Aljabar Contoh

$\frac{x - 1}{x + 2} > \frac{x - 5}{x - 3}$

Langkah 1

Kurangkan $\frac{x - 5}{x - 3}$ pada kedua sisi pertidaksamaan tersebut.

$\frac{x - 1}{x + 2} - \frac{x - 5}{x - 3} > 0$

Langkah 2

Sederhanakan $\frac{x - 1}{x + 2} - \frac{x - 5}{x - 3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Untuk menuliskan $\frac{x - 1}{x + 2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{x - 1}{x + 2} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{x - 5}{x - 3} > 0$

Langkah 2.2

Untuk menuliskan $- \frac{x - 5}{x - 3}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{x - 1}{x + 2} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{x - 5}{x - 3} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} > 0$

Langkah 2.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $(x + 2) (x - 3)$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Kalikan $\frac{x - 1}{x + 2}$ dengan $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{(x - 1) (x - 3)}{(x + 2) (x - 3)} - \frac{x - 5}{x - 3} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} > 0$

Langkah 2.3.2

Kalikan $\frac{x - 5}{x - 3}$ dengan $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{(x - 1) (x - 3)}{(x + 2) (x - 3)} - \frac{(x - 5) (x + 2)}{(x - 3) (x + 2)} > 0$

Langkah 2.3.3

Susun kembali faktor-faktor dari $(x - 3) (x + 2)$ .

$\frac{(x - 1) (x - 3)}{(x + 2) (x - 3)} - \frac{(x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Langkah 2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{(x - 1) (x - 3) - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Langkah 2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Perluas $(x - 1) (x - 3)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x (x - 3) - 1 (x - 3) - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Langkah 2.5.1.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 3 - 1 (x - 3) - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Langkah 2.5.1.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 3 - 1 x - 1 \cdot - 3 - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Langkah 2.5.2

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 3 - 1 x - 1 \cdot - 3 - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Langkah 2.5.2.1.2

Pindahkan $- 3$ ke sebelah kiri $x$ .

$\frac{x^{2} - 3 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 3 - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Langkah 2.5.2.1.3

Tulis kembali $- 1 x$ sebagai $- x$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - x - 1 \cdot - 3 - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Langkah 2.5.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 3$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - x + 3 - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Langkah 2.5.2.2

Kurangi $x$ dengan $- 3 x$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 - (x - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Langkah 2.5.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 + (- x - - 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Langkah 2.5.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 5$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 + (- x + 5) (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Langkah 2.5.5

Perluas $(- x + 5) (x + 2)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.5.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 - x (x + 2) + 5 (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Langkah 2.5.5.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 - x \cdot x - x \cdot 2 + 5 (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Langkah 2.5.5.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 - x \cdot x - x \cdot 2 + 5 x + 5 \cdot 2}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Langkah 2.5.6

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.6.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.6.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.6.1.1.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 - (x \cdot x) - x \cdot 2 + 5 x + 5 \cdot 2}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Langkah 2.5.6.1.1.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 - x^{2} - x \cdot 2 + 5 x + 5 \cdot 2}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Langkah 2.5.6.1.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 - x^{2} - 2 x + 5 x + 5 \cdot 2}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Langkah 2.5.6.1.3

Kalikan $5$ dengan $2$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 - x^{2} - 2 x + 5 x + 10}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Langkah 2.5.6.2

Tambahkan $- 2 x$ dan $5 x$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 3 - x^{2} + 3 x + 10}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Langkah 2.5.7

Kurangi $x^{2}$ dengan $x^{2}$ .

$\frac{- 4 x + 3 + 0 + 3 x + 10}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Langkah 2.5.8

Tambahkan $- 4 x$ dan $0$ .

$\frac{- 4 x + 3 + 3 x + 10}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Langkah 2.5.9

Tambahkan $- 4 x$ dan $3 x$ .

$\frac{- x + 3 + 10}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Langkah 2.5.10

Tambahkan $3$ dan $10$ .

$\frac{- x + 13}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Langkah 2.6

Faktorkan $- 1$ dari $- x$ .

$\frac{- (x) + 13}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Langkah 2.7

Tulis kembali $13$ sebagai $- 1 (- 13)$ .

$\frac{- (x) - 1 (- 13)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Langkah 2.8

Faktorkan $- 1$ dari $- (x) - 1 (- 13)$ .

$\frac{- (x - 13)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Langkah 2.9

Tulis kembali $- (x - 13)$ sebagai $- 1 (x - 13)$ .

$\frac{- 1 (x - 13)}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Langkah 2.10

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{x - 13}{(x + 2) (x - 3)} > 0$

Langkah 3

Tentukan semua nilai di mana ungkapan berbalik dari negatif ke positif dengan mengatur setiap faktor agar sama dengan $0$ dan menyelesaikannya.

$x - 13 = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 3 = 0$

Langkah 4

Tambahkan $13$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 13$

Langkah 5

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 2$

Langkah 6

Tambahkan $3$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 3$

Langkah 7

Selesaikan setiap faktor untuk menemukan nilai di mana pernyataan nilai mutlaknya berubah dari negatif ke positif.

$x = 13$

$x = - 2$

$x = 3$

Langkah 8

Gabungkan penyelesaiannya.

$x = 13, - 2, 3$

Langkah 9

Tentukan domain dari $- \frac{x - 13}{(x + 2) (x - 3)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Atur penyebut dalam $\frac{x - 13}{(x + 2) (x - 3)}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$(x + 2) (x - 3) = 0$

Langkah 9.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 3 = 0$

Langkah 9.2.2

Atur $x + 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.2.1

Atur $x + 2$ sama dengan $0$ .

$x + 2 = 0$

Langkah 9.2.2.2

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 2$

Langkah 9.2.3

Atur $x - 3$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.3.1

Atur $x - 3$ sama dengan $0$ .

$x - 3 = 0$

Langkah 9.2.3.2

Tambahkan $3$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 3$

Langkah 9.2.4

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(x + 2) (x - 3) = 0$ benar.

$x = - 2, 3$

Langkah 9.3

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 3) \cup (3, \infty)$

Langkah 10

Gunakan masing-masing akar untuk membuat interval pengujian.

$x < - 2$

$- 2 < x < 3$

$3 < x < 13$

$x > 13$

Langkah 11

Pilih nilai uji dari masing-masing interval dan masukkan nilai ini ke dalam pertidaksamaan asal untuk menentukan interval mana yang memenuhi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Uji nilai pada interval $x < - 2$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.1

Pilih nilai pada interval $x < - 2$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = - 4$

Langkah 11.1.2

Ganti $x$ dengan $- 4$ pada pertidaksamaan asal.

$\frac{(- 4) - 1}{(- 4) + 2} > \frac{(- 4) - 5}{(- 4) - 3}$

Langkah 11.1.3

Sisi kiri $2.5$ lebih besar dari sisi kanan $1.\overline{285714}$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 11.2

Uji nilai pada interval $- 2 < x < 3$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Pilih nilai pada interval $- 2 < x < 3$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 0$

Langkah 11.2.2

Ganti $x$ dengan $0$ pada pertidaksamaan asal.

$\frac{(0) - 1}{(0) + 2} > \frac{(0) - 5}{(0) - 3}$

Langkah 11.2.3

Sisi kiri $- 0.5$ tidak lebih besar dari sisi kanan $1.\overline{6}$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 11.3

Uji nilai pada interval $3 < x < 13$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Pilih nilai pada interval $3 < x < 13$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 8$

Langkah 11.3.2

Ganti $x$ dengan $8$ pada pertidaksamaan asal.

$\frac{(8) - 1}{(8) + 2} > \frac{(8) - 5}{(8) - 3}$

Langkah 11.3.3

Sisi kiri $0.7$ lebih besar dari sisi kanan $0.6$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 11.4

Uji nilai pada interval $x > 13$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.1

Pilih nilai pada interval $x > 13$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 16$

Langkah 11.4.2

Ganti $x$ dengan $16$ pada pertidaksamaan asal.

$\frac{(16) - 1}{(16) + 2} > \frac{(16) - 5}{(16) - 3}$

Langkah 11.4.3

Sisi kiri $0.8\overline{3}$ tidak lebih besar dari sisi kanan $0.\overline{846153}$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 11.5

Bandingkan interval untuk menentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan asal.

$x < - 2$ Benar

$- 2 < x < 3$ Salah

$3 < x < 13$ Benar

$x > 13$ Salah

$x < - 2$ Benar

$- 2 < x < 3$ Salah

$3 < x < 13$ Benar

$x > 13$ Salah

Langkah 12

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$x < - 2$ atau $3 < x < 13$

Langkah 13

Konversikan pertidaksamaan ke notasi interval.

$(- \infty, - 2) \cup (3, 13)$

Langkah 14