ट्रिगोनोमेट्री उदाहरण

$1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{9} - \frac{1}{27} + \frac{1}{81}$

चरण 1

यह एक ज्यामितीय अनुक्रम है क्योंकि प्रत्येक पद के बीच एक सामान्य अनुपात होता है. इस स्थिति में, अनुक्रम में पिछले पद को $- \frac{1}{3}$ से गुणा करने पर अगला पद प्राप्त होता है. दूसरे शब्दों में, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

ज्यामितीय अनुक्रम: $r = - \frac{1}{3}$

चरण 2

यह एक ज्यामितीय अनुक्रम का रूप है.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

चरण 3

$a_{1} = 1$ और $r = - \frac{1}{3}$ के मानों में प्रतिस्थापित करें.

$a_{n} = 1 {(- \frac{1}{3})}^{n - 1}$

चरण 4

${(- \frac{1}{3})}^{n - 1}$ को $1$ से गुणा करें.

$a_{n} = {(- \frac{1}{3})}^{n - 1}$

चरण 5

घातांक वितरण करने के लिए घात नियम ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ का उपयोग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

उत्पाद नियम को $- \frac{1}{3}$ पर लागू करें.

$a_{n} = {(- 1)}^{n - 1} {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$

चरण 5.2

उत्पाद नियम को $\frac{1}{3}$ पर लागू करें.

$a_{n} = {(- 1)}^{n - 1} \frac{1^{n - 1}}{3^{n - 1}}$

चरण 6

एक का कोई भी घात एक होता है.

$a_{n} = {(- 1)}^{n - 1} \frac{1}{3^{n - 1}}$

चरण 7

${(- 1)}^{n - 1}$ और $\frac{1}{3^{n - 1}}$ को मिलाएं.

$a_{n} = \frac{{(- 1)}^{n - 1}}{3^{n - 1}}$

चरण 8

यह ज्यामितीय अनुक्रम के पहले $n$ पदों का योग ज्ञात करने का सूत्र है. इसका मानांकन करने के लिए, $r$ और $a_{1}$ के मान ज्ञात करें.

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

चरण 9

$S_{5}$ का ज्ञात करने के लिए चरों को ज्ञात मान से बदलें.

$S_{5} = 1 \cdot \frac{{(- \frac{1}{3})}^{5} - 1}{- \frac{1}{3} - 1}$

चरण 10

$\frac{{(- \frac{1}{3})}^{5} - 1}{- \frac{1}{3} - 1}$ को $1$ से गुणा करें.

$S_{5} = \frac{{(- \frac{1}{3})}^{5} - 1}{- \frac{1}{3} - 1}$

चरण 11

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$\frac{{(- \frac{1}{3})}^{5} - 1}{- \frac{1}{3} - 1}$ को $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$S_{5} = \frac{3}{3} \cdot \frac{{(- \frac{1}{3})}^{5} - 1}{- \frac{1}{3} - 1}$

चरण 11.2

जोड़ना.

$S_{5} = \frac{3 ({(- \frac{1}{3})}^{5} - 1)}{3 (- \frac{1}{3} - 1)}$

चरण 12

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$S_{5} = \frac{3 {(- \frac{1}{3})}^{5} + 3 \cdot - 1}{3 (- \frac{1}{3}) + 3 \cdot - 1}$

चरण 13

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$- \frac{1}{3}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$S_{5} = \frac{3 {(- \frac{1}{3})}^{5} + 3 \cdot - 1}{3 (\frac{- 1}{3}) + 3 \cdot - 1}$

चरण 13.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$S_{5} = \frac{3 {(- \frac{1}{3})}^{5} + 3 \cdot - 1}{3 (\frac{- 1}{3}) + 3 \cdot - 1}$

चरण 13.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$S_{5} = \frac{3 {(- \frac{1}{3})}^{5} + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

चरण 14

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

घातांक वितरण करने के लिए घात नियम ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ का उपयोग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1.1

उत्पाद नियम को $- \frac{1}{3}$ पर लागू करें.

$S_{5} = \frac{3 ({(- 1)}^{5} {(\frac{1}{3})}^{5}) + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

चरण 14.1.2

उत्पाद नियम को $\frac{1}{3}$ पर लागू करें.

$S_{5} = \frac{3 ({(- 1)}^{5} (\frac{1^{5}}{3^{5}})) + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

चरण 14.2

$- 1$ को $5$ के घात तक बढ़ाएं.

$S_{5} = \frac{3 (- \frac{1^{5}}{3^{5}}) + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

चरण 14.3

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.3.1

$- \frac{1^{5}}{3^{5}}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$S_{5} = \frac{3 (\frac{- 1^{5}}{3^{5}}) + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

चरण 14.3.2

$3^{5}$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$S_{5} = \frac{3 (\frac{- 1^{5}}{3 \cdot 3^{4}}) + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

चरण 14.3.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$S_{5} = \frac{3 (\frac{- 1^{5}}{3 \cdot 3^{4}}) + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

चरण 14.3.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$S_{5} = \frac{\frac{- 1^{5}}{3^{4}} + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

चरण 14.4

एक का कोई भी घात एक होता है.

$S_{5} = \frac{\frac{- 1 \cdot 1}{3^{4}} + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

चरण 14.5

$3$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$S_{5} = \frac{\frac{- 1 \cdot 1}{81} + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

चरण 14.6

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$S_{5} = \frac{\frac{- 1}{81} + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

चरण 14.7

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$S_{5} = \frac{- \frac{1}{81} + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

चरण 14.8

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$S_{5} = \frac{- \frac{1}{81} - 3}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

चरण 14.9

$- 3$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{81}{81}$ से गुणा करें.

$S_{5} = \frac{- \frac{1}{81} - 3 \cdot \frac{81}{81}}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

चरण 14.10

$- 3$ और $\frac{81}{81}$ को मिलाएं.

$S_{5} = \frac{- \frac{1}{81} + \frac{- 3 \cdot 81}{81}}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

चरण 14.11

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$S_{5} = \frac{\frac{- 1 - 3 \cdot 81}{81}}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

चरण 14.12

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.12.1

$- 3$ को $81$ से गुणा करें.

$S_{5} = \frac{\frac{- 1 - 243}{81}}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

चरण 14.12.2

$- 1$ में से $243$ घटाएं.

$S_{5} = \frac{\frac{- 244}{81}}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

चरण 14.13

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$S_{5} = \frac{- \frac{244}{81}}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

चरण 15

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$S_{5} = \frac{- \frac{244}{81}}{- 1 - 3}$

चरण 15.2

$- 1$ में से $3$ घटाएं.

$S_{5} = \frac{- \frac{244}{81}}{- 4}$

चरण 16

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$S_{5} = - \frac{244}{81} \cdot \frac{1}{- 4}$

चरण 17

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.1

$- \frac{244}{81}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$S_{5} = \frac{- 244}{81} \cdot \frac{1}{- 4}$

चरण 17.2

$- 244$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$S_{5} = \frac{4 (- 61)}{81} \cdot \frac{1}{- 4}$

चरण 17.3

$- 4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$S_{5} = \frac{4 \cdot - 61}{81} \cdot \frac{1}{4 \cdot - 1}$

चरण 17.4

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$S_{5} = \frac{4 \cdot - 61}{81} \cdot \frac{1}{4 \cdot - 1}$

चरण 17.5

व्यंजक को फिर से लिखें.

$S_{5} = \frac{- 61}{81} \cdot \frac{1}{- 1}$

चरण 18

$\frac{- 61}{81}$ को $\frac{1}{- 1}$ से गुणा करें.

$S_{5} = \frac{- 61}{81 \cdot - 1}$

चरण 19

$81$ को $- 1$ से गुणा करें.

$S_{5} = \frac{- 61}{- 81}$

चरण 20

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$S_{5} = \frac{61}{81}$