Aljabar Contoh

$9 x^{2} - 36 x - 4 y^{2} + 24 y - 36 = 0$

Langkah 1

Tentukan bentuk baku dari hiperbola.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tambahkan $36$ ke kedua sisi persamaan.

$9 x^{2} - 36 x - 4 y^{2} + 24 y = 36$

Langkah 1.2

Selesaikan kuadrat dari $9 x^{2} - 36 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Gunakan bentuk $a x^{2} + b x + c$ , untuk menemukan nilai dari $a$ , $b$ , dan $c$ .

$a = 9$

$b = - 36$

$c = 0$

Langkah 1.2.2

Mempertimbangkan bentuk verteks parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Langkah 1.2.3

Temukan nilai dari $d$ menggunakan rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ ke dalam rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 36}{2 \cdot 9}$

Langkah 1.2.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 36$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1.1

Faktorkan $2$ dari $- 36$ .

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot 9}$

Langkah 1.2.3.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 (9)}$

Langkah 1.2.3.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot 9}$

Langkah 1.2.3.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$d = \frac{- 18}{9}$

Langkah 1.2.3.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 18$ dan $9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.2.1

Faktorkan $9$ dari $- 18$ .

$d = \frac{9 \cdot - 2}{9}$

Langkah 1.2.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.2.2.1

Faktorkan $9$ dari $9$ .

$d = \frac{9 \cdot - 2}{9 (1)}$

Langkah 1.2.3.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{9 \cdot - 2}{9 \cdot 1}$

Langkah 1.2.3.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$d = \frac{- 2}{1}$

Langkah 1.2.3.2.2.2.4

Bagilah $- 2$ dengan $1$ .

$d = - 2$

Langkah 1.2.4

Temukan nilai dari $e$ menggunakan rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Substitusikan nilai-nilai dari $c$ , $b$ , dan $a$ ke dalam rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 36)}^{2}}{4 \cdot 9}$

Langkah 1.2.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.1.1

Naikkan $- 36$ menjadi pangkat $2$ .

$e = 0 - \frac{1296}{4 \cdot 9}$

Langkah 1.2.4.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $9$ .

$e = 0 - \frac{1296}{36}$

Langkah 1.2.4.2.1.3

Bagilah $1296$ dengan $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 36$

Langkah 1.2.4.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $36$ .

$e = 0 - 36$

Langkah 1.2.4.2.2

Kurangi $36$ dengan $0$ .

$e = - 36$

Langkah 1.2.5

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ , $d$ , dan $e$ ke dalam bentuk verteks $9 {(x - 2)}^{2} - 36$ .

$9 {(x - 2)}^{2} - 36$

Langkah 1.3

Substitusikan $9 {(x - 2)}^{2} - 36$ untuk $9 x^{2} - 36 x$ dalam persamaan $9 x^{2} - 36 x - 4 y^{2} + 24 y = 36$ .

$9 {(x - 2)}^{2} - 36 - 4 y^{2} + 24 y = 36$

Langkah 1.4

Pindahkan $- 36$ ke sisi kanan persamaan dengan menambahkan $36$ ke kedua sisinya.

$9 {(x - 2)}^{2} - 4 y^{2} + 24 y = 36 + 36$

Langkah 1.5

Selesaikan kuadrat dari $- 4 y^{2} + 24 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Gunakan bentuk $a x^{2} + b x + c$ , untuk menemukan nilai dari $a$ , $b$ , dan $c$ .

$a = - 4$

$b = 24$

$c = 0$

Langkah 1.5.2

Mempertimbangkan bentuk verteks parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Langkah 1.5.3

Temukan nilai dari $d$ menggunakan rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.1

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ ke dalam rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{24}{2 \cdot - 4}$

Langkah 1.5.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.1

Hapus faktor persekutuan dari $24$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.1.1

Faktorkan $2$ dari $24$ .

$d = \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot - 4}$

Langkah 1.5.3.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 \cdot - 4$ .

$d = \frac{2 \cdot 12}{2 (- 4)}$

Langkah 1.5.3.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot - 4}$

Langkah 1.5.3.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$d = \frac{12}{- 4}$

Langkah 1.5.3.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $12$ dan $- 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.2.2.1

Faktorkan $4$ dari $12$ .

$d = \frac{4 (3)}{- 4}$

Langkah 1.5.3.2.2.2

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{3}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 3$

Langkah 1.5.3.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$d = - 3$

Langkah 1.5.4

Temukan nilai dari $e$ menggunakan rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.1

Substitusikan nilai-nilai dari $c$ , $b$ , dan $a$ ke dalam rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{24^{2}}{4 \cdot - 4}$

Langkah 1.5.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1.1

Naikkan $24$ menjadi pangkat $2$ .

$e = 0 - \frac{576}{4 \cdot - 4}$

Langkah 1.5.4.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $- 4$ .

$e = 0 - \frac{576}{- 16}$

Langkah 1.5.4.2.1.3

Bagilah $576$ dengan $- 16$ .

$e = 0 - - 36$

Langkah 1.5.4.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 36$ .

$e = 0 + 36$

Langkah 1.5.4.2.2

Tambahkan $0$ dan $36$ .

$e = 36$

Langkah 1.5.5

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ , $d$ , dan $e$ ke dalam bentuk verteks $- 4 {(y - 3)}^{2} + 36$ .

$- 4 {(y - 3)}^{2} + 36$

Langkah 1.6

Substitusikan $- 4 {(y - 3)}^{2} + 36$ untuk $- 4 y^{2} + 24 y$ dalam persamaan $9 x^{2} - 36 x - 4 y^{2} + 24 y = 36$ .

$9 {(x - 2)}^{2} - 4 {(y - 3)}^{2} + 36 = 36 + 36$

Langkah 1.7

Pindahkan $36$ ke sisi kanan persamaan dengan menambahkan $36$ ke kedua sisinya.

$9 {(x - 2)}^{2} - 4 {(y - 3)}^{2} = 36 + 36 - 36$

Langkah 1.8

Sederhanakan $36 + 36 - 36$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.1

Tambahkan $36$ dan $36$ .

$9 {(x - 2)}^{2} - 4 {(y - 3)}^{2} = 72 - 36$

Langkah 1.8.2

Kurangi $36$ dengan $72$ .

$9 {(x - 2)}^{2} - 4 {(y - 3)}^{2} = 36$

Langkah 1.9

Bagi setiap suku dengan $36$ untuk membuat sisi kanan sama dengan satu.

$\frac{9 {(x - 2)}^{2}}{36} - \frac{4 {(y - 3)}^{2}}{36} = \frac{36}{36}$

Langkah 1.10

Sederhanakan setiap suku dalam persamaan tersebut agar sisi kanan sama dengan $1$ . Bentuk baku dari elips atau hiperbola mengharuskan sisi kanan persamaan menjadi $1$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{4} - \frac{{(y - 3)}^{2}}{9} = 1$

Langkah 2

Ini adalah bentuk dari hiperbola. Gunakan bentuk ini untuk menentukan nilai-nilai yang digunakan untuk menentukan asimtot dari hiperbola.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Langkah 3

Sesuaikan nilai-nilai dari hiperbola ini dengan bentuk baku tersebut. Variabel $h$ mewakili x-offset dari titik asal, $k$ mewakili y-offset dari titik asal, $a$ .

$a = 2$

$b = 3$

$k = 3$

$h = 2$

Langkah 4

Asimtotnya mengikuti bentuk $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ karena hiperbola ini terbuka ke kiri dan kanan.

$y = \pm \frac{3}{2} \cdot (x - (2)) + 3$

Langkah 5

Sederhanakan untuk menentukan asimtot pertama.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Hilangkan tanda kurung.

$y = \frac{3}{2} \cdot (x - (2)) + 3$

Langkah 5.2

Sederhanakan $\frac{3}{2} \cdot (x - (2)) + 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$y = \frac{3}{2} \cdot (x - 2) + 3$

Langkah 5.2.1.2

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{3}{2} x + \frac{3}{2} \cdot - 2 + 3$

Langkah 5.2.1.3

Gabungkan $\frac{3}{2}$ dan $x$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} \cdot - 2 + 3$

Langkah 5.2.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.4.1

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} \cdot (2 (- 1)) + 3$

Langkah 5.2.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} \cdot (2 \cdot - 1) + 3$

Langkah 5.2.1.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{3 x}{2} + 3 \cdot - 1 + 3$

Langkah 5.2.1.5

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$y = \frac{3 x}{2} - 3 + 3$

Langkah 5.2.2

Gabungkan suku balikan dalam $\frac{3 x}{2} - 3 + 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Tambahkan $- 3$ dan $3$ .

$y = \frac{3 x}{2} + 0$

Langkah 5.2.2.2

Tambahkan $\frac{3 x}{2}$ dan $0$ .

$y = \frac{3 x}{2}$

Langkah 6

Sederhanakan untuk menentukan asimtot kedua.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Hilangkan tanda kurung.

$y = - \frac{3}{2} \cdot (x - (2)) + 3$

Langkah 6.2

Sederhanakan $- \frac{3}{2} \cdot (x - (2)) + 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$y = - \frac{3}{2} \cdot (x - 2) + 3$

Langkah 6.2.1.2

Terapkan sifat distributif.

$y = - \frac{3}{2} x - \frac{3}{2} \cdot - 2 + 3$

Langkah 6.2.1.3

Gabungkan $x$ dan $\frac{3}{2}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} - \frac{3}{2} \cdot - 2 + 3$

Langkah 6.2.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.4.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{3}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot - 2 + 3$

Langkah 6.2.1.4.2

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot (2 (- 1)) + 3$

Langkah 6.2.1.4.3

Batalkan faktor persekutuan.

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot (2 \cdot - 1) + 3$

Langkah 6.2.1.4.4

Tulis kembali pernyataannya.

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} - 3 \cdot - 1 + 3$

Langkah 6.2.1.5

Kalikan $- 3$ dengan $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + 3 + 3$

Langkah 6.2.1.6

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $x$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + 3 + 3$

Langkah 6.2.2

Tambahkan $3$ dan $3$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + 6$

Langkah 7

Hiperbola ini memiliki dua asimtot.

$y = \frac{3 x}{2}, y = - \frac{3 x}{2} + 6$

Langkah 8

Asimtotnya adalah $y = \frac{3 x}{2}$ dan $y = - \frac{3 x}{2} + 6$ .

Asimtot: $y = \frac{3 x}{2}, y = - \frac{3 x}{2} + 6$

Langkah 9