ट्रिगोनोमेट्री उदाहरण

$2 \cos^{2} (x) - \sin (x) - 1 = 0$ , $[0, 2 π)$

चरण 1

$2 \cos^{2} (x)$ को $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ पहचान के आधार पर $2 (1 - \sin^{2} (x))$ से बदलें.

$2 (1 - \sin^{2} (x)) - \sin (x) - 1 = 0$

चरण 2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$2 \cdot 1 + 2 (- \sin^{2} (x)) - \sin (x) - 1 = 0$

चरण 2.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2 + 2 (- \sin^{2} (x)) - \sin (x) - 1 = 0$

चरण 2.3

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$2 - 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) - 1 = 0$

चरण 3

$2$ में से $1$ घटाएं.

$- 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) + 1 = 0$

चरण 4

$u$ को $\sin (x)$ से प्रतिस्थापित करें.

$- 2 {(u)}^{2} - (u) + 1 = 0$

चरण 5

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$- 2 u^{2} - u + 1$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

$- 2 u^{2}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$- (2 u^{2}) - u + 1 = 0$

चरण 5.1.2

$- u$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$- (2 u^{2}) - u + 1 = 0$

चरण 5.1.3

$1$ को $- 1 (- 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$- (2 u^{2}) - u - 1 \cdot - 1 = 0$

चरण 5.1.4

$- (2 u^{2}) - u$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$- (2 u^{2} + u) - 1 \cdot - 1 = 0$

चरण 5.1.5

$- (2 u^{2} + u) - 1 (- 1)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$- (2 u^{2} + u - 1) = 0$

चरण 5.2

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

फॉर्म $a x^{2} + b x + c$ के बहुपद के लिए, मध्य पद को दो पदों के योग के रूप में फिर से लिखें, जिसका गुणनफल $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ है और जिसका योग $b = 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1.1

$1$ से गुणा करें.

$- (2 u^{2} + 1 u - 1) = 0$

चरण 5.2.1.1.2

$1$ को $- 1$ जोड़ $2$ के रूप में फिर से लिखें

$- (2 u^{2} + (- 1 + 2) u - 1) = 0$

चरण 5.2.1.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- (2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1) = 0$

चरण 5.2.1.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.2.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$- (2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1) = 0$

चरण 5.2.1.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$- (u (2 u - 1) + 1 (2 u - 1)) = 0$

चरण 5.2.1.3

महत्तम समापवर्तक, $2 u - 1$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$- ((2 u - 1) (u + 1)) = 0$

चरण 5.2.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$- (2 u - 1) (u + 1) = 0$

चरण 6

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$2 u - 1 = 0$

$u + 1 = 0$

चरण 7

$2 u - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $u$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$2 u - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$2 u - 1 = 0$

चरण 7.2

$u$ के लिए $2 u - 1 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$2 u = 1$

चरण 7.2.2

$2 u = 1$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.1

$2 u = 1$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

चरण 7.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

चरण 7.2.2.2.1.2

$u$ को $1$ से विभाजित करें.

$u = \frac{1}{2}$

चरण 8

$u + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $u$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$u + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$u + 1 = 0$

चरण 8.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$u = - 1$

चरण 9

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $- (2 u - 1) (u + 1) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$u = \frac{1}{2}, - 1$

चरण 10

$\sin (x)$ को $u$ से प्रतिस्थापित करें.

$\sin (x) = \frac{1}{2}, - 1$

चरण 11

$x$ को हल करने के लिए प्रत्येक हल सेट करें.

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

$\sin (x) = - 1$

चरण 12

$x$ के लिए $\sin (x) = \frac{1}{2}$ में हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

ज्या के अंदर से $x$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम ज्या लें.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

चरण 12.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.1

$\arcsin (\frac{1}{2})$ का सटीक मान $\frac{π}{6}$ है.

$x = \frac{π}{6}$

चरण 12.3

पहले और दूसरे चतुर्थांश में ज्या फलन धनात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, दूसरे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए संदर्भ कोण को $π$ से घटाएं.

$x = π - \frac{π}{6}$

चरण 12.4

$π - \frac{π}{6}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.4.1

$π$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{6}{6}$ से गुणा करें.

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

चरण 12.4.2

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.4.2.1

$π$ और $\frac{6}{6}$ को मिलाएं.

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

चरण 12.4.2.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

चरण 12.4.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.4.3.1

$6$ को $π$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

चरण 12.4.3.2

$6 π$ में से $π$ घटाएं.

$x = \frac{5 π}{6}$

चरण 12.5

$\sin (x)$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.5.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{2 π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{2 π}{| b |}$

चरण 12.5.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $1$ से बदलें.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

चरण 12.5.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\frac{2 π}{1}$

चरण 12.5.4

$2 π$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 π$

चरण 12.6

$\sin (x)$ फलन की अवधि $2 π$ है, इसलिए मान प्रत्येक $2 π$ रेडियन को दोनों दिशाओं में दोहराएंगे.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 13

$x$ के लिए $\sin (x) = - 1$ में हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$x = \arcsin (- 1)$

चरण 13.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.2.1

$\arcsin (- 1)$ का सटीक मान $- \frac{π}{2}$ है.

$x = - \frac{π}{2}$

चरण 13.3

तीसरे और चौथे चतुर्थांश में ज्या फलन ऋणात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, संदर्भ कोण पता करने के लिए हल को $2 π$ से घटाएं. इसके बाद, तीसरे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए इस संदर्भ कोण को $π$ में जोड़ें.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

चरण 13.4

दूसरा हल निकालने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.4.1

$2 π + \frac{π}{2} + π$ में से $2 π$ घटाएं.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

चरण 13.4.2

$\frac{3 π}{2}$ का परिणामी कोण धनात्मक है, $2 π$ से कम है और $2 π + \frac{π}{2} + π$ के साथ कोटरमिनल है.

$x = \frac{3 π}{2}$

चरण 13.5

$\sin (x)$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.5.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{2 π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{2 π}{| b |}$

चरण 13.5.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $1$ से बदलें.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

चरण 13.5.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\frac{2 π}{1}$

चरण 13.5.4

$2 π$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 π$

चरण 13.6

धनात्मक कोण प्राप्त करने के लिए प्रत्येक ऋणात्मक कोण में $2 π$ जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.6.1

धनात्मक कोण ज्ञात करने के लिए $2 π$ को $- \frac{π}{2}$ में जोड़ें.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

चरण 13.6.2

$2 π$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

चरण 13.6.3

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.6.3.1

$2 π$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

चरण 13.6.3.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

चरण 13.6.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.6.4.1

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{4 π - π}{2}$

चरण 13.6.4.2

$4 π$ में से $π$ घटाएं.

$\frac{3 π}{2}$

चरण 13.6.5

नए कोणों की सूची बनाएंं.

$x = \frac{3 π}{2}$

चरण 13.7

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 14

सभी हलों की सूची बनाएंं.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 15

उत्तरों को समेकित करें.

$x = \frac{π}{6} + \frac{2 π n}{3}$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 16

$n$ के वे मान ज्ञात करें जो अंतराल $[0, 2 π)$ के भीतर एक मान उत्पन्न करते हैं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.1

$n$ के लिए $0$ प्लग इन करें और यह देखने के लिए सरल करें कि हल $[0, 2 π)$ में है या नहीं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.1.1

$n$ के लिए $0$ प्लग इन करें.

$\frac{π}{6} + \frac{2 π (0)}{3}$

चरण 16.1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.1.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.1.2.1.1

$0$ और $3$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.1.2.1.1.1

$2 π (0)$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{π}{6} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3}$

चरण 16.1.2.1.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.1.2.1.1.2.1

$3$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{π}{6} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3 (1)}$

चरण 16.1.2.1.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{π}{6} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3 \cdot 1}$

चरण 16.1.2.1.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{π}{6} + \frac{2 π \cdot (0)}{1}$

चरण 16.1.2.1.1.2.4

$2 π \cdot (0)$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{π}{6} + 2 π \cdot (0)$

चरण 16.1.2.1.2

$2 π (0)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.1.2.1.2.1

$0$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{π}{6} + 0 π$

चरण 16.1.2.1.2.2

$0$ को $π$ से गुणा करें.

$\frac{π}{6} + 0$

चरण 16.1.2.2

$\frac{π}{6}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{π}{6}$

चरण 16.1.3

अंतराल $[0, 2 π)$ में $\frac{π}{6}$ है.

$x = \frac{π}{6}$

चरण 16.2

$n$ के लिए $1$ प्लग इन करें और यह देखने के लिए सरल करें कि हल $[0, 2 π)$ में है या नहीं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.2.1

$n$ के लिए $1$ प्लग इन करें.

$\frac{π}{6} + \frac{2 π (1)}{3}$

चरण 16.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.2.2.1

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}$

चरण 16.2.2.2

$\frac{2 π}{3}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

चरण 16.2.2.3

प्रत्येक व्यंजक को $6$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.2.2.3.1

$\frac{2 π}{3}$ को $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{π}{6} + \frac{2 π \cdot 2}{3 \cdot 2}$

चरण 16.2.2.3.2

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{π}{6} + \frac{2 π \cdot 2}{6}$

चरण 16.2.2.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{π + 2 π \cdot 2}{6}$

चरण 16.2.2.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.2.2.5.1

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{π + 4 π}{6}$

चरण 16.2.2.5.2

$π$ और $4 π$ जोड़ें.

$\frac{5 π}{6}$

चरण 16.2.3

अंतराल $[0, 2 π)$ में $\frac{5 π}{6}$ है.

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}$

चरण 16.3

$n$ के लिए $2$ प्लग इन करें और यह देखने के लिए सरल करें कि हल $[0, 2 π)$ में है या नहीं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.3.1

$n$ के लिए $2$ प्लग इन करें.

$\frac{π}{6} + \frac{2 π (2)}{3}$

चरण 16.3.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.3.2.1

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{π}{6} + \frac{4 π}{3}$

चरण 16.3.2.2

$\frac{4 π}{3}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{π}{6} + \frac{4 π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

चरण 16.3.2.3

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.3.2.3.1

$\frac{4 π}{3}$ को $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{π}{6} + \frac{4 π \cdot 2}{3 \cdot 2}$

चरण 16.3.2.3.2

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{π}{6} + \frac{4 π \cdot 2}{6}$

चरण 16.3.2.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{π + 4 π \cdot 2}{6}$

चरण 16.3.2.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.3.2.5.1

$2$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{π + 8 π}{6}$

चरण 16.3.2.5.2

$π$ और $8 π$ जोड़ें.

$\frac{9 π}{6}$

चरण 16.3.2.6

$9$ और $6$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.3.2.6.1

$9 π$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 (3 π)}{6}$

चरण 16.3.2.6.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.3.2.6.2.1

$6$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 (3 π)}{3 (2)}$

चरण 16.3.2.6.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 (3 π)}{3 \cdot 2}$

चरण 16.3.2.6.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{3 π}{2}$

चरण 16.3.3

अंतराल $[0, 2 π)$ में $\frac{3 π}{2}$ है.

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}, \frac{3 π}{2}$