Aljabar Contoh

$\cos (x) \geq \frac{\sqrt{2}}{2}$

Langkah 1

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosinus.

$x \geq \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Langkah 2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Nilai eksak dari $\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ adalah $\frac{π}{4}$ .

$x \geq \frac{π}{4}$

Langkah 3

Fungsi kosinus positif pada kuadran pertama dan keempat. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menemukan penyelesaian pada kuadran keempat.

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

Langkah 4

Sederhanakan $2 π - \frac{π}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Langkah 4.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Langkah 4.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Langkah 4.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Kalikan $4$ dengan $2$ .

$x = \frac{8 π - π}{4}$

Langkah 4.3.2

Kurangi $π$ dengan $8 π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Langkah 5

Tentukan periode dari $\cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 5.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 5.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 6

Periode dari fungsi $\cos (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 7

Gunakan masing-masing akar untuk membuat interval pengujian.

$\frac{π}{4} < x < \frac{7 π}{4}$

$\frac{7 π}{4} < x < \frac{9 π}{4}$

$\frac{9 π}{4} < x < \frac{15 π}{4}$

Langkah 8

Pilih nilai uji dari masing-masing interval dan masukkan nilai ini ke dalam pertidaksamaan asal untuk menentukan interval mana yang memenuhi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Uji nilai pada interval $\frac{π}{4} < x < \frac{7 π}{4}$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Pilih nilai pada interval $\frac{π}{4} < x < \frac{7 π}{4}$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 3$

Langkah 8.1.2

Ganti $x$ dengan $3$ pada pertidaksamaan asal.

$\cos (3) \geq \frac{\sqrt{2}}{2}$

Langkah 8.1.3

Sisi kiri $- 0.98999249$ lebih kecil dari sisi kanan $0.70710678$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

Salah

Langkah 8.2

Uji nilai pada interval $\frac{7 π}{4} < x < \frac{9 π}{4}$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Pilih nilai pada interval $\frac{7 π}{4} < x < \frac{9 π}{4}$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 6$

Langkah 8.2.2

Ganti $x$ dengan $6$ pada pertidaksamaan asal.

$\cos (6) \geq \frac{\sqrt{2}}{2}$

Langkah 8.2.3

Sisi kiri $0.96017028$ lebih besar dari sisi kanan $0.70710678$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

Benar

Langkah 8.3

Uji nilai pada interval $\frac{9 π}{4} < x < \frac{15 π}{4}$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Pilih nilai pada interval $\frac{9 π}{4} < x < \frac{15 π}{4}$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 9$

Langkah 8.3.2

Ganti $x$ dengan $9$ pada pertidaksamaan asal.

$\cos (9) \geq \frac{\sqrt{2}}{2}$

Langkah 8.3.3

Sisi kiri $- 0.91113026$ lebih kecil dari sisi kanan $0.70710678$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

Salah

Langkah 8.4

Bandingkan interval untuk menentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan asal.

$\frac{π}{4} < x < \frac{7 π}{4}$ Salah

$\frac{7 π}{4} < x < \frac{9 π}{4}$ Benar

$\frac{9 π}{4} < x < \frac{15 π}{4}$ Salah

$\frac{π}{4} < x < \frac{7 π}{4}$ Salah

$\frac{7 π}{4} < x < \frac{9 π}{4}$ Benar

$\frac{9 π}{4} < x < \frac{15 π}{4}$ Salah

Langkah 9

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$\frac{7 π}{4} + 2 π n \leq x \leq \frac{9 π}{4} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 10