Aljabar Contoh

f (x) = \arcsin (\cos (x))

$f (x) = \arcsin (\cos (x))$

Langkah 1

Atur argumen dalam

\arcsin (\cos (x))

$\arcsin (\cos (x))$ agar lebih besar dari atau sama dengan

- 1

$- 1$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

\cos (x) \geq - 1

$\cos (x) \geq - 1$

Langkah 2

Selesaikan

x

$x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan

x

$x$ dari dalam kosinus.

x \geq \arccos (- 1)

$x \geq \arccos (- 1)$

Langkah 2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Nilai eksak dari

\arccos (- 1)

$\arccos (- 1)$ adalah

π

$π$ .

x \geq π

$x \geq π$

x \geq π

$x \geq π$

Langkah 2.3

Fungsi kosinus negatif di kuadran kedua dan ketiga. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari

2 π

$2 π$ untuk menghitung penyelesaian di kuadran ketiga.

x = 2 π - π

$x = 2 π - π$

Langkah 2.4

Kurangi

π

$π$ dengan

2 π

$2 π$ .

x = π

$x = π$

Langkah 2.5

Tentukan periode dari

\cos (x)

$\cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ .

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 2.5.2

Ganti

b

$b$ dengan

1

$1$ dalam rumus untuk periode.

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 2.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara

0

$0$ dan

1

$1$ adalah

1

$1$ .

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 2.5.4

Bagilah

2 π

$2 π$ dengan

1

$1$ .

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

Langkah 2.6

Periode dari fungsi

\cos (x)

$\cos (x)$ adalah

2 π

$2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap

2 π

$2 π$ radian di kedua arah.

x = π + 2 π n

$x = π + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat

n

$n$

Langkah 2.7

Gunakan masing-masing akar untuk membuat interval pengujian.

π < x < 3 π

$π < x < 3 π$

Langkah 2.8

Pilih nilai uji dari masing-masing interval dan masukkan nilai ini ke dalam pertidaksamaan asal untuk menentukan interval mana yang memenuhi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1

Uji nilai pada interval

π < x < 3 π

$π < x < 3 π$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1.1

Pilih nilai pada interval

π < x < 3 π

$π < x < 3 π$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

x = 6

$x = 6$

Langkah 2.8.1.2

Ganti

x

$x$ dengan

6

$6$ pada pertidaksamaan asal.

\cos (6) \geq - 1

$\cos (6) \geq - 1$

Langkah 2.8.1.3

Sisi kiri

0.96017028

$0.96017028$ lebih besar dari sisi kanan

- 1

$- 1$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

Benar

Langkah 2.8.2

Bandingkan interval untuk menentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan asal.

π < x < 3 π

$π < x < 3 π$ Benar

π < x < 3 π

$π < x < 3 π$ Benar

Langkah 2.9

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

π + 2 π n \leq x \leq 3 π + 2 π n

$π + 2 π n \leq x \leq 3 π + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat

n

$n$

π + 2 π n \leq x \leq 3 π + 2 π n

$π + 2 π n \leq x \leq 3 π + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat

n

$n$

Langkah 3

Atur argumen dalam

\arcsin (\cos (x))

$\arcsin (\cos (x))$ agar lebih kecil dari atau sama dengan

1

$1$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

\cos (x) \leq 1

$\cos (x) \leq 1$

Langkah 4

Selesaikan

x

$x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan

x

$x$ dari dalam kosinus.

x \leq \arccos (1)

$x \leq \arccos (1)$

Langkah 4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Nilai eksak dari

\arccos (1)

$\arccos (1)$ adalah

0

$0$ .

x \leq 0

$x \leq 0$

x \leq 0

$x \leq 0$

Langkah 4.3

Fungsi kosinus positif pada kuadran pertama dan keempat. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari

2 π

$2 π$ untuk menemukan penyelesaian pada kuadran keempat.

x = 2 π - 0

$x = 2 π - 0$

Langkah 4.4

Kurangi

0

$0$ dengan

2 π

$2 π$ .

x = 2 π

$x = 2 π$

Langkah 4.5

Tentukan periode dari

\cos (x)

$\cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ .

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 4.5.2

Ganti

b

$b$ dengan

1

$1$ dalam rumus untuk periode.

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 4.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara

0

$0$ dan

1

$1$ adalah

1

$1$ .

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 4.5.4

Bagilah

2 π

$2 π$ dengan

1

$1$ .

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

Langkah 4.6

Periode dari fungsi

\cos (x)

$\cos (x)$ adalah

2 π

$2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap

2 π

$2 π$ radian di kedua arah.

x = 2 π n, 2 π + 2 π n

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat

n

$n$

Langkah 4.7

Gabungkan jawabannya.

x = 2 π n

$x = 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat

n

$n$

Langkah 4.8

Gunakan masing-masing akar untuk membuat interval pengujian.

0 < x < 2 π

$0 < x < 2 π$

Langkah 4.9

Pilih nilai uji dari masing-masing interval dan masukkan nilai ini ke dalam pertidaksamaan asal untuk menentukan interval mana yang memenuhi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.9.1

Uji nilai pada interval

0 < x < 2 π

$0 < x < 2 π$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.9.1.1

Pilih nilai pada interval

0 < x < 2 π

$0 < x < 2 π$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

x = 3

$x = 3$

Langkah 4.9.1.2

Ganti

x

$x$ dengan

3

$3$ pada pertidaksamaan asal.

\cos (3) \leq 1

$\cos (3) \leq 1$

Langkah 4.9.1.3

Sisi kiri

- 0.98999249

$- 0.98999249$ lebih kecil dari sisi kanan

1

$1$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

Benar

Langkah 4.9.2

Bandingkan interval untuk menentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan asal.

0 < x < 2 π

$0 < x < 2 π$ Benar

0 < x < 2 π

$0 < x < 2 π$ Benar

Langkah 4.10

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

0 + 2 π n \leq x \leq 2 π + 2 π n

$0 + 2 π n \leq x \leq 2 π + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat

n

$n$

0 + 2 π n \leq x \leq 2 π + 2 π n

$0 + 2 π n \leq x \leq 2 π + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat

n

$n$

Langkah 5

Domain adalah semua nilai dari

x

$x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

Notasi Pembuat Himpunan:

{x | x = π + 2 π n, x = 3 π + 2 π n, x = 0 + 2 π n, x = 2 π + 2 π n}

${x | x = π + 2 π n, x = 3 π + 2 π n, x = 0 + 2 π n, x = 2 π + 2 π n}$ , untuk sebarang bilangan bulat

n

$n$

Langkah 6

Jangkauannya adalah himpunan dari semua nilai

y

$y$ yang valid. Gunakan grafik untuk mencari intervalnya.

Notasi Interval:

[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]

$[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$

Notasi Pembuat Himpunan:

{y | - \frac{π}{2} \leq y \leq \frac{π}{2}}

${y | - \frac{π}{2} \leq y \leq \frac{π}{2}}$

Langkah 7

Tentukan domain dan daerah hasilnya.

Domain:

{x | x = π + 2 π n, x = 3 π + 2 π n, x = 0 + 2 π n, x = 2 π + 2 π n}

${x | x = π + 2 π n, x = 3 π + 2 π n, x = 0 + 2 π n, x = 2 π + 2 π n}$ , untuk sebarang bilangan bulat

n

$n$

Daerah hasil:

[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}], {y | - \frac{π}{2} \leq y \leq \frac{π}{2}}

$[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}], {y | - \frac{π}{2} \leq y \leq \frac{π}{2}}$

Langkah 8