Aljabar Contoh

$f (x) = \arcsin (\cos (x))$

Langkah 1

Atur argumen dalam $\arcsin (\cos (x))$ agar lebih besar dari atau sama dengan $- 1$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$\cos (x) \geq - 1$

Langkah 2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosinus.

$x \geq \arccos (- 1)$

Langkah 2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Nilai eksak dari $\arccos (- 1)$ adalah $π$ .

$x \geq π$

Langkah 2.3

Fungsi kosinus negatif di kuadran kedua dan ketiga. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menghitung penyelesaian di kuadran ketiga.

$x = 2 π - π$

Langkah 2.4

Kurangi $π$ dengan $2 π$ .

$x = π$

Langkah 2.5

Tentukan periode dari $\cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 2.5.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 2.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 2.5.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 2.6

Periode dari fungsi $\cos (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = π + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 2.7

Gunakan masing-masing akar untuk membuat interval pengujian.

$π < x < 3 π$

Langkah 2.8

Pilih nilai uji dari masing-masing interval dan masukkan nilai ini ke dalam pertidaksamaan asal untuk menentukan interval mana yang memenuhi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1

Uji nilai pada interval $π < x < 3 π$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1.1

Pilih nilai pada interval $π < x < 3 π$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 6$

Langkah 2.8.1.2

Ganti $x$ dengan $6$ pada pertidaksamaan asal.

$\cos (6) \geq - 1$

Langkah 2.8.1.3

Sisi kiri $0.96017028$ lebih besar dari sisi kanan $- 1$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

Benar

Langkah 2.8.2

Bandingkan interval untuk menentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan asal.

$π < x < 3 π$ Benar

Langkah 2.9

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$π + 2 π n \leq x \leq 3 π + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 3

Atur argumen dalam $\arcsin (\cos (x))$ agar lebih kecil dari atau sama dengan $1$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$\cos (x) \leq 1$

Langkah 4

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosinus.

$x \leq \arccos (1)$

Langkah 4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Nilai eksak dari $\arccos (1)$ adalah $0$ .

$x \leq 0$

Langkah 4.3

Fungsi kosinus positif pada kuadran pertama dan keempat. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menemukan penyelesaian pada kuadran keempat.

$x = 2 π - 0$

Langkah 4.4

Kurangi $0$ dengan $2 π$ .

$x = 2 π$

Langkah 4.5

Tentukan periode dari $\cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 4.5.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 4.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 4.5.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 4.6

Periode dari fungsi $\cos (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 4.7

Gabungkan jawabannya.

$x = 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 4.8

Gunakan masing-masing akar untuk membuat interval pengujian.

$0 < x < 2 π$

Langkah 4.9

Pilih nilai uji dari masing-masing interval dan masukkan nilai ini ke dalam pertidaksamaan asal untuk menentukan interval mana yang memenuhi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.9.1

Uji nilai pada interval $0 < x < 2 π$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.9.1.1

Pilih nilai pada interval $0 < x < 2 π$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 3$

Langkah 4.9.1.2

Ganti $x$ dengan $3$ pada pertidaksamaan asal.

$\cos (3) \leq 1$

Langkah 4.9.1.3

Sisi kiri $- 0.98999249$ lebih kecil dari sisi kanan $1$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

Benar

Langkah 4.9.2

Bandingkan interval untuk menentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan asal.

$0 < x < 2 π$ Benar

Langkah 4.10

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$0 + 2 π n \leq x \leq 2 π + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 5

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x = π + 2 π n, x = 3 π + 2 π n, x = 0 + 2 π n, x = 2 π + 2 π n}$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 6

Jangkauannya adalah himpunan dari semua nilai $y$ yang valid. Gunakan grafik untuk mencari intervalnya.

Notasi Interval:

$[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$

Notasi Pembuat Himpunan:

${y | - \frac{π}{2} \leq y \leq \frac{π}{2}}$

Langkah 7

Tentukan domain dan daerah hasilnya.

Domain: ${x | x = π + 2 π n, x = 3 π + 2 π n, x = 0 + 2 π n, x = 2 π + 2 π n}$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Daerah hasil: $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}], {y | - \frac{π}{2} \leq y \leq \frac{π}{2}}$

Langkah 8