Aljabar Contoh

$1 = \cot^{2} (x) + \csc (x)$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\cot^{2} (x) + \csc (x) = 1$ .

$\cot^{2} (x) + \csc (x) = 1$

Langkah 2

Ganti $\cot^{2} (x)$ dengan $\csc^{2} (x) - 1$ berdasarkan identitas $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ .

$(\csc^{2} (x) - 1) + \csc (x) = 1$

Langkah 3

Susun ulang polinomial tersebut.

$\csc^{2} (x) + \csc (x) - 1 = 1$

Langkah 4

Substitusikan $u$ untuk $\csc (x)$ .

${(u)}^{2} + u - 1 = 1$

Langkah 5

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$u^{2} + u - 1 - 1 = 0$

Langkah 6

Kurangi $1$ dengan $- 1$ .

$u^{2} + u - 2 = 0$

Langkah 7

Faktorkan $u^{2} + u - 2$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $- 2$ dan jumlahnya $1$ .

$- 1, 2$

Langkah 7.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$(u - 1) (u + 2) = 0$

Langkah 8

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$u - 1 = 0$

$u + 2 = 0$

Langkah 9

Atur $u - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Atur $u - 1$ sama dengan $0$ .

$u - 1 = 0$

Langkah 9.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$u = 1$

Langkah 10

Atur $u + 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Atur $u + 2$ sama dengan $0$ .

$u + 2 = 0$

Langkah 10.2

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$u = - 2$

Langkah 11

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(u - 1) (u + 2) = 0$ benar.

$u = 1, - 2$

Langkah 12

Substitusikan $\csc (x)$ untuk $u$ .

$\csc (x) = 1, - 2$

Langkah 13

Tulis setiap penyelesaian untuk menyelesaikan $x$ .

$\csc (x) = 1$

$\csc (x) = - 2$

Langkah 14

Selesaikan $x$ dalam $\csc (x) = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Ambil kosekan balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosekan.

$x = arccsc (1)$

Langkah 14.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.1

Nilai eksak dari $arccsc (1)$ adalah $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Langkah 14.3

Fungsi kosekan positif di kuadran pertama dan kedua. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $π$ untuk mencari penyelesaian di kuadran kedua.

$x = π - \frac{π}{2}$

Langkah 14.4

Sederhanakan $π - \frac{π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.4.1

Untuk menuliskan $π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 14.4.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.4.2.1

Gabungkan $π$ dan $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 14.4.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Langkah 14.4.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.4.3.1

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Langkah 14.4.3.2

Kurangi $π$ dengan $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Langkah 14.5

Tentukan periode dari $\csc (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 14.5.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 14.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 14.5.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 14.6

Periode dari fungsi $\csc (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 15

Selesaikan $x$ dalam $\csc (x) = - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Ambil kosekan balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosekan.

$x = arccsc (- 2)$

Langkah 15.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1

Nilai eksak dari $arccsc (- 2)$ adalah $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Langkah 15.3

Fungsi kosekan negatif pada kuadran ketiga dan keempat. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi penyelesaian dari $2 π$ , untuk mencari sudut acuan. Selanjutnya, tambahkan sudut acuan ini ke $π$ untuk mencari penyelesaian pada kuadran ketiga.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Langkah 15.4

Sederhanakan pernyataan untuk menentukan penyelesaian yang kedua.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.4.1

Kurangi $2 π$ dengan $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Langkah 15.4.2

Sudut yang dihasilkan dari $\frac{7 π}{6}$ positif, lebih kecil dari $2 π$ , dan koterminal dengan $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Langkah 15.5

Tentukan periode dari $\csc (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 15.5.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 15.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 15.5.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 15.6

Tambahkan $2 π$ ke setiap sudut negatif untuk memperoleh sudut positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.6.1

Tambahkan $2 π$ ke $- \frac{π}{6}$ untuk menentukan sudut positif.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Langkah 15.6.2

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Langkah 15.6.3

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.6.3.1

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Langkah 15.6.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Langkah 15.6.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.6.4.1

Kalikan $6$ dengan $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Langkah 15.6.4.2

Kurangi $π$ dengan $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Langkah 15.6.5

Sebutkan sudut-sudut barunya.

$x = \frac{11 π}{6}$

Langkah 15.7

Periode dari fungsi $\csc (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 16

Sebutkan semua penyelesaiannya.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 17

Gabungkan jawabannya.

$x = \frac{π}{2} + \frac{2 π n}{3}$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$