Aljabar Contoh

$x^{2} - y^{2} = 1$

Langkah 1

Karena $x = r \cos (θ)$ , ganti $x$ dengan $r \cos (θ)$ .

${(r \cos (θ))}^{2} - y^{2} = 1$

Langkah 2

Karena $y = r \sin (θ)$ , ganti $y$ dengan $r \sin (θ)$ .

${(r \cos (θ))}^{2} - {(r \sin (θ))}^{2} = 1$

Langkah 3

Selesaikan $r$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Sederhanakan ${(r \cos (θ))}^{2} - {(r \sin (θ))}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.1

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = r \cos (θ)$ dan $b = r \sin (θ)$ .

$(r \cos (θ) + r \sin (θ)) (r \cos (θ) - (r \sin (θ))) = 1$

Langkah 3.1.1.2

Perluas $(r \cos (θ) + r \sin (θ)) (r \cos (θ) - r \sin (θ))$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.2.1

Terapkan sifat distributif.

$r \cos (θ) (r \cos (θ) - r \sin (θ)) + r \sin (θ) (r \cos (θ) - r \sin (θ)) = 1$

Langkah 3.1.1.2.2

Terapkan sifat distributif.

$r \cos (θ) (r \cos (θ)) + r \cos (θ) (- r \sin (θ)) + r \sin (θ) (r \cos (θ) - r \sin (θ)) = 1$

Langkah 3.1.1.2.3

Terapkan sifat distributif.

$r \cos (θ) (r \cos (θ)) + r \cos (θ) (- r \sin (θ)) + r \sin (θ) (r \cos (θ)) + r \sin (θ) (- r \sin (θ)) = 1$

Langkah 3.1.1.3

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.3.1

Gabungkan suku balikan dalam $r \cos (θ) (r \cos (θ)) + r \cos (θ) (- r \sin (θ)) + r \sin (θ) (r \cos (θ)) + r \sin (θ) (- r \sin (θ))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.3.1.1

Susun kembali faktor-faktor dalam suku-suku $r \cos (θ) (- r \sin (θ))$ dan $r \sin (θ) (r \cos (θ))$ .

$r \cos (θ) (r \cos (θ)) - r \cdot r \cos (θ) \sin (θ) + r \cdot r \cos (θ) \sin (θ) + r \sin (θ) (- r \sin (θ)) = 1$

Langkah 3.1.1.3.1.2

Tambahkan $- r \cdot r \cos (θ) \sin (θ)$ dan $r \cdot r \cos (θ) \sin (θ)$ .

$r \cos (θ) (r \cos (θ)) + 0 + r \sin (θ) (- r \sin (θ)) = 1$

Langkah 3.1.1.3.1.3

Tambahkan $r \cos (θ) (r \cos (θ))$ dan $0$ .

$r \cos (θ) (r \cos (θ)) + r \sin (θ) (- r \sin (θ)) = 1$

Langkah 3.1.1.3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.3.2.1

Kalikan $r$ dengan $r$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.3.2.1.1

Pindahkan $r$ .

$r \cdot r \cos (θ) \cos (θ) + r \sin (θ) (- r \sin (θ)) = 1$

Langkah 3.1.1.3.2.1.2

Kalikan $r$ dengan $r$ .

$r^{2} \cos (θ) \cos (θ) + r \sin (θ) (- r \sin (θ)) = 1$

Langkah 3.1.1.3.2.2

Kalikan $r^{2} \cos (θ) \cos (θ)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.3.2.2.1

Naikkan $\cos (θ)$ menjadi pangkat $1$ .

$r^{2} (\cos^{1} (θ) \cos (θ)) + r \sin (θ) (- r \sin (θ)) = 1$

Langkah 3.1.1.3.2.2.2

Naikkan $\cos (θ)$ menjadi pangkat $1$ .

$r^{2} (\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ)) + r \sin (θ) (- r \sin (θ)) = 1$

Langkah 3.1.1.3.2.2.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$r^{2} {\cos (θ)}^{1 + 1} + r \sin (θ) (- r \sin (θ)) = 1$

Langkah 3.1.1.3.2.2.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) + r \sin (θ) (- r \sin (θ)) = 1$

Langkah 3.1.1.3.2.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$r^{2} \cos^{2} (θ) - r \sin (θ) r \sin (θ) = 1$

Langkah 3.1.1.3.2.4

Kalikan $r$ dengan $r$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.3.2.4.1

Pindahkan $r$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - (r \cdot r) \sin (θ) \sin (θ) = 1$

Langkah 3.1.1.3.2.4.2

Kalikan $r$ dengan $r$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - r^{2} \sin (θ) \sin (θ) = 1$

Langkah 3.1.1.3.2.5

Kalikan $- r^{2} \sin (θ) \sin (θ)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.3.2.5.1

Naikkan $\sin (θ)$ menjadi pangkat $1$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - r^{2} (\sin^{1} (θ) \sin (θ)) = 1$

Langkah 3.1.1.3.2.5.2

Naikkan $\sin (θ)$ menjadi pangkat $1$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - r^{2} (\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ)) = 1$

Langkah 3.1.1.3.2.5.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$r^{2} \cos^{2} (θ) - r^{2} {\sin (θ)}^{1 + 1} = 1$

Langkah 3.1.1.3.2.5.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - r^{2} \sin^{2} (θ) = 1$

Langkah 3.2

Faktorkan $r^{2}$ dari $r^{2} \cos^{2} (θ) - r^{2} \sin^{2} (θ)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Faktorkan $r^{2}$ dari $- r^{2} \sin^{2} (θ)$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) + r^{2} (- 1 \sin^{2} (θ)) = 1$

Langkah 3.2.2

Faktorkan $r^{2}$ dari $r^{2} \cos^{2} (θ) + r^{2} (- 1 \sin^{2} (θ))$ .

$r^{2} (\cos^{2} (θ) - 1 \sin^{2} (θ)) = 1$

Langkah 3.3

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = \cos (θ)$ dan $b = \sin (θ)$ .

$r^{2} ((\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))) = 1$

Langkah 3.3.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$r^{2} (\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ)) = 1$

Langkah 3.4

Bagi setiap suku pada $r^{2} (\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ)) = 1$ dengan $(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Bagilah setiap suku di $r^{2} (\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ)) = 1$ dengan $(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))$ .

$\frac{r^{2} (\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))} = \frac{1}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

Langkah 3.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $\cos (θ) + \sin (θ)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{r^{2} (\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))} = \frac{1}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

Langkah 3.4.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{r^{2} (\cos (θ) - \sin (θ))}{\cos (θ) - \sin (θ)} = \frac{1}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

Langkah 3.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $\cos (θ) - \sin (θ)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{r^{2} (\cos (θ) - \sin (θ))}{\cos (θ) - \sin (θ)} = \frac{1}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

Langkah 3.4.2.2.2

Bagilah $r^{2}$ dengan $1$ .

$r^{2} = \frac{1}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

Langkah 3.5

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$r = \pm \sqrt{\frac{1}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$

Langkah 3.6

Sederhanakan $\pm \sqrt{\frac{1}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Tulis kembali $\sqrt{\frac{1}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$ sebagai $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$

Langkah 3.6.2

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$r = \pm \frac{1}{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$

Langkah 3.6.3

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$ dengan $\frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$ .

$r = \pm \frac{1}{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}} \cdot \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$

Langkah 3.6.4

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.4.1

$r = \pm \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))} \sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$

Langkah 3.6.4.2

Naikkan $\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$ menjadi pangkat $1$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}^{1} \sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$

Langkah 3.6.4.3

Naikkan $\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$ menjadi pangkat $1$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}^{1} {\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}^{1}}$

Langkah 3.6.4.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$r = \pm \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}^{1 + 1}}$

Langkah 3.6.4.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}^{2}}$

Langkah 3.6.4.6

Tulis kembali ${\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}^{2}$ sebagai $(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.4.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$ sebagai ${((\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ)))}^{\frac{1}{2}}$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{{({((\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ)))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 3.6.4.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{{((\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ)))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 3.6.4.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{{((\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ)))}^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 3.6.4.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.4.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$r = \pm \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{{((\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ)))}^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 3.6.4.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$r = \pm \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{{((\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ)))}^{1}}$

Langkah 3.6.4.6.5

Sederhanakan.

$r = \pm \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

Langkah 3.7

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$r = \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

Langkah 3.7.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$r = - \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

Langkah 3.7.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$r = \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

$r = - \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

$r = \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

$r = - \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

$r = \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

$r = - \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$