ट्रिगोनोमेट्री उदाहरण

$\cos (2 θ) + \cos (θ) = 0$ , $0 \leq θ \leq 360$

चरण 1

$\cos (2 x)$ को $2 \cos^{2} (x) - 1$ में बदलने के लिए दोहरा कोण सर्वसमिका का प्रयोग करें.

$2 \cos^{2} (θ) - 1 + \cos (θ) = 0$

चरण 2

वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$2 \cos^{2} (θ) + \cos (θ) - 1 = 0$

चरण 2.2

फॉर्म $a x^{2} + b x + c$ के बहुपद के लिए, मध्य पद को दो पदों के योग के रूप में फिर से लिखें, जिसका गुणनफल $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ है और जिसका योग $b = 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$1$ से गुणा करें.

$2 \cos^{2} (θ) + 1 \cos (θ) - 1 = 0$

चरण 2.2.2

$1$ को $- 1$ जोड़ $2$ के रूप में फिर से लिखें

$2 \cos^{2} (θ) + (- 1 + 2) \cos (θ) - 1 = 0$

चरण 2.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$2 \cos^{2} (θ) - 1 \cos (θ) + 2 \cos (θ) - 1 = 0$

चरण 2.3

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$2 \cos^{2} (θ) - 1 \cos (θ) + 2 \cos (θ) - 1 = 0$

चरण 2.3.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$\cos (θ) (2 \cos (θ) - 1) + 1 (2 \cos (θ) - 1) = 0$

चरण 2.4

महत्तम समापवर्तक, $2 \cos (θ) - 1$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$(2 \cos (θ) - 1) (\cos (θ) + 1) = 0$

चरण 3

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$2 \cos (θ) - 1 = 0$

$\cos (θ) + 1 = 0$

चरण 4

$2 \cos (θ) - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $θ$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$2 \cos (θ) - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$2 \cos (θ) - 1 = 0$

चरण 4.2

$θ$ के लिए $2 \cos (θ) - 1 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$2 \cos (θ) = 1$

चरण 4.2.2

$2 \cos (θ) = 1$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1

$2 \cos (θ) = 1$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 \cos (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

चरण 4.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 \cos (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

चरण 4.2.2.2.1.2

$\cos (θ)$ को $1$ से विभाजित करें.

$\cos (θ) = \frac{1}{2}$

चरण 4.2.3

कोज्या के अंदर से $θ$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम कोज्या लें.

$θ = \arccos (\frac{1}{2})$

चरण 4.2.4

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.4.1

$\arccos (\frac{1}{2})$ का सटीक मान $60$ है.

$θ = 60$

चरण 4.2.5

पहले और चौथे चतुर्थांश में कोज्या फलन धनात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, चौथे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए संदर्भ कोण को $360$ से घटाएं.

$θ = 360 - 60$

चरण 4.2.6

$360$ में से $60$ घटाएं.

$θ = 300$

चरण 4.2.7

$\cos (θ)$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.7.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{360}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{360}{| b |}$

चरण 4.2.7.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $1$ से बदलें.

$\frac{360}{| 1 |}$

चरण 4.2.7.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\frac{360}{1}$

चरण 4.2.7.4

$360$ को $1$ से विभाजित करें.

$360$

चरण 4.2.8

$\cos (θ)$ फलन की अवधि $360$ है, इसलिए मान दोनों दिशाओं में प्रत्येक $360$ डिग्री दोहराए जाएंगे.

$θ = 60 + 360 n, 300 + 360 n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 5

$\cos (θ) + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $θ$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$\cos (θ) + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$\cos (θ) + 1 = 0$

चरण 5.2

$θ$ के लिए $\cos (θ) + 1 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$\cos (θ) = - 1$

चरण 5.2.2

$θ = \arccos (- 1)$

चरण 5.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.1

$\arccos (- 1)$ का सटीक मान $180$ है.

$θ = 180$

चरण 5.2.4

दूसरे और तीसरे चतुर्थांश में कोज्या फलन ऋणात्मक होता है. दूसरा हल ज्ञात करने के लिए, तीसरे चतुर्थांश में हल ज्ञात करने के लिए संदर्भ कोण को $360$ से घटाएं.

$θ = 360 - 180$

चरण 5.2.5

$360$ में से $180$ घटाएं.

$θ = 180$

चरण 5.2.6

$\cos (θ)$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.6.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{360}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{360}{| b |}$

चरण 5.2.6.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $1$ से बदलें.

$\frac{360}{| 1 |}$

चरण 5.2.6.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\frac{360}{1}$

चरण 5.2.6.4

$360$ को $1$ से विभाजित करें.

$360$

चरण 5.2.7

$θ = 180 + 360 n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 6

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(2 \cos (θ) - 1) (\cos (θ) + 1) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$θ = 60 + 360 n, 300 + 360 n, 180 + 360 n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 7

उत्तरों को समेकित करें.

$θ = 60 + 120 n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 8

$n$ के वे मान ज्ञात करें जो अंतराल $[0, 360]$ के भीतर एक मान उत्पन्न करते हैं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$n$ के लिए $0$ प्लग इन करें और यह देखने के लिए सरल करें कि हल $[0, 360]$ में है या नहीं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.1

$n$ के लिए $0$ प्लग इन करें.

$60 + 120 (0)$

चरण 8.1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.2.1

$120$ को $0$ से गुणा करें.

$60 + 0$

चरण 8.1.2.2

$60$ और $0$ जोड़ें.

$60$

चरण 8.1.3

अंतराल $[0, 360]$ में $60$ है.

$θ = 60$

चरण 8.2

$n$ के लिए $1$ प्लग इन करें और यह देखने के लिए सरल करें कि हल $[0, 360]$ में है या नहीं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

$n$ के लिए $1$ प्लग इन करें.

$60 + 120 (1)$

चरण 8.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.2.1

$120$ को $1$ से गुणा करें.

$60 + 120$

चरण 8.2.2.2

$60$ और $120$ जोड़ें.

$180$

चरण 8.2.3

अंतराल $[0, 360]$ में $180$ है.

$θ = 60, 180$

चरण 8.3

$n$ के लिए $2$ प्लग इन करें और यह देखने के लिए सरल करें कि हल $[0, 360]$ में है या नहीं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

$n$ के लिए $2$ प्लग इन करें.

$60 + 120 (2)$

चरण 8.3.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.2.1

$120$ को $2$ से गुणा करें.

$60 + 240$

चरण 8.3.2.2

$60$ और $240$ जोड़ें.

$300$

चरण 8.3.3

अंतराल $[0, 360]$ में $300$ है.

$θ = 60, 180, 300$