Aljabar Contoh

$f (x) = x^{3} + 12 x^{2} + 25 x - 70$ $g (x) = x + 7$

Langkah 1

Substitusikan $x + 7$ untuk $f (x)$ .

$x + 7 = x^{3} + 12 x^{2} + 25 x - 70$

Langkah 2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Karena $x$ ada di sisi kanan persamaan, tukar sisinya sehingga berada di sisi kiri persamaan.

$x^{3} + 12 x^{2} + 25 x - 70 = x + 7$

Langkah 2.2

Pindahkan semua suku yang mengandung $x$ ke sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Kurangkan $x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x^{3} + 12 x^{2} + 25 x - 70 - x = 7$

Langkah 2.2.2

Kurangi $x$ dengan $25 x$ .

$x^{3} + 12 x^{2} + 24 x - 70 = 7$

Langkah 2.3

Kurangkan $7$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x^{3} + 12 x^{2} + 24 x - 70 - 7 = 0$

Langkah 2.4

Kurangi $7$ dengan $- 70$ .

$x^{3} + 12 x^{2} + 24 x - 77 = 0$

Langkah 2.5

Faktorkan $x^{3} + 12 x^{2} + 24 x - 77$ menggunakan uji akar rasional.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 77, \pm 7, \pm 11$

$q = \pm 1$

Langkah 2.5.2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm 77, \pm 7, \pm 11$

Langkah 2.5.3

Substitusikan $- 7$ dan sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $- 7$ adalah akar dari polinomialnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.3.1

Substitusikan $- 7$ ke dalam polinomialnya.

${(- 7)}^{3} + 12 {(- 7)}^{2} + 24 \cdot - 7 - 77$

Langkah 2.5.3.2

Naikkan $- 7$ menjadi pangkat $3$ .

$- 343 + 12 {(- 7)}^{2} + 24 \cdot - 7 - 77$

Langkah 2.5.3.3

Naikkan $- 7$ menjadi pangkat $2$ .

$- 343 + 12 \cdot 49 + 24 \cdot - 7 - 77$

Langkah 2.5.3.4

Kalikan $12$ dengan $49$ .

$- 343 + 588 + 24 \cdot - 7 - 77$

Langkah 2.5.3.5

Tambahkan $- 343$ dan $588$ .

$245 + 24 \cdot - 7 - 77$

Langkah 2.5.3.6

Kalikan $24$ dengan $- 7$ .

$245 - 168 - 77$

Langkah 2.5.3.7

Kurangi $168$ dengan $245$ .

$77 - 77$

Langkah 2.5.3.8

Kurangi $77$ dengan $77$ .

$0$

Langkah 2.5.4

Karena $- 7$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $x + 7$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menemukan akar yang belum diketahui.

$\frac{x^{3} + 12 x^{2} + 24 x - 77}{x + 7}$

Langkah 2.5.5

Bagilah $x^{3} + 12 x^{2} + 24 x - 77$ dengan $x + 7$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.5.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x$

$7$

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$24 x$

$77$

Langkah 2.5.5.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $x^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$

Langkah 2.5.5.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			+	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$

Langkah 2.5.5.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $x^{3} + 7 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$

Langkah 2.5.5.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$

Langkah 2.5.5.6

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$x^{2}$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$24 x$

Langkah 2.5.5.7

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $5 x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$24 x$

Langkah 2.5.5.8

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$35 x$

Langkah 2.5.5.9

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $5 x^{2} + 35 x$

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$35 x$

Langkah 2.5.5.10

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$35 x$
							-	$11 x$

Langkah 2.5.5.11

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$35 x$
							-	$11 x$	-	$77$

Langkah 2.5.5.12

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- 11 x$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

				$x^{2}$	+	$5 x$	-	$11$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$35 x$
							-	$11 x$	-	$77$

Langkah 2.5.5.13

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$	+	$5 x$	-	$11$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$35 x$
							-	$11 x$	-	$77$
							-	$11 x$	-	$77$

Langkah 2.5.5.14

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- 11 x - 77$

				$x^{2}$	+	$5 x$	-	$11$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$35 x$
							-	$11 x$	-	$77$
							+	$11 x$	+	$77$

Langkah 2.5.5.15

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$	+	$5 x$	-	$11$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$35 x$
							-	$11 x$	-	$77$
							+	$11 x$	+	$77$
										$0$

Langkah 2.5.5.16

Karena sisanya adalah $0$ , maka jawaban akhirnya adalah hasil baginya.

$x^{2} + 5 x - 11$

Langkah 2.5.6

Tulis $x^{3} + 12 x^{2} + 24 x - 77$ sebagai himpunan faktor.

$(x + 7) (x^{2} + 5 x - 11) = 0$

Langkah 2.6

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x + 7 = 0$

$x^{2} + 5 x - 11 = 0$

Langkah 2.7

Atur $x + 7$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1

Atur $x + 7$ sama dengan $0$ .

$x + 7 = 0$

Langkah 2.7.2

Kurangkan $7$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 7$

Langkah 2.8

Atur $x^{2} + 5 x - 11$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1

Atur $x^{2} + 5 x - 11$ sama dengan $0$ .

$x^{2} + 5 x - 11 = 0$

Langkah 2.8.2

Selesaikan $x^{2} + 5 x - 11 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.2.1

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 2.8.2.2

Substitusikan nilai-nilai $a = 1$ , $b = 5$ , dan $c = - 11$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $x$ .

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 11)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.8.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.2.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.2.3.1.1

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot - 11}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.8.2.3.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot - 11$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.2.3.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 11}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.8.2.3.1.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $- 11$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 44}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.8.2.3.1.3

Tambahkan $25$ dan $44$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{69}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.8.2.3.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{69}}{2}$

Langkah 2.8.2.4

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $+$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.2.4.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.2.4.1.1

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot - 11}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.8.2.4.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot - 11$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.2.4.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 11}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.8.2.4.1.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $- 11$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 44}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.8.2.4.1.3

Tambahkan $25$ dan $44$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{69}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.8.2.4.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{69}}{2}$

Langkah 2.8.2.4.3

Ubah $\pm$ menjadi $+$ .

$x = \frac{- 5 + \sqrt{69}}{2}$

Langkah 2.8.2.4.4

Tulis kembali $- 5$ sebagai $- 1 (5)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 + \sqrt{69}}{2}$

Langkah 2.8.2.4.5

Faktorkan $- 1$ dari $\sqrt{69}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - 1 (- \sqrt{69})}{2}$

Langkah 2.8.2.4.6

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 (5) - 1 (- \sqrt{69})$ .

$x = \frac{- 1 (5 - \sqrt{69})}{2}$

Langkah 2.8.2.4.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x = - \frac{5 - \sqrt{69}}{2}$

Langkah 2.8.2.5

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $-$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.2.5.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.2.5.1.1

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot - 11}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.8.2.5.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot - 11$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.2.5.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 11}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.8.2.5.1.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $- 11$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 44}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.8.2.5.1.3

Tambahkan $25$ dan $44$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{69}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.8.2.5.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{69}}{2}$

Langkah 2.8.2.5.3

Ubah $\pm$ menjadi $-$ .

$x = \frac{- 5 - \sqrt{69}}{2}$

Langkah 2.8.2.5.4

Tulis kembali $- 5$ sebagai $- 1 (5)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - \sqrt{69}}{2}$

Langkah 2.8.2.5.5

Faktorkan $- 1$ dari $- \sqrt{69}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - (\sqrt{69})}{2}$

Langkah 2.8.2.5.6

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 (5) - (\sqrt{69})$ .

$x = \frac{- 1 (5 + \sqrt{69})}{2}$

Langkah 2.8.2.5.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x = - \frac{5 + \sqrt{69}}{2}$

Langkah 2.8.2.6

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$x = - \frac{5 - \sqrt{69}}{2}, - \frac{5 + \sqrt{69}}{2}$

Langkah 2.9

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(x + 7) (x^{2} + 5 x - 11) = 0$ benar.

$x = - 7, - \frac{5 - \sqrt{69}}{2}, - \frac{5 + \sqrt{69}}{2}$

Langkah 3

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$x = - 7, - \frac{5 - \sqrt{69}}{2}, - \frac{5 + \sqrt{69}}{2}$

Bentuk Desimal:

$x = - 7, 1.65331193 \dots, - 6.65331193 \dots$