Aljabar Contoh

$49 x^{2} + 16 y^{2} = 784$

Langkah 1

Tentukan bentuk baku dari elips.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Bagi setiap suku dengan $784$ untuk membuat sisi kanan sama dengan satu.

$\frac{49 x^{2}}{784} + \frac{16 y^{2}}{784} = \frac{784}{784}$

Langkah 1.2

Sederhanakan setiap suku dalam persamaan tersebut agar sisi kanan sama dengan $1$ . Bentuk baku dari elips atau hiperbola mengharuskan sisi kanan persamaan menjadi $1$ .

$\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{49} = 1$

Langkah 2

Ini adalah bentuk dari elips. Gunakan bentuk ini untuk menentukan nilai-nilai yang digunakan untuk menentukan pusat serta sumbu panjang dan sumbu pendek dari elips.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Langkah 3

Sesuaikan nilai-nilai dari elips ini dengan bentuk baku tersebut. Variabel $a$ mewakili radius sumbu panjang elips, $b$ mewakili radius sumbu pendek elips, $h$ mewakili x-offset dari titik asal, dan $k$ mewakili y-offset dari titik asal.

$a = 7$

$b = 4$

$k = 0$

$h = 0$

Langkah 4

Pusat elips mengikuti bentuk dari $(h, k)$ . Masukkan nilai-nilai dari $h$ dan $k$ .

$(0, 0)$

Langkah 5

Temukan $c$ , jarak dari pusat ke fokus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Hitung jarak dari pusat ke fokus elips menggunakan rumus berikut.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Langkah 5.2

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ dalam rumus.

$\sqrt{{(7)}^{2} - {(4)}^{2}}$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Naikkan $7$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{49 - {(4)}^{2}}$

Langkah 5.3.2

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{49 - 1 \cdot 16}$

Langkah 5.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $16$ .

$\sqrt{49 - 16}$

Langkah 5.3.4

Kurangi $16$ dengan $49$ .

$\sqrt{33}$

Langkah 6

Tentukan verteks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Verteks pertama dari elips dapat ditentukan dengan menambahkan $a$ ke $k$ .

$(h, k + a)$

Langkah 6.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(0, 0 + 7)$

Langkah 6.3

Sederhanakan.

$(0, 7)$

Langkah 6.4

Puncak kedua dari elips dapat ditemukan dengan mengurangi $a$ dari $k$ .

$(h, k - a)$

Langkah 6.5

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(0, 0 - (7))$

Langkah 6.6

Sederhanakan.

$(0, - 7)$

Langkah 6.7

Elips mempunyai dua puncak.

${Vertex}_{1}$ : $(0, 7)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 7)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 7)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 7)$

Langkah 7

Tentukan titik apinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Titik fokus pertama dari elips dapat ditentukan dengan menambahkan $c$ ke $k$ .

$(h, k + c)$

Langkah 7.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(0, 0 + \sqrt{33})$

Langkah 7.3

Sederhanakan.

$(0, \sqrt{33})$

Langkah 7.4

Titik fokus pertama dari elips dapat ditentukan dengan mengurangi $c$ dari $k$ .

$(h, k - c)$

Langkah 7.5

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(0, 0 - (\sqrt{33}))$

Langkah 7.6

Sederhanakan.

$(0, - \sqrt{33})$

Langkah 7.7

Elips mempunyai dua titik api.

${Focus}_{1}$ : $(0, \sqrt{33})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \sqrt{33})$

${Focus}_{1}$ : $(0, \sqrt{33})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \sqrt{33})$

Langkah 8

Tentukan eksentrisitasnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Tentukan eksentrisitas menggunakan rumus berikut.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Langkah 8.2

Substitusikan nilai-nilai $a$ dan $b$ ke dalam rumusnya.

$\frac{\sqrt{{(7)}^{2} - {(4)}^{2}}}{7}$

Langkah 8.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Naikkan $7$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{\sqrt{49 - 4^{2}}}{7}$

Langkah 8.3.2

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{\sqrt{49 - 1 \cdot 16}}{7}$

Langkah 8.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $16$ .

$\frac{\sqrt{49 - 16}}{7}$

Langkah 8.3.4

Kurangi $16$ dengan $49$ .

$\frac{\sqrt{33}}{7}$

Langkah 9

Nilai-nilai ini merupakan nilai-nilai yang penting untuk membuat grafik dan menganalisis elips.

Pusat: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 7)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 7)$

${Focus}_{1}$ : $(0, \sqrt{33})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \sqrt{33})$

Eksentrisitas: $\frac{\sqrt{33}}{7}$

Langkah 10