Aljabar Contoh

$f (x) = 4 x^{3} - 13 x^{2} + 9 x + 2$

Langkah 1

Atur $4 x^{3} - 13 x^{2} + 9 x + 2$ sama dengan $0$ .

$4 x^{3} - 13 x^{2} + 9 x + 2 = 0$

Langkah 2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Faktorkan $4 x^{3} - 13 x^{2} + 9 x + 2$ menggunakan uji akar rasional.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Langkah 2.1.2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 2$

Langkah 2.1.3

Substitusikan $2$ dan sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $2$ adalah akar dari polinomialnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Substitusikan $2$ ke dalam polinomialnya.

$4 \cdot 2^{3} - 13 \cdot 2^{2} + 9 \cdot 2 + 2$

Langkah 2.1.3.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$4 \cdot 8 - 13 \cdot 2^{2} + 9 \cdot 2 + 2$

Langkah 2.1.3.3

Kalikan $4$ dengan $8$ .

$32 - 13 \cdot 2^{2} + 9 \cdot 2 + 2$

Langkah 2.1.3.4

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$32 - 13 \cdot 4 + 9 \cdot 2 + 2$

Langkah 2.1.3.5

Kalikan $- 13$ dengan $4$ .

$32 - 52 + 9 \cdot 2 + 2$

Langkah 2.1.3.6

Kurangi $52$ dengan $32$ .

$- 20 + 9 \cdot 2 + 2$

Langkah 2.1.3.7

Kalikan $9$ dengan $2$ .

$- 20 + 18 + 2$

Langkah 2.1.3.8

Tambahkan $- 20$ dan $18$ .

$- 2 + 2$

Langkah 2.1.3.9

Tambahkan $- 2$ dan $2$ .

$0$

Langkah 2.1.4

Karena $2$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $x - 2$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menemukan akar yang belum diketahui.

$\frac{4 x^{3} - 13 x^{2} + 9 x + 2}{x - 2}$

Langkah 2.1.5

Bagilah $4 x^{3} - 13 x^{2} + 9 x + 2$ dengan $x - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.5.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x$

$2$

$4 x^{3}$

$13 x^{2}$

$9 x$

$2$

Langkah 2.1.5.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $4 x^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

					$4 x^{2}$
	$x$	-	$2$		$4 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$9 x$	+	$2$

Langkah 2.1.5.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$4 x^{2}$
$x$	-	$2$		$4 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$9 x$	+	$2$
			+	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$

Langkah 2.1.5.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $4 x^{3} - 8 x^{2}$

				$4 x^{2}$
$x$	-	$2$		$4 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$9 x$	+	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$

Langkah 2.1.5.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$4 x^{2}$
$x$	-	$2$		$4 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$9 x$	+	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$

Langkah 2.1.5.6

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$4 x^{2}$
$x$	-	$2$		$4 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$9 x$	+	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$9 x$

Langkah 2.1.5.7

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- 5 x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

				$4 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$2$		$4 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$9 x$	+	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$9 x$

Langkah 2.1.5.8

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$4 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$2$		$4 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$9 x$	+	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$9 x$
					-	$5 x^{2}$	+	$10 x$

Langkah 2.1.5.9

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- 5 x^{2} + 10 x$

				$4 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$2$		$4 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$9 x$	+	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$10 x$

Langkah 2.1.5.10

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$4 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$2$		$4 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$9 x$	+	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$10 x$
							-	$x$

Langkah 2.1.5.11

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$4 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$2$		$4 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$9 x$	+	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$10 x$
							-	$x$	+	$2$

Langkah 2.1.5.12

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- x$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

				$4 x^{2}$	-	$5 x$	-	$1$
$x$	-	$2$		$4 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$9 x$	+	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$10 x$
							-	$x$	+	$2$

Langkah 2.1.5.13

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$4 x^{2}$	-	$5 x$	-	$1$
$x$	-	$2$		$4 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$9 x$	+	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$10 x$
							-	$x$	+	$2$
							-	$x$	+	$2$

Langkah 2.1.5.14

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- x + 2$

				$4 x^{2}$	-	$5 x$	-	$1$
$x$	-	$2$		$4 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$9 x$	+	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$10 x$
							-	$x$	+	$2$
							+	$x$	-	$2$

Langkah 2.1.5.15

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$4 x^{2}$	-	$5 x$	-	$1$
$x$	-	$2$		$4 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$9 x$	+	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$10 x$
							-	$x$	+	$2$
							+	$x$	-	$2$
										$0$

Langkah 2.1.5.16

Karena sisanya adalah $0$ , maka jawaban akhirnya adalah hasil baginya.

$4 x^{2} - 5 x - 1$

Langkah 2.1.6

Tulis $4 x^{3} - 13 x^{2} + 9 x + 2$ sebagai himpunan faktor.

$(x - 2) (4 x^{2} - 5 x - 1) = 0$

Langkah 2.2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x - 2 = 0$

$4 x^{2} - 5 x - 1 = 0$

Langkah 2.3

Atur $x - 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Atur $x - 2$ sama dengan $0$ .

$x - 2 = 0$

Langkah 2.3.2

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 2$

Langkah 2.4

Atur $4 x^{2} - 5 x - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Atur $4 x^{2} - 5 x - 1$ sama dengan $0$ .

$4 x^{2} - 5 x - 1 = 0$

Langkah 2.4.2

Selesaikan $4 x^{2} - 5 x - 1 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 2.4.2.2

Substitusikan nilai-nilai $a = 4$ , $b = - 5$ , dan $c = - 1$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $x$ .

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot - 1)}}{2 \cdot 4}$

Langkah 2.4.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.3.1.1

Naikkan $- 5$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Langkah 2.4.2.3.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 4 \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.3.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $4$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Langkah 2.4.2.3.1.2.2

Kalikan $- 16$ dengan $- 1$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 16}}{2 \cdot 4}$

Langkah 2.4.2.3.1.3

Tambahkan $25$ dan $16$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{41}}{2 \cdot 4}$

Langkah 2.4.2.3.2

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{41}}{8}$

Langkah 2.4.2.4

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$x = \frac{5 + \sqrt{41}}{8}, \frac{5 - \sqrt{41}}{8}$

Langkah 2.5

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(x - 2) (4 x^{2} - 5 x - 1) = 0$ benar.

$x = 2, \frac{5 + \sqrt{41}}{8}, \frac{5 - \sqrt{41}}{8}$

Langkah 3

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$x = 2, \frac{5 + \sqrt{41}}{8}, \frac{5 - \sqrt{41}}{8}$

Bentuk Desimal:

$x = 2, 1.42539052 \dots, - 0.17539052 \dots$

Langkah 4