Aljabar Contoh

$x^{2} - y^{2} = 4$

Langkah 1

Tentukan bentuk baku dari hiperbola.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Bagi setiap suku dengan $4$ untuk membuat sisi kanan sama dengan satu.

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{4} = \frac{4}{4}$

Langkah 1.2

Sederhanakan setiap suku dalam persamaan tersebut agar sisi kanan sama dengan $1$ . Bentuk baku dari elips atau hiperbola mengharuskan sisi kanan persamaan menjadi $1$ .

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{4} = 1$

Langkah 2

Ini adalah bentuk dari hiperbola. Gunakan bentuk ini untuk menentukan nilai-nilai yang digunakan untuk menentukan verteks dan asimtot hiperbola tersebut.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Langkah 3

Sesuaikan nilai-nilai dari hiperbola ini dengan bentuk baku tersebut. Variabel $h$ mewakili x-offset dari titik asal, $k$ mewakili y-offset dari titik asal, $a$ .

$a = 2$

$b = 2$

$k = 0$

$h = 0$

Langkah 4

Pusat hiperbola mengikuti bentuk dari $(h, k)$ . Masukkan nilai-nilai dari $h$ dan $k$ .

$(0, 0)$

Langkah 5

Temukan $c$ , jarak dari pusat ke fokus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Hitung jarak dari pusat ke fokus hiperbola menggunakan rumus berikut.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Langkah 5.2

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ dalam rumus.

$\sqrt{{(2)}^{2} + {(2)}^{2}}$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{4 + {(2)}^{2}}$

Langkah 5.3.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{4 + 4}$

Langkah 5.3.3

Tambahkan $4$ dan $4$ .

$\sqrt{8}$

Langkah 5.3.4

Tulis kembali $8$ sebagai $2^{2} \cdot 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.1

Faktorkan $4$ dari $8$ .

$\sqrt{4 (2)}$

Langkah 5.3.4.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Langkah 5.3.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$2 \sqrt{2}$

Langkah 6

Tentukan verteks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Verteks pertama dari hiperbola dapat ditentukan dengan menambahkan $a$ ke $h$ .

$(h + a, k)$

Langkah 6.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(2, 0)$

Langkah 6.3

Verteks kedua dari hiperbola dapat ditemukan dengan mengurangi $a$ dari $h$ .

$(h - a, k)$

Langkah 6.4

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(- 2, 0)$

Langkah 6.5

Verteks dari suatu hiperbola mengikuti bentuk $(h \pm a, k)$ . Hiperbola mempunyai dua verteks.

$(2, 0), (- 2, 0)$

Langkah 7

Tentukan titik apinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Titik fokus pertama dari hiperbola dapat ditentukan dengan menambahkan $c$ ke $h$ .

$(h + c, k)$

Langkah 7.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(2 \sqrt{2}, 0)$

Langkah 7.3

Titik fokus kedua dari hiperbola dapat dicari dengan mengurangi $c$ dari $h$ .

$(h - c, k)$

Langkah 7.4

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(- 2 \sqrt{2}, 0)$

Langkah 7.5

Titik api dari hiperbola mengikuti bentuk dari $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Hiperbola memiliki dua titik api.

$(2 \sqrt{2}, 0), (- 2 \sqrt{2}, 0)$

Langkah 8

Tentukan eksentrisitasnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Tentukan eksentrisitas menggunakan rumus berikut.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Langkah 8.2

Substitusikan nilai-nilai $a$ dan $b$ ke dalam rumusnya.

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} + {(2)}^{2}}}{2}$

Langkah 8.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 2^{2}}}{2}$

Langkah 8.3.1.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 4}}{2}$

Langkah 8.3.1.3

Tambahkan $4$ dan $4$ .

$\frac{\sqrt{8}}{2}$

Langkah 8.3.1.4

Tulis kembali $8$ sebagai $2^{2} \cdot 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.4.1

Faktorkan $4$ dari $8$ .

$\frac{\sqrt{4 (2)}}{2}$

Langkah 8.3.1.4.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2}$

Langkah 8.3.1.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Langkah 8.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Langkah 8.3.2.2

Bagilah $\sqrt{2}$ dengan $1$ .

$\sqrt{2}$

Langkah 9

Asimtotnya mengikuti bentuk $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ karena hiperbola ini terbuka ke kiri dan kanan.

$y = \pm 1 \cdot x + 0$

Langkah 10

Sederhanakan $1 \cdot x + 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Tambahkan $1 \cdot x$ dan $0$ .

$y = 1 \cdot x$

Langkah 10.2

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$y = x$

Langkah 11

Sederhanakan $- 1 \cdot x + 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Tambahkan $- 1 \cdot x$ dan $0$ .

$y = - 1 \cdot x$

Langkah 11.2

Tulis kembali $- 1 x$ sebagai $- x$ .

$y = - x$

Langkah 12

Hiperbola ini memiliki dua asimtot.

$y = x, y = - x$

Langkah 13

Nilai-nilai ini merupakan nilai-nilai yang penting untuk membuat grafik dan menganalisis hiperbola.

Pusat: $(0, 0)$

Verteks: $(2, 0), (- 2, 0)$

Titik api: $(2 \sqrt{2}, 0), (- 2 \sqrt{2}, 0)$

Eksentrisitas: $\sqrt{2}$

Parameter Fokus: $\sqrt{2}$

Asimtot: $y = x$ , $y = - x$

Langkah 14