34 x$	+	$136$

Langkah 2.1.5.12

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $34 x$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$34$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$10 x$	+	$136$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$10 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$24 x$
							+	$34 x$	+	$136$

Langkah 2.1.5.13

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$34$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$10 x$	+	$136$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$10 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$24 x$
							+	$34 x$	+	$136$
							+	$34 x$	+	$136$

Langkah 2.1.5.14

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $34 x + 136$

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$34$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$10 x$	+	$136$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$10 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$24 x$
							+	$34 x$	+	$136$
							-	$34 x$	-	$136$

Langkah 2.1.5.15

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$34$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$10 x$	+	$136$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$10 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$24 x$
							+	$34 x$	+	$136$
							-	$34 x$	-	$136$
										$0$

Langkah 2.1.5.16

Karena sisanya adalah $0$ , maka jawaban akhirnya adalah hasil baginya.

$x^{2} - 6 x + 34$

Langkah 2.1.6

Tulis $x^{3} - 2 x^{2} + 10 x + 136$ sebagai himpunan faktor.

$(x + 4) (x^{2} - 6 x + 34) = 0$

Langkah 2.2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x + 4 = 0$

$x^{2} - 6 x + 34 = 0$

Langkah 2.3

Atur $x + 4$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Atur $x + 4$ sama dengan $0$ .

$x + 4 = 0$

Langkah 2.3.2

Kurangkan $4$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 4$

Langkah 2.4

Atur $x^{2} - 6 x + 34$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Atur $x^{2} - 6 x + 34$ sama dengan $0$ .

$x^{2} - 6 x + 34 = 0$

Langkah 2.4.2

Selesaikan $x^{2} - 6 x + 34 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 2.4.2.2

Substitusikan nilai-nilai $a = 1$ , $b = - 6$ , dan $c = 34$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $x$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 34)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.3.1.1

Naikkan $- 6$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 34}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.3.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot 34$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.3.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 34}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.3.1.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $34$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 136}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.3.1.3

Kurangi $136$ dengan $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 100}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.3.1.4

Tulis kembali $- 100$ sebagai $- 1 (100)$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 100}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.3.1.5

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (100)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{100}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{100}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.3.1.6

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{100}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.3.1.7

Tulis kembali $100$ sebagai $10^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{10^{2}}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.3.1.8

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \frac{6 \pm i \cdot 10}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.3.1.9

Pindahkan $10$ ke sebelah kiri $i$ .

$x = \frac{6 \pm 10 i}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.3.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$x = \frac{6 \pm 10 i}{2}$

Langkah 2.4.2.3.3

Sederhanakan $\frac{6 \pm 10 i}{2}$ .

$x = 3 \pm 5 i$

Langkah 2.4.2.4

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$x = 3 + 5 i, 3 - 5 i$

Langkah 2.5

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(x + 4) (x^{2} - 6 x + 34) = 0$ benar.

$x = - 4, 3 + 5 i, 3 - 5 i$

Langkah 3