ट्रिगोनोमेट्री उदाहरण

$2 \sin^{2} (θ) - 3 \sin (θ) + 1 = 0$ , $[0, 2 π)$

चरण 1

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लीजिए $u = \sin (θ)$ . $\sin (θ)$ की सभी घटनाओं के लिए $u$ को प्रतिस्थापित करें.

$2 u^{2} - 3 u + 1 = 0$

चरण 1.2

वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

फॉर्म $a x^{2} + b x + c$ के बहुपद के लिए, मध्य पद को दो पदों के योग के रूप में फिर से लिखें, जिसका गुणनफल $a \cdot c = 2 \cdot 1 = 2$ है और जिसका योग $b = - 3$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1.1

$- 3 u$ में से $- 3$ का गुणनखंड करें.

$2 u^{2} - 3 u + 1 = 0$

चरण 1.2.1.2

$- 3$ को $- 1$ जोड़ $- 2$ के रूप में फिर से लिखें

$2 u^{2} + (- 1 - 2) u + 1 = 0$

चरण 1.2.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$2 u^{2} - 1 u - 2 u + 1 = 0$

चरण 1.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$(2 u^{2} - 1 u) - 2 u + 1 = 0$

चरण 1.2.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$u (2 u - 1) - (2 u - 1) = 0$

चरण 1.2.3

महत्तम समापवर्तक, $2 u - 1$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$(2 u - 1) (u - 1) = 0$

चरण 1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\sin (θ)$ से बदलें.

$(2 \sin (θ) - 1) (\sin (θ) - 1) = 0$

चरण 2

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$2 \sin (θ) - 1 = 0$

$\sin (θ) - 1 = 0$

चरण 3

$2 \sin (θ) - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $θ$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$2 \sin (θ) - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$2 \sin (θ) - 1 = 0$

चरण 3.2

$θ$ के लिए $2 \sin (θ) - 1 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$2 \sin (θ) = 1$

चरण 3.2.2

$2 \sin (θ) = 1$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

$2 \sin (θ) = 1$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

चरण 3.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

चरण 3.2.2.2.1.2

$\sin (θ)$ को $1$ से विभाजित करें.

$\sin (θ) = \frac{1}{2}$

चरण 3.2.3

ज्या के अंदर से $θ$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम ज्या लें.

$θ = \arcsin (\frac{1}{2})$

चरण 3.2.4

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.4.1

$\arcsin (\frac{1}{2})$ का सटीक मान $\frac{π}{6}$ है.

$θ = \frac{π}{6}$

चरण 3.2.5

पहले और दूसरे चतुर्थांश में ज्या फलन धनात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, दूसरे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए संदर्भ कोण को $π$ से घटाएं.

$θ = π - \frac{π}{6}$

चरण 3.2.6

$π - \frac{π}{6}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.6.1

$π$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{6}{6}$ से गुणा करें.

$θ = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

चरण 3.2.6.2

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.6.2.1

$π$ और $\frac{6}{6}$ को मिलाएं.

$θ = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

चरण 3.2.6.2.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$θ = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

चरण 3.2.6.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.6.3.1

$6$ को $π$ के बाईं ओर ले जाएं.

$θ = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

चरण 3.2.6.3.2

$6 π$ में से $π$ घटाएं.

$θ = \frac{5 π}{6}$

चरण 3.2.7

$\sin (θ)$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.7.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{2 π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{2 π}{| b |}$

चरण 3.2.7.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $1$ से बदलें.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

चरण 3.2.7.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\frac{2 π}{1}$

चरण 3.2.7.4

$2 π$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 π$

चरण 3.2.8

$\sin (θ)$ फलन की अवधि $2 π$ है, इसलिए मान प्रत्येक $2 π$ रेडियन को दोनों दिशाओं में दोहराएंगे.

$θ = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 4

$\sin (θ) - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $θ$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$\sin (θ) - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$\sin (θ) - 1 = 0$

चरण 4.2

$θ$ के लिए $\sin (θ) - 1 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$\sin (θ) = 1$

चरण 4.2.2

$θ = \arcsin (1)$

चरण 4.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.3.1

$\arcsin (1)$ का सटीक मान $\frac{π}{2}$ है.

$θ = \frac{π}{2}$

चरण 4.2.4

$θ = π - \frac{π}{2}$

चरण 4.2.5

$π - \frac{π}{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.5.1

$π$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$θ = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

चरण 4.2.5.2

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.5.2.1

$π$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$θ = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

चरण 4.2.5.2.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$θ = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

चरण 4.2.5.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.5.3.1

$2$ को $π$ के बाईं ओर ले जाएं.

$θ = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

चरण 4.2.5.3.2

$2 π$ में से $π$ घटाएं.

$θ = \frac{π}{2}$

चरण 4.2.6

$\sin (θ)$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.6.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{2 π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{2 π}{| b |}$

चरण 4.2.6.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $1$ से बदलें.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

चरण 4.2.6.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\frac{2 π}{1}$

चरण 4.2.6.4

$2 π$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 π$

चरण 4.2.7

$θ = \frac{π}{2} + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 5

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(2 \sin (θ) - 1) (\sin (θ) - 1) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$θ = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 6

$n$ के वे मान ज्ञात करें जो अंतराल $[0, 2 π)$ के भीतर एक मान उत्पन्न करते हैं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$n$ के लिए $0$ प्लग इन करें और यह देखने के लिए सरल करें कि हल $[0, 2 π)$ में है या नहीं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

$n$ के लिए $0$ प्लग इन करें.

$\frac{π}{6} + 2 π (0)$

चरण 6.1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.2.1

$2 π (0)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.2.1.1

$0$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{π}{6} + 0 π$

चरण 6.1.2.1.2

$0$ को $π$ से गुणा करें.

$\frac{π}{6} + 0$

चरण 6.1.2.2

$\frac{π}{6}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{π}{6}$

चरण 6.1.3

अंतराल $[0, 2 π)$ में $\frac{π}{6}$ है.

$θ = \frac{π}{6}$

चरण 6.2

$n$ के लिए $0$ प्लग इन करें और यह देखने के लिए सरल करें कि हल $[0, 2 π)$ में है या नहीं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$n$ के लिए $0$ प्लग इन करें.

$\frac{π}{2} + 2 π (0)$

चरण 6.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

$2 π (0)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1.1

$0$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{π}{2} + 0 π$

चरण 6.2.2.1.2

$0$ को $π$ से गुणा करें.

$\frac{π}{2} + 0$

चरण 6.2.2.2

$\frac{π}{2}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{π}{2}$

चरण 6.2.3

अंतराल $[0, 2 π)$ में $\frac{π}{2}$ है.

$θ = \frac{π}{6}, \frac{π}{2}$

चरण 6.3

$n$ के लिए $0$ प्लग इन करें और यह देखने के लिए सरल करें कि हल $[0, 2 π)$ में है या नहीं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

$n$ के लिए $0$ प्लग इन करें.

$\frac{5 π}{6} + 2 π (0)$

चरण 6.3.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.1

$2 π (0)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.1.1

$0$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{5 π}{6} + 0 π$

चरण 6.3.2.1.2

$0$ को $π$ से गुणा करें.

$\frac{5 π}{6} + 0$

चरण 6.3.2.2

$\frac{5 π}{6}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{5 π}{6}$

चरण 6.3.3

अंतराल $[0, 2 π)$ में $\frac{5 π}{6}$ है.

$θ = \frac{π}{6}, \frac{π}{2}, \frac{5 π}{6}$