Aljabar Contoh

$3 x^{4} - 4 x^{3} + x^{2} + 6 x - 2 = 0$

Langkah 1

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kelompokkan kembali suku-suku.

$6 x - 2 + 3 x^{4} - 4 x^{3} + x^{2} = 0$

Langkah 1.2

Faktorkan $2$ dari $6 x - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Faktorkan $2$ dari $6 x$ .

$2 (3 x) - 2 + 3 x^{4} - 4 x^{3} + x^{2} = 0$

Langkah 1.2.2

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$2 (3 x) + 2 (- 1) + 3 x^{4} - 4 x^{3} + x^{2} = 0$

Langkah 1.2.3

Faktorkan $2$ dari $2 (3 x) + 2 (- 1)$ .

$2 (3 x - 1) + 3 x^{4} - 4 x^{3} + x^{2} = 0$

Langkah 1.3

Faktorkan $x^{2}$ dari $3 x^{4} - 4 x^{3} + x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $3 x^{4}$ .

$2 (3 x - 1) + x^{2} (3 x^{2}) - 4 x^{3} + x^{2} = 0$

Langkah 1.3.2

Faktorkan $x^{2}$ dari $- 4 x^{3}$ .

$2 (3 x - 1) + x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} (- 4 x) + x^{2} = 0$

Langkah 1.3.3

Kalikan dengan $1$ .

$2 (3 x - 1) + x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 1 = 0$

Langkah 1.3.4

Faktorkan $x^{2}$ dari $x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} (- 4 x)$ .

$2 (3 x - 1) + x^{2} (3 x^{2} - 4 x) + x^{2} \cdot 1 = 0$

Langkah 1.3.5

Faktorkan $x^{2}$ dari $x^{2} (3 x^{2} - 4 x) + x^{2} \cdot 1$ .

$2 (3 x - 1) + x^{2} (3 x^{2} - 4 x + 1) = 0$

Langkah 1.4

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.1

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = 3 \cdot 1 = 3$ dan yang jumlahnya adalah $b = - 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.1.1

Faktorkan $- 4$ dari $- 4 x$ .

$2 (3 x - 1) + x^{2} (3 x^{2} - 4 x + 1) = 0$

Langkah 1.4.1.1.2

Tulis kembali $- 4$ sebagai $- 1$ ditambah $- 3$

$2 (3 x - 1) + x^{2} (3 x^{2} + (- 1 - 3) x + 1) = 0$

Langkah 1.4.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$2 (3 x - 1) + x^{2} (3 x^{2} - 1 x - 3 x + 1) = 0$

Langkah 1.4.1.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$2 (3 x - 1) + x^{2} ((3 x^{2} - 1 x) - 3 x + 1) = 0$

Langkah 1.4.1.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$2 (3 x - 1) + x^{2} (x (3 x - 1) - (3 x - 1)) = 0$

Langkah 1.4.1.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $3 x - 1$ .

$2 (3 x - 1) + x^{2} ((3 x - 1) (x - 1)) = 0$

Langkah 1.4.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$2 (3 x - 1) + x^{2} (3 x - 1) (x - 1) = 0$

Langkah 1.5

Faktorkan $3 x - 1$ dari $2 (3 x - 1) + x^{2} (3 x - 1) (x - 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Faktorkan $3 x - 1$ dari $2 (3 x - 1)$ .

$(3 x - 1) \cdot 2 + x^{2} (3 x - 1) (x - 1) = 0$

Langkah 1.5.2

Faktorkan $3 x - 1$ dari $x^{2} (3 x - 1) (x - 1)$ .

$(3 x - 1) \cdot 2 + (3 x - 1) (x^{2} (x - 1)) = 0$

Langkah 1.5.3

Faktorkan $3 x - 1$ dari $(3 x - 1) \cdot 2 + (3 x - 1) (x^{2} (x - 1))$ .

$(3 x - 1) (2 + x^{2} (x - 1)) = 0$

Langkah 1.6

Terapkan sifat distributif.

$(3 x - 1) (2 + x^{2} x + x^{2} \cdot - 1) = 0$

Langkah 1.7

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$(3 x - 1) (2 + x^{2} x + x^{2} \cdot - 1) = 0$

Langkah 1.7.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$(3 x - 1) (2 + x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 1) = 0$

Langkah 1.7.2

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$(3 x - 1) (2 + x^{3} + x^{2} \cdot - 1) = 0$

Langkah 1.8

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $x^{2}$ .

$(3 x - 1) (2 + x^{3} - 1 x^{2}) = 0$

Langkah 1.9

Tulis kembali $- 1 x^{2}$ sebagai $- x^{2}$ .

$(3 x - 1) (2 + x^{3} - x^{2}) = 0$

Langkah 1.10

Susun kembali suku-suku.

$(3 x - 1) (x^{3} - x^{2} + 2) = 0$

Langkah 1.11

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.11.1

Faktorkan $x^{3} - x^{2} + 2$ menggunakan uji akar rasional.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.11.1.1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

Langkah 1.11.1.2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm 2$

Langkah 1.11.1.3

Substitusikan $- 1$ dan sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $- 1$ adalah akar dari polinomialnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.11.1.3.1

Substitusikan $- 1$ ke dalam polinomialnya.

${(- 1)}^{3} - {(- 1)}^{2} + 2$

Langkah 1.11.1.3.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$- 1 - {(- 1)}^{2} + 2$

Langkah 1.11.1.3.3

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$- 1 - 1 \cdot 1 + 2$

Langkah 1.11.1.3.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 1 - 1 + 2$

Langkah 1.11.1.3.5

Kurangi $1$ dengan $- 1$ .

$- 2 + 2$

Langkah 1.11.1.3.6

Tambahkan $- 2$ dan $2$ .

$0$

Langkah 1.11.1.4

Karena $- 1$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $x + 1$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menemukan akar yang belum diketahui.

$\frac{x^{3} - x^{2} + 2}{x + 1}$

Langkah 1.11.1.5

Bagilah $x^{3} - x^{2} + 2$ dengan $x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.11.1.5.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$2$

Langkah 1.11.1.5.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $x^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$

Langkah 1.11.1.5.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Langkah 1.11.1.5.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $x^{3} + x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Langkah 1.11.1.5.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Langkah 1.11.1.5.6

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$

Langkah 1.11.1.5.7

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- 2 x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$

Langkah 1.11.1.5.8

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$2 x$

Langkah 1.11.1.5.9

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- 2 x^{2} - 2 x$

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$

Langkah 1.11.1.5.10

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$

Langkah 1.11.1.5.11

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$	+	$2$

Langkah 1.11.1.5.12

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $2 x$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$	+	$2$

Langkah 1.11.1.5.13

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$	+	$2$
							+	$2 x$	+	$2$

Langkah 1.11.1.5.14

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $2 x + 2$

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$	+	$2$
							-	$2 x$	-	$2$

Langkah 1.11.1.5.15

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$	+	$2$
							-	$2 x$	-	$2$
										$0$

Langkah 1.11.1.5.16

Karena sisanya adalah $0$ , maka jawaban akhirnya adalah hasil baginya.

$x^{2} - 2 x + 2$

Langkah 1.11.1.6

Tulis $x^{3} - x^{2} + 2$ sebagai himpunan faktor.

$(3 x - 1) ((x + 1) (x^{2} - 2 x + 2)) = 0$

Langkah 1.11.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$(3 x - 1) (x + 1) (x^{2} - 2 x + 2) = 0$

Langkah 2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$x + 1 = 0$

$x^{2} - 2 x + 2 = 0$

Langkah 3

Atur $3 x - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Atur $3 x - 1$ sama dengan $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Langkah 3.2

Selesaikan $3 x - 1 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$3 x = 1$

Langkah 3.2.2

Bagi setiap suku pada $3 x = 1$ dengan $3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Bagilah setiap suku di $3 x = 1$ dengan $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Langkah 3.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Langkah 3.2.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Langkah 4

Atur $x + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Atur $x + 1$ sama dengan $0$ .

$x + 1 = 0$

Langkah 4.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 1$

Langkah 5

Atur $x^{2} - 2 x + 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Atur $x^{2} - 2 x + 2$ sama dengan $0$ .

$x^{2} - 2 x + 2 = 0$

Langkah 5.2

Selesaikan $x^{2} - 2 x + 2 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 5.2.2

Substitusikan nilai-nilai $a = 1$ , $b = - 2$ , dan $c = 2$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 5.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1.1

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Langkah 5.2.3.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Langkah 5.2.3.1.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

Langkah 5.2.3.1.3

Kurangi $8$ dengan $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Langkah 5.2.3.1.4

Tulis kembali $- 4$ sebagai $- 1 (4)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Langkah 5.2.3.1.5

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (4)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Langkah 5.2.3.1.6

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Langkah 5.2.3.1.7

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Langkah 5.2.3.1.8

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Langkah 5.2.3.1.9

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Langkah 5.2.3.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

Langkah 5.2.3.3

Sederhanakan $\frac{2 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 1 \pm i$

Langkah 5.2.4

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$x = 1 + i, 1 - i$

Langkah 6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(3 x - 1) (x + 1) (x^{2} - 2 x + 2) = 0$ benar.

$x = \frac{1}{3}, - 1, 1 + i, 1 - i$

Langkah 7