Aljabar Contoh

\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1

$\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$

Langkah 1

Sederhanakan setiap suku dalam persamaan tersebut agar sisi kanan sama dengan

1

$1$ . Bentuk baku dari elips atau hiperbola mengharuskan sisi kanan persamaan menjadi

1

$1$ .

\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{1} = 1

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{1} = 1$

Langkah 2

Ini adalah bentuk dari hiperbola. Gunakan bentuk ini untuk menentukan nilai-nilai yang digunakan untuk menentukan verteks dan asimtot hiperbola tersebut.

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Langkah 3

Sesuaikan nilai-nilai dari hiperbola ini dengan bentuk baku tersebut. Variabel

h

$h$ mewakili x-offset dari titik asal,

k

$k$ mewakili y-offset dari titik asal,

a

$a$ .

a = 2

$a = 2$

b = 1

$b = 1$

k = 0

$k = 0$

h = 0

$h = 0$

Langkah 4

Pusat hiperbola mengikuti bentuk dari

(h, k)

$(h, k)$ . Masukkan nilai-nilai dari

h

$h$ dan

k

$k$ .

(0, 0)

$(0, 0)$

Langkah 5

Temukan

c

$c$ , jarak dari pusat ke fokus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Hitung jarak dari pusat ke fokus hiperbola menggunakan rumus berikut.

\sqrt{a^{2} + b^{2}}

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Langkah 5.2

Substitusikan nilai-nilai dari

a

$a$ dan

b

$b$ dalam rumus.

\sqrt{{(2)}^{2} + {(1)}^{2}}

$\sqrt{{(2)}^{2} + {(1)}^{2}}$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Naikkan

2

$2$ menjadi pangkat

2

$2$ .

\sqrt{4 + {(1)}^{2}}

$\sqrt{4 + {(1)}^{2}}$

Langkah 5.3.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

\sqrt{4 + 1}

$\sqrt{4 + 1}$

Langkah 5.3.3

Tambahkan

4

$4$ dan

1

$1$ .

\sqrt{5}

$\sqrt{5}$

\sqrt{5}

$\sqrt{5}$

\sqrt{5}

$\sqrt{5}$

Langkah 6

Tentukan verteks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Verteks pertama dari hiperbola dapat ditentukan dengan menambahkan

a

$a$ ke

h

$h$ .

(h + a, k)

$(h + a, k)$

Langkah 6.2

Substitusikan nilai-nilai

h

$h$ ,

a

$a$ , dan

k

$k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

(2, 0)

$(2, 0)$

Langkah 6.3

Verteks kedua dari hiperbola dapat ditemukan dengan mengurangi

a

$a$ dari

h

$h$ .

(h - a, k)

$(h - a, k)$

Langkah 6.4

Substitusikan nilai-nilai

h

$h$ ,

a

$a$ , dan

k

$k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

(- 2, 0)

$(- 2, 0)$

Langkah 6.5

Verteks dari suatu hiperbola mengikuti bentuk

(h \pm a, k)

$(h \pm a, k)$ . Hiperbola mempunyai dua verteks.

(2, 0), (- 2, 0)

$(2, 0), (- 2, 0)$

(2, 0), (- 2, 0)

$(2, 0), (- 2, 0)$

Langkah 7

Tentukan titik apinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Titik fokus pertama dari hiperbola dapat ditentukan dengan menambahkan

c

$c$ ke

h

$h$ .

(h + c, k)

$(h + c, k)$

Langkah 7.2

Substitusikan nilai-nilai

h

$h$ ,

c

$c$ , dan

k

$k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

(\sqrt{5}, 0)

$(\sqrt{5}, 0)$

Langkah 7.3

Titik fokus kedua dari hiperbola dapat dicari dengan mengurangi

c

$c$ dari

h

$h$ .

(h - c, k)

$(h - c, k)$

Langkah 7.4

Substitusikan nilai-nilai

h

$h$ ,

c

$c$ , dan

k

$k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

(- \sqrt{5}, 0)

$(- \sqrt{5}, 0)$

Langkah 7.5

Titik api dari hiperbola mengikuti bentuk dari

(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)

$(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Hiperbola memiliki dua titik api.

(\sqrt{5}, 0), (- \sqrt{5}, 0)

$(\sqrt{5}, 0), (- \sqrt{5}, 0)$

(\sqrt{5}, 0), (- \sqrt{5}, 0)

$(\sqrt{5}, 0), (- \sqrt{5}, 0)$

Langkah 8

Tentukan eksentrisitasnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Tentukan eksentrisitas menggunakan rumus berikut.

\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Langkah 8.2

Substitusikan nilai-nilai

a

$a$ dan

b

$b$ ke dalam rumusnya.

\frac{\sqrt{{(2)}^{2} + {(1)}^{2}}}{2}

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} + {(1)}^{2}}}{2}$

Langkah 8.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Naikkan

2

$2$ menjadi pangkat

2

$2$ .

\frac{\sqrt{4 + 1^{2}}}{2}

$\frac{\sqrt{4 + 1^{2}}}{2}$

Langkah 8.3.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

\frac{\sqrt{4 + 1}}{2}

$\frac{\sqrt{4 + 1}}{2}$

Langkah 8.3.3

Tambahkan

4

$4$ dan

1

$1$ .

\frac{\sqrt{5}}{2}

$\frac{\sqrt{5}}{2}$

\frac{\sqrt{5}}{2}

$\frac{\sqrt{5}}{2}$

\frac{\sqrt{5}}{2}

$\frac{\sqrt{5}}{2}$

Langkah 9

Tentukan parameter fokus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Temukan nilai parameter fokus dari hiperbola menggunakan rumus berikut.

\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Langkah 9.2

Substitusikan nilai-nilai dari

b

$b$ dan

\sqrt{a^{2} + b^{2}}

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dalam rumus.

\frac{1^{2}}{\sqrt{5}}

$\frac{1^{2}}{\sqrt{5}}$

Langkah 9.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

\frac{1}{\sqrt{5}}

$\frac{1}{\sqrt{5}}$

Langkah 9.3.2

Kalikan

\frac{1}{\sqrt{5}}

$\frac{1}{\sqrt{5}}$ dengan

\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}

$\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Langkah 9.3.3

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.3.1

Kalikan

\frac{1}{\sqrt{5}}

$\frac{1}{\sqrt{5}}$ dengan

\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Langkah 9.3.3.2

Naikkan

\sqrt{5}

$\sqrt{5}$ menjadi pangkat

1

$1$ .

\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Langkah 9.3.3.3

Naikkan

\sqrt{5}

$\sqrt{5}$ menjadi pangkat

1

$1$ .

\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Langkah 9.3.3.4

Gunakan kaidah pangkat

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Langkah 9.3.3.5

Tambahkan

1

$1$ dan

1

$1$ .

\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Langkah 9.3.3.6

Tulis kembali

{\sqrt{5}}^{2}

${\sqrt{5}}^{2}$ sebagai

5

$5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.3.6.1

Gunakan

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali

\sqrt{5}

$\sqrt{5}$ sebagai

5^{\frac{1}{2}}

$5^{\frac{1}{2}}$ .

\frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}

$\frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 9.3.3.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}

$\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 9.3.3.6.3

Gabungkan

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ dan

2

$2$ .

\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}

$\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 9.3.3.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari

2

$2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.3.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 9.3.3.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\sqrt{5}}{5^{1}}$

Langkah 9.3.3.6.5

Evaluasi eksponennya.

$\frac{\sqrt{5}}{5}$

Langkah 10

Asimtotnya mengikuti bentuk

$y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ karena hiperbola ini terbuka ke kiri dan kanan.

$y = \pm \frac{1}{2} x + 0$

Langkah 11

Sederhanakan

$\frac{1}{2} x + 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Tambahkan

$\frac{1}{2} x$ dan

$0$ .

$y = \frac{1}{2} x$

Langkah 11.2

Gabungkan

$\frac{1}{2}$ dan

$x$ .

$y = \frac{x}{2}$

Langkah 12

Sederhanakan

$- \frac{1}{2} x + 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Tambahkan

$- \frac{1}{2} x$ dan

$0$ .

$y = - \frac{1}{2} x$

Langkah 12.2

Gabungkan

$x$ dan

$\frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{x}{2}$

Langkah 13

Hiperbola ini memiliki dua asimtot.

$y = \frac{x}{2}, y = - \frac{x}{2}$

Langkah 14

Nilai-nilai ini merupakan nilai-nilai yang penting untuk membuat grafik dan menganalisis hiperbola.

Pusat:

$(0, 0)$

Verteks:

$(2, 0), (- 2, 0)$

Titik api:

$(\sqrt{5}, 0), (- \sqrt{5}, 0)$

Eksentrisitas:

$\frac{\sqrt{5}}{2}$

Parameter Fokus:

$\frac{\sqrt{5}}{5}$

Asimtot:

$y = \frac{x}{2}$ ,

$y = - \frac{x}{2}$

Langkah 15