Aljabar Contoh

$x^{4} - 4 x^{3} = 6 x^{2} - 12 x$

Langkah 1

Pindahkan semua suku yang mengandung $x$ ke sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kurangkan $6 x^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x^{4} - 4 x^{3} - 6 x^{2} = - 12 x$

Langkah 1.2

Tambahkan $12 x$ ke kedua sisi persamaan.

$x^{4} - 4 x^{3} - 6 x^{2} + 12 x = 0$

Langkah 2

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Faktorkan $x$ dari $x^{4} - 4 x^{3} - 6 x^{2} + 12 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Faktorkan $x$ dari $x^{4}$ .

$x \cdot x^{3} - 4 x^{3} - 6 x^{2} + 12 x = 0$

Langkah 2.1.2

Faktorkan $x$ dari $- 4 x^{3}$ .

$x \cdot x^{3} + x (- 4 x^{2}) - 6 x^{2} + 12 x = 0$

Langkah 2.1.3

Faktorkan $x$ dari $- 6 x^{2}$ .

$x \cdot x^{3} + x (- 4 x^{2}) + x (- 6 x) + 12 x = 0$

Langkah 2.1.4

Faktorkan $x$ dari $12 x$ .

$x \cdot x^{3} + x (- 4 x^{2}) + x (- 6 x) + x \cdot 12 = 0$

Langkah 2.1.5

Faktorkan $x$ dari $x \cdot x^{3} + x (- 4 x^{2})$ .

$x (x^{3} - 4 x^{2}) + x (- 6 x) + x \cdot 12 = 0$

Langkah 2.1.6

Faktorkan $x$ dari $x (x^{3} - 4 x^{2}) + x (- 6 x)$ .

$x (x^{3} - 4 x^{2} - 6 x) + x \cdot 12 = 0$

Langkah 2.1.7

Faktorkan $x$ dari $x (x^{3} - 4 x^{2} - 6 x) + x \cdot 12$ .

$x (x^{3} - 4 x^{2} - 6 x + 12) = 0$

Langkah 2.2

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Faktorkan $x^{3} - 4 x^{2} - 6 x + 12$ menggunakan uji akar rasional.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1$

Langkah 2.2.1.2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

Langkah 2.2.1.3

Substitusikan $- 2$ dan sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $- 2$ adalah akar dari polinomialnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.3.1

Substitusikan $- 2$ ke dalam polinomialnya.

${(- 2)}^{3} - 4 {(- 2)}^{2} - 6 \cdot - 2 + 12$

Langkah 2.2.1.3.2

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $3$ .

$- 8 - 4 {(- 2)}^{2} - 6 \cdot - 2 + 12$

Langkah 2.2.1.3.3

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $2$ .

$- 8 - 4 \cdot 4 - 6 \cdot - 2 + 12$

Langkah 2.2.1.3.4

Kalikan $- 4$ dengan $4$ .

$- 8 - 16 - 6 \cdot - 2 + 12$

Langkah 2.2.1.3.5

Kurangi $16$ dengan $- 8$ .

$- 24 - 6 \cdot - 2 + 12$

Langkah 2.2.1.3.6

Kalikan $- 6$ dengan $- 2$ .

$- 24 + 12 + 12$

Langkah 2.2.1.3.7

Tambahkan $- 24$ dan $12$ .

$- 12 + 12$

Langkah 2.2.1.3.8

Tambahkan $- 12$ dan $12$ .

$0$

Langkah 2.2.1.4

Karena $- 2$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $x + 2$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menemukan akar yang belum diketahui.

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 6 x + 12}{x + 2}$

Langkah 2.2.1.5

Bagilah $x^{3} - 4 x^{2} - 6 x + 12$ dengan $x + 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.5.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$6 x$

$12$

Langkah 2.2.1.5.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $x^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$12$

Langkah 2.2.1.5.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$12$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Langkah 2.2.1.5.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $x^{3} + 2 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Langkah 2.2.1.5.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$

Langkah 2.2.1.5.6

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$6 x$

Langkah 2.2.1.5.7

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- 6 x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$6 x$

Langkah 2.2.1.5.8

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$12 x$

Langkah 2.2.1.5.9

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- 6 x^{2} - 12 x$

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$

Langkah 2.2.1.5.10

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$6 x$

Langkah 2.2.1.5.11

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$6 x$	+	$12$

Langkah 2.2.1.5.12

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $6 x$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$6$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$6 x$	+	$12$

Langkah 2.2.1.5.13

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$6$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$6 x$	+	$12$
							+	$6 x$	+	$12$

Langkah 2.2.1.5.14

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $6 x + 12$

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$6$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$6 x$	+	$12$
							-	$6 x$	-	$12$

Langkah 2.2.1.5.15

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$6$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$6 x$	+	$12$
							-	$6 x$	-	$12$
										$0$

Langkah 2.2.1.5.16

Karena sisanya adalah $0$ , maka jawaban akhirnya adalah hasil baginya.

$x^{2} - 6 x + 6$

Langkah 2.2.1.6

Tulis $x^{3} - 4 x^{2} - 6 x + 12$ sebagai himpunan faktor.

$x ((x + 2) (x^{2} - 6 x + 6)) = 0$

Langkah 2.2.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$x (x + 2) (x^{2} - 6 x + 6) = 0$

Langkah 3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x^{2} - 6 x + 6 = 0$

Langkah 4

Atur $x$ sama dengan $0$ .

$x = 0$

Langkah 5

Atur $x + 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Atur $x + 2$ sama dengan $0$ .

$x + 2 = 0$

Langkah 5.2

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 2$

Langkah 6

Atur $x^{2} - 6 x + 6$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Atur $x^{2} - 6 x + 6$ sama dengan $0$ .

$x^{2} - 6 x + 6 = 0$

Langkah 6.2

Selesaikan $x^{2} - 6 x + 6 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 6.2.2

Substitusikan nilai-nilai $a = 1$ , $b = - 6$ , dan $c = 6$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $x$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 6)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 6.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1.1

Naikkan $- 6$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Langkah 6.2.3.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Langkah 6.2.3.1.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $6$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2 \cdot 1}$

Langkah 6.2.3.1.3

Kurangi $24$ dengan $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Langkah 6.2.3.1.4

Tulis kembali $12$ sebagai $2^{2} \cdot 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1.4.1

Faktorkan $4$ dari $12$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 6.2.3.1.4.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Langkah 6.2.3.1.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Langkah 6.2.3.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Langkah 6.2.3.3

Sederhanakan $\frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 3 \pm \sqrt{3}$

Langkah 6.2.4

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$x = 3 + \sqrt{3}, 3 - \sqrt{3}$

Langkah 7

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $x (x + 2) (x^{2} - 6 x + 6) = 0$ benar.

$x = 0, - 2, 3 + \sqrt{3}, 3 - \sqrt{3}$

Langkah 8

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$x = 0, - 2, 3 + \sqrt{3}, 3 - \sqrt{3}$

Bentuk Desimal:

$x = 0, - 2, 4.73205080 \dots, 1.26794919 \dots$

Langkah 9