Aljabar Contoh

$y = 3 e^{- 4 x + 1}$

Langkah 1

Saling tukar variabel.

$x = 3 e^{- 4 y + 1}$

Langkah 2

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $3 e^{- 4 y + 1} = x$ .

$3 e^{- 4 y + 1} = x$

Langkah 2.2

Bagi setiap suku pada $3 e^{- 4 y + 1} = x$ dengan $3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Bagilah setiap suku di $3 e^{- 4 y + 1} = x$ dengan $3$ .

$\frac{3 e^{- 4 y + 1}}{3} = \frac{x}{3}$

Langkah 2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 e^{- 4 y + 1}}{3} = \frac{x}{3}$

Langkah 2.2.2.1.2

Bagilah $e^{- 4 y + 1}$ dengan $1$ .

$e^{- 4 y + 1} = \frac{x}{3}$

Langkah 2.3

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{- 4 y + 1}) = \ln (\frac{x}{3})$

Langkah 2.4

Perluas sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Perluas $\ln (e^{- 4 y + 1})$ dengan memindahkan $- 4 y + 1$ ke luar logaritma.

$(- 4 y + 1) \ln (e) = \ln (\frac{x}{3})$

Langkah 2.4.2

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$(- 4 y + 1) \cdot 1 = \ln (\frac{x}{3})$

Langkah 2.4.3

Kalikan $- 4 y + 1$ dengan $1$ .

$- 4 y + 1 = \ln (\frac{x}{3})$

Langkah 2.5

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 4 y = \ln (\frac{x}{3}) - 1$

Langkah 2.6

Bagi setiap suku pada $- 4 y = \ln (\frac{x}{3}) - 1$ dengan $- 4$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Bagilah setiap suku di $- 4 y = \ln (\frac{x}{3}) - 1$ dengan $- 4$ .

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{\ln (\frac{x}{3})}{- 4} + \frac{- 1}{- 4}$

Langkah 2.6.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{\ln (\frac{x}{3})}{- 4} + \frac{- 1}{- 4}$

Langkah 2.6.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{x}{3})}{- 4} + \frac{- 1}{- 4}$

Langkah 2.6.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.3.1.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = - \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{- 1}{- 4}$

Langkah 2.6.3.1.2

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$y = - \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}$

Langkah 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}$

Langkah 4

Periksa apakah $f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}$ merupakan balikan dari $f (x) = 3 e^{- 4 x + 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Untuk memverifikasi balikannya, periksa apakah $f^{- 1} (f (x)) = x$ dan $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Langkah 4.2

Evaluasi $f^{- 1} (f (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Tulis fungsi hasil komposit.

$f^{- 1} (f (x))$

Langkah 4.2.2

Evaluasi $f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1})$ dengan mensubstitusikan nilai (Variabel1) ke dalam (Variabel2).

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = - \frac{\ln (\frac{3 e^{- 4 x + 1}}{3})}{4} + \frac{1}{4}$

Langkah 4.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{- \ln (\frac{3 e^{- 4 x + 1}}{3}) + 1}{4}$

Langkah 4.2.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.4.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{- \ln (\frac{3 e^{- 4 x + 1}}{3}) + 1}{4}$

Langkah 4.2.4.1.2

Bagilah $e^{- 4 x + 1}$ dengan $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{- \ln (e^{- 4 x + 1}) + 1}{4}$

Langkah 4.2.4.2

Gunakan aturan logaritma untuk memindahkan $- 4 x + 1$ keluar dari eksponen.

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{- ((- 4 x + 1) \ln (e)) + 1}{4}$

Langkah 4.2.4.3

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{- ((- 4 x + 1) \cdot 1) + 1}{4}$

Langkah 4.2.4.4

Kalikan $- 4 x + 1$ dengan $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{- (- 4 x + 1) + 1}{4}$

Langkah 4.2.4.5

Terapkan sifat distributif.

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{- (- 4 x) - 1 \cdot 1 + 1}{4}$

Langkah 4.2.4.6

Kalikan $- 4$ dengan $- 1$ .

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{4 x - 1 \cdot 1 + 1}{4}$

Langkah 4.2.4.7

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{4 x - 1 + 1}{4}$

Langkah 4.2.5

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.5.1

Gabungkan suku balikan dalam $4 x - 1 + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.5.1.1

Tambahkan $- 1$ dan $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{4 x + 0}{4}$

Langkah 4.2.5.1.2

Tambahkan $4 x$ dan $0$ .

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{4 x}{4}$

Langkah 4.2.5.2

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = \frac{4 x}{4}$

Langkah 4.2.5.2.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{- 4 x + 1}) = x$

Langkah 4.3

Evaluasi $f (f^{- 1} (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Tulis fungsi hasil komposit.

$f (f^{- 1} (x))$

Langkah 4.3.2

Evaluasi $f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4})$ dengan mensubstitusikan nilai (Variabel1) ke dalam (Variabel2).

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{- 4 (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) + 1}$

Langkah 4.3.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1.1

Tulis kembali $\frac{\ln (\frac{x}{3})}{4}$ sebagai $\frac{1}{4} \ln (\frac{1}{3} x)$ .

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{- 4 (- (\frac{1}{4} \cdot \ln (\frac{1}{3} x)) + \frac{1}{4}) + 1}$

Langkah 4.3.3.1.2

Sederhanakan $\frac{1}{4} \ln (\frac{1}{3} x)$ dengan memindahkan $\frac{1}{4}$ ke dalam logaritma.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{- 4 (- \ln ({(\frac{1}{3} x)}^{\frac{1}{4}}) + \frac{1}{4}) + 1}$

Langkah 4.3.3.1.3

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x$ .

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{- 4 (- \ln ({(\frac{x}{3})}^{\frac{1}{4}}) + \frac{1}{4}) + 1}$

Langkah 4.3.3.1.4

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{x}{3}$ .

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{- 4 (- \ln (\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}}) + \frac{1}{4}) + 1}$

Langkah 4.3.3.2

Terapkan sifat distributif.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{- 4 (- \ln (\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}})) - 4 (\frac{1}{4}) + 1}$

Langkah 4.3.3.3

Kalikan $- 4 (- \ln (\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}}))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 4$ .

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{4 \ln (\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}}) - 4 (\frac{1}{4}) + 1}$

Langkah 4.3.3.3.2

Sederhanakan $4 \ln (\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}})$ dengan memindahkan $4$ ke dalam logaritma.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln ({(\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}})}^{4}) - 4 (\frac{1}{4}) + 1}$

Langkah 4.3.3.4

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.4.1

Faktorkan $4$ dari $- 4$ .

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln ({(\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}})}^{4}) + 4 (- 1) (\frac{1}{4}) + 1}$

Langkah 4.3.3.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln ({(\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}})}^{4}) + 4 \cdot (- 1 (\frac{1}{4})) + 1}$

Langkah 4.3.3.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln ({(\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}})}^{4}) - 1 + 1}$

Langkah 4.3.3.5

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.5.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{x^{\frac{1}{4}}}{3^{\frac{1}{4}}}$ .

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{{(x^{\frac{1}{4}})}^{4}}{{(3^{\frac{1}{4}})}^{4}}) - 1 + 1}$

Langkah 4.3.3.5.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.5.2.1

Kalikan eksponen dalam ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.5.2.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x^{\frac{1}{4} \cdot 4}}{{(3^{\frac{1}{4}})}^{4}}) - 1 + 1}$

Langkah 4.3.3.5.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.5.2.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x^{\frac{1}{4} \cdot 4}}{{(3^{\frac{1}{4}})}^{4}}) - 1 + 1}$

Langkah 4.3.3.5.2.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x^{1}}{{(3^{\frac{1}{4}})}^{4}}) - 1 + 1}$

Langkah 4.3.3.5.2.2

Sederhanakan.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x}{{(3^{\frac{1}{4}})}^{4}}) - 1 + 1}$

Langkah 4.3.3.5.3

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.5.3.1

Kalikan eksponen dalam ${(3^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.5.3.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3^{\frac{1}{4} \cdot 4}}) - 1 + 1}$

Langkah 4.3.3.5.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.5.3.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3^{\frac{1}{4} \cdot 4}}) - 1 + 1}$

Langkah 4.3.3.5.3.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3^{1}}) - 1 + 1}$

Langkah 4.3.3.5.3.2

Evaluasi eksponennya.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3}) - 1 + 1}$

Langkah 4.3.4

Gabungkan suku balikan dalam $\ln (\frac{x}{3}) - 1 + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.1

Tambahkan $- 1$ dan $1$ .

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3}) + 0}$

Langkah 4.3.4.2

Tambahkan $\ln (\frac{x}{3})$ dan $0$ .

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3})}$

Langkah 4.3.5

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 (\frac{x}{3})$

Langkah 4.3.6

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.6.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = 3 (\frac{x}{3})$

Langkah 4.3.6.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (- \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}) = x$

Langkah 4.4

Karena $f^{- 1} (f (x)) = x$ dan $f (f^{- 1} (x)) = x$ , maka $f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}$ merupakan balikan dari $f (x) = 3 e^{- 4 x + 1}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (\frac{x}{3})}{4} + \frac{1}{4}$