ट्रिगोनोमेट्री उदाहरण

$f (x) = - 4 \sin (x - 0.5) + 11$

चरण 1

फलन का पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $- 4 \sin (x - 0.5) + 11$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [- 4 \sin (x - 0.5)] + \frac{d}{d x} [11]$ है.

$\frac{d}{d x} [- 4 \sin (x - 0.5)] + \frac{d}{d x} [11]$

चरण 1.2

$\frac{d}{d x} [- 4 \sin (x - 0.5)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चूंकि $- 4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 4 \sin (x - 0.5)$ का व्युत्पन्न $- 4 \frac{d}{d x} [\sin (x - 0.5)]$ है.

$- 4 \frac{d}{d x} [\sin (x - 0.5)] + \frac{d}{d x} [11]$

चरण 1.2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \sin (x)$ और $g (x) = x - 0.5$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x - 0.5$ के रूप में सेट करें.

$- 4 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x - 0.5]) + \frac{d}{d x} [11]$

चरण 1.2.2.2

$u$ के संबंध में $\sin (u)$ का व्युत्पन्न $\cos (u)$ है.

$- 4 (\cos (u) \frac{d}{d x} [x - 0.5]) + \frac{d}{d x} [11]$

चरण 1.2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x - 0.5$ से बदलें.

$- 4 (\cos (x - 0.5) \frac{d}{d x} [x - 0.5]) + \frac{d}{d x} [11]$

चरण 1.2.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 0.5$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 0.5]$ है.

$- 4 (\cos (x - 0.5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 0.5])) + \frac{d}{d x} [11]$

चरण 1.2.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- 4 (\cos (x - 0.5) (1 + \frac{d}{d x} [- 0.5])) + \frac{d}{d x} [11]$

चरण 1.2.5

चूंकि $x$ के संबंध में $- 0.5$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 0.5$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$- 4 (\cos (x - 0.5) (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [11]$

चरण 1.2.6

$1$ और $0$ जोड़ें.

$- 4 (\cos (x - 0.5) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [11]$

चरण 1.2.7

$\cos (x - 0.5)$ को $1$ से गुणा करें.

$- 4 \cos (x - 0.5) + \frac{d}{d x} [11]$

चरण 1.3

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चूंकि $x$ के संबंध में $11$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $11$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$- 4 \cos (x - 0.5) + 0$

चरण 1.3.2

$- 4 \cos (x - 0.5)$ और $0$ जोड़ें.

$- 4 \cos (x - 0.5)$

चरण 2

फलन का दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चूंकि $- 4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 4 \cos (x - 0.5)$ का व्युत्पन्न $- 4 \frac{d}{d x} [\cos (x - 0.5)]$ है.

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} \cos (x - 0.5)$

चरण 2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \cos (x)$ और $g (x) = x - 0.5$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x - 0.5$ के रूप में सेट करें.

$f'' (x) = - 4 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (x - 0.5))$

चरण 2.2.2

$u$ के संबंध में $\cos (u)$ का व्युत्पन्न $- \sin (u)$ है.

$f'' (x) = - 4 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (x - 0.5))$

चरण 2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x - 0.5$ से बदलें.

$f'' (x) = - 4 (- \sin (x - 0.5) \frac{d}{d x} (x - 0.5))$

चरण 2.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$- 1$ को $- 4$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 4 (\sin (x - 0.5) \frac{d}{d x} (x - 0.5))$

चरण 2.3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 0.5$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 0.5]$ है.

$f'' (x) = 4 \sin (x - 0.5) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 0.5))$

चरण 2.3.3

$f'' (x) = 4 \sin (x - 0.5) (1 + \frac{d}{d x} (- 0.5))$

चरण 2.3.4

चूंकि $x$ के संबंध में $- 0.5$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 0.5$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f'' (x) = 4 \sin (x - 0.5) (1 + 0)$

चरण 2.3.5

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$f'' (x) = 4 \sin (x - 0.5) \cdot 1$

चरण 2.3.5.2

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 4 \sin (x - 0.5)$

चरण 3

फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें और हल करें.

$- 4 \cos (x - 0.5) = 0$

चरण 4

$- 4 \cos (x - 0.5) = 0$ के प्रत्येक पद को $- 4$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$- 4 \cos (x - 0.5) = 0$ के प्रत्येक पद को $- 4$ से विभाजित करें.

$\frac{- 4 \cos (x - 0.5)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

चरण 4.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$- 4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- 4 \cos (x - 0.5)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

चरण 4.2.1.2

$\cos (x - 0.5)$ को $1$ से विभाजित करें.

$\cos (x - 0.5) = \frac{0}{- 4}$

चरण 4.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$0$ को $- 4$ से विभाजित करें.

$\cos (x - 0.5) = 0$

चरण 5

कोज्या के अंदर से $x$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम कोज्या लें.

$x - 0.5 = \arccos (0)$

चरण 6

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$\arccos (0)$ का सटीक मान $\frac{π}{2}$ है.

$x - 0.5 = \frac{π}{2}$

चरण 7

$x$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $0.5$ जोड़ें.

$x = \frac{π}{2} + 0.5$

चरण 7.2

$\frac{π}{2}$ और $0.5$ जोड़ें.

$x = 2.07079632$

चरण 8

पहले और चौथे चतुर्थांश में कोज्या फलन धनात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, चौथे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए संदर्भ कोण को $2 π$ से घटाएं.

$x - 0.5 = 2 π - \frac{π}{2}$

चरण 9

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$2 π - \frac{π}{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

$2 π$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$x - 0.5 = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

चरण 9.1.2

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.2.1

$2 π$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$x - 0.5 = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

चरण 9.1.2.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$x - 0.5 = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

चरण 9.1.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.3.1

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$x - 0.5 = \frac{4 π - π}{2}$

चरण 9.1.3.2

$4 π$ में से $π$ घटाएं.

$x - 0.5 = \frac{3 π}{2}$

चरण 9.2

$x$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $0.5$ जोड़ें.

$x = \frac{3 π}{2} + 0.5$

चरण 9.2.2

$\frac{3 π}{2}$ और $0.5$ जोड़ें.

$x = 5.21238898$

चरण 10

समीकरण का हल $x - 0.5 = \frac{π}{2}$ .

$x = 2.07079632, 5.21238898$

चरण 11

$x = 2.07079632$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$4 \sin ((2.07079632) - 0.5)$

चरण 12

$2.07079632$ में से $0.5$ घटाएं.

$4 \sin (1.57079632)$

चरण 13

$x = 2.07079632$ एक स्थानीय न्यूनतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान धनात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.

$x = 2.07079632$ एक स्थानीय न्यूनतम है.

चरण 14

$x = 2.07079632$ होने पर y-मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

व्यंजक में चर $x$ को $2.07079632$ से बदलें.

$f (2.07079632) = - 4 \sin ((2.07079632) - 0.5) + 11$

चरण 14.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.2.1

$2.07079632$ में से $0.5$ घटाएं.

$f (2.07079632) = - 4 \sin (1.57079632) + 11$

चरण 14.2.2

अंतिम उत्तर $- 4 \sin (1.57079632) + 11$ है.

$y = - 4 \sin (1.57079632) + 11$

चरण 15

$x = 5.21238898$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$4 \sin ((5.21238898) - 0.5)$

चरण 16

$5.21238898$ में से $0.5$ घटाएं.

$4 \sin (4.71238898)$

चरण 17

$x = 5.21238898$ एक स्थानीय अधिकतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान ऋणात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.

$x = 5.21238898$ एक स्थानीय अधिकतम है.

चरण 18

$x = 5.21238898$ होने पर y-मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.1

व्यंजक में चर $x$ को $5.21238898$ से बदलें.

$f (5.21238898) = - 4 \sin ((5.21238898) - 0.5) + 11$

चरण 18.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.2.1

$5.21238898$ में से $0.5$ घटाएं.

$f (5.21238898) = - 4 \sin (4.71238898) + 11$

चरण 18.2.2

अंतिम उत्तर $- 4 \sin (4.71238898) + 11$ है.

$y = - 4 \sin (4.71238898) + 11$

चरण 19

ये $f (x) = - 4 \sin (x - 0.5) + 11$ के लिए स्थानीय उच्चत्तम मान हैं.

$(2.07079632, - 4 \sin (1.57079632) + 11)$ एक स्थानीय निम्नत्तम है

$(5.21238898, - 4 \sin (4.71238898) + 11)$ एक स्थानीय उच्चत्तम है

चरण 20