ट्रिगोनोमेट्री उदाहरण

$f (x) = \frac{1}{2} \cos (2 x) - 1$

चरण 1

फलन का पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $\frac{1}{2} \cdot \cos (2 x) - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (2 x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चूंकि $\frac{1}{2}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{1}{2} \cdot \cos (2 x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ है.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 1.2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \cos (x)$ और $g (x) = 2 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $2 x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 1.2.2.2

$u$ के संबंध में $\cos (u)$ का व्युत्पन्न $- \sin (u)$ है.

$\frac{1}{2} (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 1.2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$\frac{1}{2} (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 1.2.3

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{1}{2} (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 1.2.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{1}{2} (- \sin (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 1.2.5

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} (- \sin (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 1.2.6

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} (- 2 \sin (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 1.2.7

$- 2$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{- 2}{2} \sin (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 1.2.8

$\frac{- 2}{2}$ और $\sin (2 x)$ को मिलाएं.

$\frac{- 2 \sin (2 x)}{2} + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 1.2.9

$- 2$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.9.1

$- 2 \sin (2 x)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (- \sin (2 x))}{2} + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 1.2.9.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.9.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (- \sin (2 x))}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 1.2.9.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 (- \sin (2 x))}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 1.2.9.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{- \sin (2 x)}{1} + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 1.2.9.2.4

$- \sin (2 x)$ को $1$ से विभाजित करें.

$- \sin (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 1.3

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$- \sin (2 x) + 0$

चरण 1.3.2

$- \sin (2 x)$ और $0$ जोड़ें.

$- \sin (2 x)$

चरण 2

फलन का दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- \sin (2 x)$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ है.

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \sin (2 x)$

चरण 2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \sin (x)$ और $g (x) = 2 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $2 x$ के रूप में सेट करें.

$f'' (x) = - (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

चरण 2.2.2

$u$ के संबंध में $\sin (u)$ का व्युत्पन्न $\cos (u)$ है.

$f'' (x) = - (\cos (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

चरण 2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$f'' (x) = - (\cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

चरण 2.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f'' (x) = - \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))$

चरण 2.3.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - 2 \cos (2 x) \frac{d}{d x} x$

चरण 2.3.3

$f'' (x) = - 2 \cos (2 x) \cdot 1$

चरण 2.3.4

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - 2 \cos (2 x)$

चरण 3

फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें और हल करें.

$- \sin (2 x) = 0$

चरण 4

$- \sin (2 x) = 0$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$- \sin (2 x) = 0$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से विभाजित करें.

$\frac{- \sin (2 x)}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

चरण 4.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\frac{\sin (2 x)}{1} = \frac{0}{- 1}$

चरण 4.2.2

$\sin (2 x)$ को $1$ से विभाजित करें.

$\sin (2 x) = \frac{0}{- 1}$

चरण 4.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$0$ को $- 1$ से विभाजित करें.

$\sin (2 x) = 0$

चरण 5

ज्या के अंदर से $x$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम ज्या लें.

$2 x = \arcsin (0)$

चरण 6

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$\arcsin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$2 x = 0$

चरण 7

$2 x = 0$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$2 x = 0$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

चरण 7.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

चरण 7.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{0}{2}$

चरण 7.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1

$0$ को $2$ से विभाजित करें.

$x = 0$

चरण 8

पहले और दूसरे चतुर्थांश में ज्या फलन धनात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, दूसरे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए संदर्भ कोण को $π$ से घटाएं.

$2 x = π - 0$

चरण 9

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$2 x = π + 0$

चरण 9.1.2

$π$ और $0$ जोड़ें.

$2 x = π$

चरण 9.2

$2 x = π$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

$2 x = π$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

चरण 9.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

चरण 9.2.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{π}{2}$

चरण 10

समीकरण का हल $2 x = 0$ .

$x = 0, \frac{π}{2}$

चरण 11

$x = 0$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$- 2 \cos (2 (0))$

चरण 12

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$- 2 \cos (0)$

चरण 12.2

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$- 2 \cdot 1$

चरण 12.3

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$- 2$

चरण 13

$x = 0$ एक स्थानीय अधिकतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान ऋणात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.

$x = 0$ एक स्थानीय अधिकतम है.

चरण 14

$x = 0$ होने पर y-मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

व्यंजक में चर $x$ को $0$ से बदलें.

$f (0) = \frac{1}{2} \cdot \cos (2 (0)) - 1$

चरण 14.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.2.1.1

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$f (0) = \frac{1}{2} \cdot \cos (0) - 1$

चरण 14.2.1.2

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$f (0) = \frac{1}{2} \cdot 1 - 1$

चरण 14.2.1.3

$\frac{1}{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$f (0) = \frac{1}{2} - 1$

चरण 14.2.2

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$f (0) = \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

चरण 14.2.3

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$f (0) = \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

चरण 14.2.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f (0) = \frac{1 - 1 \cdot 2}{2}$

चरण 14.2.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.2.5.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$f (0) = \frac{1 - 2}{2}$

चरण 14.2.5.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$f (0) = \frac{- 1}{2}$

चरण 14.2.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f (0) = - \frac{1}{2}$

चरण 14.2.7

अंतिम उत्तर $- \frac{1}{2}$ है.

$y = - \frac{1}{2}$

चरण 15

$x = \frac{π}{2}$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$- 2 \cos (2 (\frac{π}{2}))$

चरण 16

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- 2 \cos (2 \frac{π}{2})$

चरण 16.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 2 \cos (π)$

चरण 16.2

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें. व्यंजक को ऋणात्मक बनाएंं क्योंकि दूसरे चतुर्थांश में कोज्या ऋणात्मक है.

$- 2 (- \cos (0))$

चरण 16.3

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$- 2 (- 1 \cdot 1)$

चरण 16.4

$- 2 (- 1 \cdot 1)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.4.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- 2 \cdot - 1$

चरण 16.4.2

$- 2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 17

$x = \frac{π}{2}$ एक स्थानीय न्यूनतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान धनात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.

$x = \frac{π}{2}$ एक स्थानीय न्यूनतम है.

चरण 18

$x = \frac{π}{2}$ होने पर y-मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{π}{2}$ से बदलें.

$f (\frac{π}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \cos (2 (\frac{π}{2})) - 1$

चरण 18.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.2.1.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.2.1.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{π}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \cos (2 (\frac{π}{2})) - 1$

चरण 18.2.1.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{π}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \cos (π) - 1$

चरण 18.2.1.2

$f (\frac{π}{2}) = \frac{1}{2} \cdot (- \cos (0)) - 1$

चरण 18.2.1.3

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$f (\frac{π}{2}) = \frac{1}{2} \cdot (- 1 \cdot 1) - 1$

चरण 18.2.1.4

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$f (\frac{π}{2}) = \frac{1}{2} \cdot - 1 - 1$

चरण 18.2.1.5

$\frac{1}{2}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$f (\frac{π}{2}) = \frac{- 1}{2} - 1$

चरण 18.2.1.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f (\frac{π}{2}) = - \frac{1}{2} - 1$

चरण 18.2.2

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$f (\frac{π}{2}) = - \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

चरण 18.2.3

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$f (\frac{π}{2}) = - \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

चरण 18.2.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f (\frac{π}{2}) = \frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}$

चरण 18.2.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.2.5.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$f (\frac{π}{2}) = \frac{- 1 - 2}{2}$

चरण 18.2.5.2

$- 1$ में से $2$ घटाएं.

$f (\frac{π}{2}) = \frac{- 3}{2}$

चरण 18.2.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f (\frac{π}{2}) = - \frac{3}{2}$

चरण 18.2.7

अंतिम उत्तर $- \frac{3}{2}$ है.

$y = - \frac{3}{2}$

चरण 19

ये $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \cos (2 x) - 1$ के लिए स्थानीय उच्चत्तम मान हैं.

$(0, - \frac{1}{2})$ एक स्थानीय उच्चत्तम है

$(\frac{π}{2}, - \frac{3}{2})$ एक स्थानीय निम्नत्तम है

चरण 20