Aljabar Contoh

$\frac{x^{2} + 4 x - 3}{x^{2} + 1} < x$

Langkah 1

Kurangkan $x$ pada kedua sisi pertidaksamaan tersebut.

$\frac{x^{2} + 4 x - 3}{x^{2} + 1} - x < 0$

Langkah 2

Sederhanakan $\frac{x^{2} + 4 x - 3}{x^{2} + 1} - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Untuk menuliskan $- x$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 3}{x^{2} + 1} - x \cdot \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1} < 0$

Langkah 2.2

Gabungkan $- x$ dan $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 3}{x^{2} + 1} + \frac{- x (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} < 0$

Langkah 2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{x^{2} + 4 x - 3 - x (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} < 0$

Langkah 2.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x^{2} + 4 x - 3 - x \cdot x^{2} - x \cdot 1}{x^{2} + 1} < 0$

Langkah 2.4.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Pindahkan $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 3 - (x^{2} x) - x \cdot 1}{x^{2} + 1} < 0$

Langkah 2.4.2.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 3 - (x^{2} x^{1}) - x \cdot 1}{x^{2} + 1} < 0$

Langkah 2.4.2.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{x^{2} + 4 x - 3 - x^{2 + 1} - x \cdot 1}{x^{2} + 1} < 0$

Langkah 2.4.2.3

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 3 - x^{3} - x \cdot 1}{x^{2} + 1} < 0$

Langkah 2.4.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 3 - x^{3} - x}{x^{2} + 1} < 0$

Langkah 2.4.4

Kurangi $x$ dengan $4 x$ .

$\frac{x^{2} + 3 x - 3 - x^{3}}{x^{2} + 1} < 0$

Langkah 2.4.5

Susun kembali suku-suku.

$\frac{- x^{3} + x^{2} + 3 x - 3}{x^{2} + 1} < 0$

Langkah 2.4.6

Tulis kembali $- x^{3} + x^{2} + 3 x - 3$ dalam bentuk faktor.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.6.1

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.6.1.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$\frac{(- x^{3} + x^{2}) + 3 x - 3}{x^{2} + 1} < 0$

Langkah 2.4.6.1.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$\frac{x^{2} (- x + 1) - 3 (- x + 1)}{x^{2} + 1} < 0$

Langkah 2.4.6.2

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $- x + 1$ .

$\frac{(- x + 1) (x^{2} - 3)}{x^{2} + 1} < 0$

Langkah 2.5

Faktorkan $- 1$ dari $- x$ .

$\frac{(- (x) + 1) (x^{2} - 3)}{x^{2} + 1} < 0$

Langkah 2.6

Tulis kembali $1$ sebagai $- 1 (- 1)$ .

$\frac{(- (x) - 1 (- 1)) (x^{2} - 3)}{x^{2} + 1} < 0$

Langkah 2.7

Faktorkan $- 1$ dari $- (x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (x - 1) (x^{2} - 3)}{x^{2} + 1} < 0$

Langkah 2.8

Tulis kembali $- (x - 1)$ sebagai $- 1 (x - 1)$ .

$\frac{- 1 (x - 1) (x^{2} - 3)}{x^{2} + 1} < 0$

Langkah 2.9

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{(x - 1) (x^{2} - 3)}{x^{2} + 1} < 0$

Langkah 3

Tentukan semua nilai di mana ungkapan berbalik dari negatif ke positif dengan mengatur setiap faktor agar sama dengan $0$ dan menyelesaikannya.

$x - 1 = 0$

$x^{2} - 3 = 0$

$x^{2} + 1 = 0$

Langkah 4

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 1$

Langkah 5

Tambahkan $3$ ke kedua sisi persamaan.

$x^{2} = 3$

Langkah 6

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{3}$

Langkah 7

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = \sqrt{3}$

Langkah 7.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - \sqrt{3}$

Langkah 7.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Langkah 8

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x^{2} = - 1$

Langkah 9

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Langkah 10

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \pm i$

Langkah 11

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = i$

Langkah 11.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - i$

Langkah 11.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = i, - i$

Langkah 12

Selesaikan setiap faktor untuk menemukan nilai di mana pernyataan nilai mutlaknya berubah dari negatif ke positif.

$x = 1$

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

$x = i, - i$

Langkah 13

Gabungkan penyelesaiannya.

$x = 1, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Langkah 14

Gunakan masing-masing akar untuk membuat interval pengujian.

$x < - \sqrt{3}$

$- \sqrt{3} < x < 1$

$1 < x < \sqrt{3}$

$x > \sqrt{3}$

Langkah 15

Pilih nilai uji dari masing-masing interval dan masukkan nilai ini ke dalam pertidaksamaan asal untuk menentukan interval mana yang memenuhi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Uji nilai pada interval $x < - \sqrt{3}$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1.1

Pilih nilai pada interval $x < - \sqrt{3}$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = - 4$

Langkah 15.1.2

Ganti $x$ dengan $- 4$ pada pertidaksamaan asal.

$\frac{{(- 4)}^{2} + 4 (- 4) - 3}{{(- 4)}^{2} + 1} < - 4$

Langkah 15.1.3

Sisi kiri $- 0.17647058$ tidak lebih kecil dari sisi kanan $- 4$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

Salah

Langkah 15.2

Uji nilai pada interval $- \sqrt{3} < x < 1$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1

Pilih nilai pada interval $- \sqrt{3} < x < 1$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 0$

Langkah 15.2.2

Ganti $x$ dengan $0$ pada pertidaksamaan asal.

$\frac{{(0)}^{2} + 4 (0) - 3}{{(0)}^{2} + 1} < 0$

Langkah 15.2.3

Sisi kiri $- 3$ lebih kecil dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

Benar

Langkah 15.3

Uji nilai pada interval $1 < x < \sqrt{3}$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.3.1

Pilih nilai pada interval $1 < x < \sqrt{3}$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 1.37$

Langkah 15.3.2

Ganti $x$ dengan $1.37$ pada pertidaksamaan asal.

$\frac{{(1.37)}^{2} + 4 (1.37) - 3}{{(1.37)}^{2} + 1} < 1.37$

Langkah 15.3.3

Sisi kiri $1.51444262$ tidak lebih kecil dari sisi kanan $1.37$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

Salah

Langkah 15.4

Uji nilai pada interval $x > \sqrt{3}$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.4.1

Pilih nilai pada interval $x > \sqrt{3}$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 4$

Langkah 15.4.2

Ganti $x$ dengan $4$ pada pertidaksamaan asal.

$\frac{{(4)}^{2} + 4 (4) - 3}{{(4)}^{2} + 1} < 4$

Langkah 15.4.3

Sisi kiri $1.70588235$ lebih kecil dari sisi kanan $4$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

Benar

Langkah 15.5

Bandingkan interval untuk menentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan asal.

$x < - \sqrt{3}$ Salah

$- \sqrt{3} < x < 1$ Benar

$1 < x < \sqrt{3}$ Salah

$x > \sqrt{3}$ Benar

$x < - \sqrt{3}$ Salah

$- \sqrt{3} < x < 1$ Benar

$1 < x < \sqrt{3}$ Salah

$x > \sqrt{3}$ Benar

Langkah 16

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$- \sqrt{3} < x < 1$ atau $x > \sqrt{3}$

Langkah 17

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Ketidaksamaan:

$- \sqrt{3} < x < 1 or x > \sqrt{3}$

Notasi Interval:

$(- \sqrt{3}, 1) \cup (\sqrt{3}, \infty)$

Langkah 18