Aljabar Contoh

$S (r) = r^{5} + 5 r^{4} - 7 r^{3} - 43 r^{2} - 8 r - 48$

Langkah 1

Atur $r^{5} + 5 r^{4} - 7 r^{3} - 43 r^{2} - 8 r - 48$ sama dengan $0$ .

$r^{5} + 5 r^{4} - 7 r^{3} - 43 r^{2} - 8 r - 48 = 0$

Langkah 2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Kelompokkan kembali suku-suku.

$r^{5} - 7 r^{3} - 8 r + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

Langkah 2.1.2

Faktorkan $r$ dari $r^{5} - 7 r^{3} - 8 r$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Faktorkan $r$ dari $r^{5}$ .

$r \cdot r^{4} - 7 r^{3} - 8 r + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

Langkah 2.1.2.2

Faktorkan $r$ dari $- 7 r^{3}$ .

$r \cdot r^{4} + r (- 7 r^{2}) - 8 r + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

Langkah 2.1.2.3

Faktorkan $r$ dari $- 8 r$ .

$r \cdot r^{4} + r (- 7 r^{2}) + r \cdot - 8 + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

Langkah 2.1.2.4

Faktorkan $r$ dari $r \cdot r^{4} + r (- 7 r^{2})$ .

$r (r^{4} - 7 r^{2}) + r \cdot - 8 + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

Langkah 2.1.2.5

Faktorkan $r$ dari $r (r^{4} - 7 r^{2}) + r \cdot - 8$ .

$r (r^{4} - 7 r^{2} - 8) + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

Langkah 2.1.3

Tulis kembali $r^{4}$ sebagai ${(r^{2})}^{2}$ .

$r ({(r^{2})}^{2} - 7 r^{2} - 8) + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

Langkah 2.1.4

Biarkan $u = r^{2}$ . Masukkan $u$ untuk semua kejadian $r^{2}$ .

$r (u^{2} - 7 u - 8) + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

Langkah 2.1.5

Faktorkan $u^{2} - 7 u - 8$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.5.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $- 8$ dan jumlahnya $- 7$ .

$- 8, 1$

Langkah 2.1.5.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$r ((u - 8) (u + 1)) + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

Langkah 2.1.6

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.6.1

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $r^{2}$ .

$r ((r^{2} - 8) (r^{2} + 1)) + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

Langkah 2.1.6.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + 5 r^{4} - 43 r^{2} - 48 = 0$

Langkah 2.1.7

Tulis kembali $r^{4}$ sebagai ${(r^{2})}^{2}$ .

$r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + 5 {(r^{2})}^{2} - 43 r^{2} - 48 = 0$

Langkah 2.1.8

Biarkan $u = r^{2}$ . Masukkan $u$ untuk semua kejadian $r^{2}$ .

$r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + 5 u^{2} - 43 u - 48 = 0$

Langkah 2.1.9

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.9.1

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = 5 \cdot - 48 = - 240$ dan yang jumlahnya adalah $b = - 43$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.9.1.1

Faktorkan $- 43$ dari $- 43 u$ .

$r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + 5 u^{2} - 43 u - 48 = 0$

Langkah 2.1.9.1.2

Tulis kembali $- 43$ sebagai $5$ ditambah $- 48$

$r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + 5 u^{2} + (5 - 48) u - 48 = 0$

Langkah 2.1.9.1.3

Terapkan sifat distributif.

$r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + 5 u^{2} + 5 u - 48 u - 48 = 0$

Langkah 2.1.9.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.9.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + 5 u^{2} + 5 u - 48 u - 48 = 0$

Langkah 2.1.9.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + 5 u (u + 1) - 48 (u + 1) = 0$

Langkah 2.1.9.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $u + 1$ .

$r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + (u + 1) (5 u - 48) = 0$

Langkah 2.1.10

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $r^{2}$ .

$r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + (r^{2} + 1) (5 r^{2} - 48) = 0$

Langkah 2.1.11

Faktorkan $r^{2} + 1$ dari $r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1) + (r^{2} + 1) (5 r^{2} - 48)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.11.1

Faktorkan $r^{2} + 1$ dari $r (r^{2} - 8) (r^{2} + 1)$ .

$(r^{2} + 1) (r (r^{2} - 8)) + (r^{2} + 1) (5 r^{2} - 48) = 0$

Langkah 2.1.11.2

Faktorkan $r^{2} + 1$ dari $(r^{2} + 1) (r (r^{2} - 8)) + (r^{2} + 1) (5 r^{2} - 48)$ .

$(r^{2} + 1) (r (r^{2} - 8) + 5 r^{2} - 48) = 0$

Langkah 2.1.12

Terapkan sifat distributif.

$(r^{2} + 1) (r \cdot r^{2} + r \cdot - 8 + 5 r^{2} - 48) = 0$

Langkah 2.1.13

Kalikan $r$ dengan $r^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.13.1

Kalikan $r$ dengan $r^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.13.1.1

Naikkan $r$ menjadi pangkat $1$ .

$(r^{2} + 1) (r \cdot r^{2} + r \cdot - 8 + 5 r^{2} - 48) = 0$

Langkah 2.1.13.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$(r^{2} + 1) (r^{1 + 2} + r \cdot - 8 + 5 r^{2} - 48) = 0$

Langkah 2.1.13.2

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$(r^{2} + 1) (r^{3} + r \cdot - 8 + 5 r^{2} - 48) = 0$

Langkah 2.1.14

Pindahkan $- 8$ ke sebelah kiri $r$ .

$(r^{2} + 1) (r^{3} - 8 r + 5 r^{2} - 48) = 0$

Langkah 2.1.15

Susun kembali suku-suku.

$(r^{2} + 1) (r^{3} + 5 r^{2} - 8 r - 48) = 0$

Langkah 2.1.16

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.16.1

Tulis kembali $r^{3} + 5 r^{2} - 8 r - 48$ dalam bentuk faktor.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.16.1.1

Faktorkan $r^{3} + 5 r^{2} - 8 r - 48$ menggunakan uji akar rasional.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.16.1.1.1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 48, \pm 2, \pm 24, \pm 3, \pm 16, \pm 4, \pm 12, \pm 6, \pm 8$

$q = \pm 1$

Langkah 2.1.16.1.1.2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm 48, \pm 2, \pm 24, \pm 3, \pm 16, \pm 4, \pm 12, \pm 6, \pm 8$

Langkah 2.1.16.1.1.3

Substitusikan $3$ dan sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $3$ adalah akar dari polinomialnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.16.1.1.3.1

Substitusikan $3$ ke dalam polinomialnya.

$3^{3} + 5 \cdot 3^{2} - 8 \cdot 3 - 48$

Langkah 2.1.16.1.1.3.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$27 + 5 \cdot 3^{2} - 8 \cdot 3 - 48$

Langkah 2.1.16.1.1.3.3

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$27 + 5 \cdot 9 - 8 \cdot 3 - 48$

Langkah 2.1.16.1.1.3.4

Kalikan $5$ dengan $9$ .

$27 + 45 - 8 \cdot 3 - 48$

Langkah 2.1.16.1.1.3.5

Tambahkan $27$ dan $45$ .

$72 - 8 \cdot 3 - 48$

Langkah 2.1.16.1.1.3.6

Kalikan $- 8$ dengan $3$ .

$72 - 24 - 48$

Langkah 2.1.16.1.1.3.7

Kurangi $24$ dengan $72$ .

$48 - 48$

Langkah 2.1.16.1.1.3.8

Kurangi $48$ dengan $48$ .

$0$

Langkah 2.1.16.1.1.4

Karena $3$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $r - 3$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menemukan akar yang belum diketahui.

$\frac{r^{3} + 5 r^{2} - 8 r - 48}{r - 3}$

Langkah 2.1.16.1.1.5

Bagilah $r^{3} + 5 r^{2} - 8 r - 48$ dengan $r - 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.16.1.1.5.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$r$

$3$

$r^{3}$

$5 r^{2}$

$8 r$

$48$

Langkah 2.1.16.1.1.5.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $r^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $r$ .

					$r^{2}$
	$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$

Langkah 2.1.16.1.1.5.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$r^{2}$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			+	$r^{3}$	-	$3 r^{2}$

Langkah 2.1.16.1.1.5.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $r^{3} - 3 r^{2}$

				$r^{2}$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$

Langkah 2.1.16.1.1.5.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$r^{2}$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$

Langkah 2.1.16.1.1.5.6

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$r^{2}$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$	-	$8 r$

Langkah 2.1.16.1.1.5.7

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $8 r^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $r$ .

				$r^{2}$	+	$8 r$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$	-	$8 r$

Langkah 2.1.16.1.1.5.8

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$r^{2}$	+	$8 r$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$	-	$8 r$
					+	$8 r^{2}$	-	$24 r$

Langkah 2.1.16.1.1.5.9

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $8 r^{2} - 24 r$

				$r^{2}$	+	$8 r$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$	-	$8 r$
					-	$8 r^{2}$	+	$24 r$

Langkah 2.1.16.1.1.5.10

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$r^{2}$	+	$8 r$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$	-	$8 r$
					-	$8 r^{2}$	+	$24 r$
							+	$16 r$

Langkah 2.1.16.1.1.5.11

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$r^{2}$	+	$8 r$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$	-	$8 r$
					-	$8 r^{2}$	+	$24 r$
							+	$16 r$	-	$48$

Langkah 2.1.16.1.1.5.12

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $16 r$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $r$ .

				$r^{2}$	+	$8 r$	+	$16$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$	-	$8 r$
					-	$8 r^{2}$	+	$24 r$
							+	$16 r$	-	$48$

Langkah 2.1.16.1.1.5.13

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$r^{2}$	+	$8 r$	+	$16$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$	-	$8 r$
					-	$8 r^{2}$	+	$24 r$
							+	$16 r$	-	$48$
							+	$16 r$	-	$48$

Langkah 2.1.16.1.1.5.14

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $16 r - 48$

				$r^{2}$	+	$8 r$	+	$16$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$	-	$8 r$
					-	$8 r^{2}$	+	$24 r$
							+	$16 r$	-	$48$
							-	$16 r$	+	$48$

Langkah 2.1.16.1.1.5.15

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$r^{2}$	+	$8 r$	+	$16$
$r$	-	$3$		$r^{3}$	+	$5 r^{2}$	-	$8 r$	-	$48$
			-	$r^{3}$	+	$3 r^{2}$
					+	$8 r^{2}$	-	$8 r$
					-	$8 r^{2}$	+	$24 r$
							+	$16 r$	-	$48$
							-	$16 r$	+	$48$
										$0$

Langkah 2.1.16.1.1.5.16

Karena sisanya adalah $0$ , maka jawaban akhirnya adalah hasil baginya.

$r^{2} + 8 r + 16$

Langkah 2.1.16.1.1.6

Tulis $r^{3} + 5 r^{2} - 8 r - 48$ sebagai himpunan faktor.

$(r^{2} + 1) ((r - 3) (r^{2} + 8 r + 16)) = 0$

Langkah 2.1.16.1.2

Faktorkan menggunakan aturan kuadrat sempurna.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.16.1.2.1

Tulis kembali $16$ sebagai $4^{2}$ .

$(r^{2} + 1) ((r - 3) (r^{2} + 8 r + 4^{2})) = 0$

Langkah 2.1.16.1.2.2

Periksa apakah suku tengahnya merupakan dua kali hasil perkalian dari bilangan yang dikuadratkan di suku pertama dan suku ketiga.

$8 r = 2 \cdot r \cdot 4$

Langkah 2.1.16.1.2.3

Tulis kembali polinomialnya.

$(r^{2} + 1) ((r - 3) (r^{2} + 2 \cdot r \cdot 4 + 4^{2})) = 0$

Langkah 2.1.16.1.2.4

Faktorkan menggunakan aturan trinomial kuadrat sempurna $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , di mana $a = r$ dan $b = 4$ .

$(r^{2} + 1) ((r - 3) {(r + 4)}^{2}) = 0$

Langkah 2.1.16.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$(r^{2} + 1) (r - 3) {(r + 4)}^{2} = 0$

Langkah 2.2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$r^{2} + 1 = 0$

$r - 3 = 0$

${(r + 4)}^{2} = 0$

Langkah 2.3

Atur $r^{2} + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $r$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Atur $r^{2} + 1$ sama dengan $0$ .

$r^{2} + 1 = 0$

Langkah 2.3.2

Selesaikan $r^{2} + 1 = 0$ untuk $r$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$r^{2} = - 1$

Langkah 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$r = \pm \sqrt{- 1}$

Langkah 2.3.2.3

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$r = \pm i$

Langkah 2.3.2.4

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.4.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$r = i$

Langkah 2.3.2.4.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$r = - i$

Langkah 2.3.2.4.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$r = i, - i$

Langkah 2.4

Atur $r - 3$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $r$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Atur $r - 3$ sama dengan $0$ .

$r - 3 = 0$

Langkah 2.4.2

Tambahkan $3$ ke kedua sisi persamaan.

$r = 3$

Langkah 2.5

Atur ${(r + 4)}^{2}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $r$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Atur ${(r + 4)}^{2}$ sama dengan $0$ .

${(r + 4)}^{2} = 0$

Langkah 2.5.2

Selesaikan ${(r + 4)}^{2} = 0$ untuk $r$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.1

Atur $r + 4$ agar sama dengan $0$ .

$r + 4 = 0$

Langkah 2.5.2.2

Kurangkan $4$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$r = - 4$

Langkah 2.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(r^{2} + 1) (r - 3) {(r + 4)}^{2} = 0$ benar.

$r = i, - i, 3, - 4$

Langkah 3