Aljabar Contoh

$x^{2} - 2 x - y^{2} + 2 y = 1$

Langkah 1

Tentukan bentuk baku dari hiperbola.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Selesaikan kuadrat dari $x^{2} - 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Gunakan bentuk $a x^{2} + b x + c$ , untuk menemukan nilai dari $a$ , $b$ , dan $c$ .

$a = 1$

$b = - 2$

$c = 0$

Langkah 1.1.2

Mempertimbangkan bentuk verteks parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Langkah 1.1.3

Temukan nilai dari $d$ menggunakan rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ ke dalam rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 2}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.1.3.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.1.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

Langkah 1.1.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.1.3.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$d = \frac{- 1}{1}$

Langkah 1.1.3.2.2.4

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$d = - 1$

Langkah 1.1.4

Temukan nilai dari $e$ menggunakan rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Substitusikan nilai-nilai dari $c$ , $b$ , dan $a$ ke dalam rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Langkah 1.1.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.2.1.1

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Langkah 1.1.4.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Langkah 1.1.4.2.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.2.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Langkah 1.1.4.2.1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

Langkah 1.1.4.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$e = 0 - 1$

Langkah 1.1.4.2.2

Kurangi $1$ dengan $0$ .

$e = - 1$

Langkah 1.1.5

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ , $d$ , dan $e$ ke dalam bentuk verteks ${(x - 1)}^{2} - 1$ .

${(x - 1)}^{2} - 1$

Langkah 1.2

Substitusikan ${(x - 1)}^{2} - 1$ untuk $x^{2} - 2 x$ dalam persamaan $x^{2} - 2 x - y^{2} + 2 y = 1$ .

${(x - 1)}^{2} - 1 - y^{2} + 2 y = 1$

Langkah 1.3

Pindahkan $- 1$ ke sisi kanan persamaan dengan menambahkan $1$ ke kedua sisinya.

${(x - 1)}^{2} - y^{2} + 2 y = 1 + 1$

Langkah 1.4

Selesaikan kuadrat dari $- y^{2} + 2 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Gunakan bentuk $a x^{2} + b x + c$ , untuk menemukan nilai dari $a$ , $b$ , dan $c$ .

$a = - 1$

$b = 2$

$c = 0$

Langkah 1.4.2

Mempertimbangkan bentuk verteks parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Langkah 1.4.3

Temukan nilai dari $d$ menggunakan rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.1

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ ke dalam rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 \cdot - 1}$

Langkah 1.4.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{2}{2 \cdot - 1}$

Langkah 1.4.3.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$d = \frac{1}{- 1}$

Langkah 1.4.3.2.1.3

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{1}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 1$

Langkah 1.4.3.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$d = - 1$

Langkah 1.4.4

Temukan nilai dari $e$ menggunakan rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.4.1

Substitusikan nilai-nilai dari $c$ , $b$ , dan $a$ ke dalam rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot - 1}$

Langkah 1.4.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.4.2.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot - 1}$

Langkah 1.4.4.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$e = 0 - \frac{4}{- 4}$

Langkah 1.4.4.2.1.3

Bagilah $4$ dengan $- 4$ .

$e = 0 - - 1$

Langkah 1.4.4.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$e = 0 + 1$

Langkah 1.4.4.2.2

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$e = 1$

Langkah 1.4.5

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ , $d$ , dan $e$ ke dalam bentuk verteks $- {(y - 1)}^{2} + 1$ .

$- {(y - 1)}^{2} + 1$

Langkah 1.5

Substitusikan $- {(y - 1)}^{2} + 1$ untuk $- y^{2} + 2 y$ dalam persamaan $x^{2} - 2 x - y^{2} + 2 y = 1$ .

${(x - 1)}^{2} - {(y - 1)}^{2} + 1 = 1 + 1$

Langkah 1.6

Pindahkan $1$ ke sisi kanan persamaan dengan menambahkan $1$ ke kedua sisinya.

${(x - 1)}^{2} - {(y - 1)}^{2} = 1 + 1 - 1$

Langkah 1.7

Sederhanakan $1 + 1 - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Tambahkan $1$ dan $1$ .

${(x - 1)}^{2} - {(y - 1)}^{2} = 2 - 1$

Langkah 1.7.2

Kurangi $1$ dengan $2$ .

${(x - 1)}^{2} - {(y - 1)}^{2} = 1$

Langkah 2

Ini adalah bentuk dari hiperbola. Gunakan bentuk ini untuk menentukan nilai-nilai yang digunakan untuk menentukan verteks dan asimtot hiperbola tersebut.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Langkah 3

Sesuaikan nilai-nilai dari hiperbola ini dengan bentuk baku tersebut. Variabel $h$ mewakili x-offset dari titik asal, $k$ mewakili y-offset dari titik asal, $a$ .

$a = 1$

$b = 1$

$k = 1$

$h = 1$

Langkah 4

Pusat hiperbola mengikuti bentuk dari $(h, k)$ . Masukkan nilai-nilai dari $h$ dan $k$ .

$(1, 1)$

Langkah 5

Temukan $c$ , jarak dari pusat ke fokus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Hitung jarak dari pusat ke fokus hiperbola menggunakan rumus berikut.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Langkah 5.2

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ dalam rumus.

$\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\sqrt{1 + {(1)}^{2}}$

Langkah 5.3.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\sqrt{1 + 1}$

Langkah 5.3.3

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\sqrt{2}$

Langkah 6

Tentukan verteks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Verteks pertama dari hiperbola dapat ditentukan dengan menambahkan $a$ ke $h$ .

$(h + a, k)$

Langkah 6.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(2, 1)$

Langkah 6.3

Verteks kedua dari hiperbola dapat ditemukan dengan mengurangi $a$ dari $h$ .

$(h - a, k)$

Langkah 6.4

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(0, 1)$

Langkah 6.5

Verteks dari suatu hiperbola mengikuti bentuk $(h \pm a, k)$ . Hiperbola mempunyai dua verteks.

$(2, 1), (0, 1)$

Langkah 7

Tentukan titik apinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Titik fokus pertama dari hiperbola dapat ditentukan dengan menambahkan $c$ ke $h$ .

$(h + c, k)$

Langkah 7.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(1 + \sqrt{2}, 1)$

Langkah 7.3

Titik fokus kedua dari hiperbola dapat dicari dengan mengurangi $c$ dari $h$ .

$(h - c, k)$

Langkah 7.4

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(1 - \sqrt{2}, 1)$

Langkah 7.5

Titik api dari hiperbola mengikuti bentuk dari $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Hiperbola memiliki dua titik api.

$(1 + \sqrt{2}, 1), (1 - \sqrt{2}, 1)$

Langkah 8

Tentukan eksentrisitasnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Tentukan eksentrisitas menggunakan rumus berikut.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Langkah 8.2

Substitusikan nilai-nilai $a$ dan $b$ ke dalam rumusnya.

$\frac{\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}}{1}$

Langkah 8.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Bagilah $\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}$ dengan $1$ .

$\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}$

Langkah 8.3.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\sqrt{1 + {(1)}^{2}}$

Langkah 8.3.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\sqrt{1 + 1}$

Langkah 8.3.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\sqrt{2}$

Langkah 9

Tentukan parameter fokus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Temukan nilai parameter fokus dari hiperbola menggunakan rumus berikut.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Langkah 9.2

Substitusikan nilai-nilai dari $b$ dan $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dalam rumus.

$\frac{1^{2}}{\sqrt{2}}$

Langkah 9.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{1}{\sqrt{2}}$

Langkah 9.3.2

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{2}}$ dengan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Langkah 9.3.3

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.3.1

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{2}}$ dengan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Langkah 9.3.3.2

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Langkah 9.3.3.3

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Langkah 9.3.3.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Langkah 9.3.3.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Langkah 9.3.3.6

Tulis kembali ${\sqrt{2}}^{2}$ sebagai $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.3.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2}$ sebagai $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 9.3.3.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 9.3.3.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 9.3.3.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.3.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 9.3.3.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Langkah 9.3.3.6.5

Evaluasi eksponennya.

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Langkah 10

Asimtotnya mengikuti bentuk $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ karena hiperbola ini terbuka ke kiri dan kanan.

$y = \pm 1 \cdot (x - (1)) + 1$

Langkah 11

Sederhanakan untuk menentukan asimtot pertama.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Hilangkan tanda kurung.

$y = 1 \cdot (x - (1)) + 1$

Langkah 11.2

Sederhanakan $1 \cdot (x - (1)) + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1.1

Kalikan $x - (1)$ dengan $1$ .

$y = x - (1) + 1$

Langkah 11.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$y = x - 1 + 1$

Langkah 11.2.2

Gabungkan suku balikan dalam $x - 1 + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.2.1

Tambahkan $- 1$ dan $1$ .

$y = x + 0$

Langkah 11.2.2.2

Tambahkan $x$ dan $0$ .

$y = x$

Langkah 12

Sederhanakan untuk menentukan asimtot kedua.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Hilangkan tanda kurung.

$y = - 1 \cdot (x - (1)) + 1$

Langkah 12.2

Sederhanakan $- 1 \cdot (x - (1)) + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$y = - 1 \cdot (x - 1) + 1$

Langkah 12.2.1.2

Terapkan sifat distributif.

$y = - 1 x - 1 \cdot - 1 + 1$

Langkah 12.2.1.3

Tulis kembali $- 1 x$ sebagai $- x$ .

$y = - x - 1 \cdot - 1 + 1$

Langkah 12.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$y = - x + 1 + 1$

Langkah 12.2.2

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$y = - x + 2$

Langkah 13

Hiperbola ini memiliki dua asimtot.

$y = x, y = - x + 2$

Langkah 14

Nilai-nilai ini merupakan nilai-nilai yang penting untuk membuat grafik dan menganalisis hiperbola.

Pusat: $(1, 1)$

Verteks: $(2, 1), (0, 1)$

Titik api: $(1 + \sqrt{2}, 1), (1 - \sqrt{2}, 1)$

Eksentrisitas: $\sqrt{2}$

Parameter Fokus: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Asimtot: $y = x$ , $y = - x + 2$

Langkah 15