ट्रिगोनोमेट्री उदाहरण

$f (x) = 2^{x - 1} + 1$

चरण 1

$f (x) = 2^{x - 1} + 1$ को एक समीकरण के रूप में लिखें.

$y = 2^{x - 1} + 1$

चरण 2

चर को एकदूसरे के साथ बदलें.

$x = 2^{y - 1} + 1$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

समीकरण को $2^{y - 1} + 1 = x$ के रूप में फिर से लिखें.

$2^{y - 1} + 1 = x$

चरण 3.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$2^{y - 1} = x - 1$

चरण 3.3

घातांक से चर को हटाने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लें.

$\ln (2^{y - 1}) = \ln (x - 1)$

चरण 3.4

$y - 1$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (2^{y - 1})$ का प्रसार करें.

$(y - 1) \ln (2) = \ln (x - 1)$

चरण 3.5

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

$(y - 1) \ln (2)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y \ln (2) - 1 \ln (2) = \ln (x - 1)$

चरण 3.5.1.2

$- 1 \ln (2)$ को $- \ln (2)$ के रूप में फिर से लिखें.

$y \ln (2) - \ln (2) = \ln (x - 1)$

चरण 3.6

लघुगणक वाले सभी पदों को समीकरण के बाईं पक्ष की ओर ले जाएँ.

$y \ln (2) - \ln (2) - \ln (x - 1) = 0$

चरण 3.7

$y$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $\ln (2)$ जोड़ें.

$y \ln (2) - \ln (x - 1) = \ln (2)$

चरण 3.7.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $\ln (x - 1)$ जोड़ें.

$y \ln (2) = \ln (2) + \ln (x - 1)$

चरण 3.8

$y \ln (2) = \ln (2) + \ln (x - 1)$ के प्रत्येक पद को $\ln (2)$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.8.1

$y \ln (2) = \ln (2) + \ln (x - 1)$ के प्रत्येक पद को $\ln (2)$ से विभाजित करें.

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}$

चरण 3.8.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.8.2.1

$\ln (2)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.8.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}$

चरण 3.8.2.1.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{\ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}$

चरण 3.8.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.8.3.1

$\ln (2)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.8.3.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y = \frac{\ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}$

चरण 3.8.3.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y = 1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}$

चरण 4

अंतिम उत्तर दिखाने के लिए $y$ को $f^{- 1} (x)$ से बदलें.

$f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}$

चरण 5

सत्यापित करें कि क्या $f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}$ , $f (x) = 2^{x - 1} + 1$ का व्युत्क्रम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्युत्क्रम सत्यापित करने के लिए, जांचें कि क्या $f^{- 1} (f (x)) = x$ और $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

चरण 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

समग्र परिणाम फलन सेट करें.

$f^{- 1} (f (x))$

चरण 5.2.2

$f^{- 1}$ में $f$ का मान प्रतिस्थापित करके $f^{- 1} (2^{x - 1} + 1)$ का मान ज्ञात करें.

$f^{- 1} (2^{x - 1} + 1) = 1 + \frac{\ln ((2^{x - 1} + 1) - 1)}{\ln (2)}$

चरण 5.2.3

$1 + \frac{\ln ((2^{x - 1} + 1) - 1)}{\ln (2)}$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.1

$1$ में से $1$ घटाएं.

$f^{- 1} (2^{x - 1} + 1) = 1 + \frac{\ln (2^{x - 1} + 0)}{\ln (2)}$

चरण 5.2.3.2

$2^{x - 1}$ और $0$ जोड़ें.

$f^{- 1} (2^{x - 1} + 1) = 1 + \frac{\ln (2^{x - 1})}{\ln (2)}$

चरण 5.2.4

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.4.1

$x - 1$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (2^{x - 1})$ का प्रसार करें.

$f^{- 1} (2^{x - 1} + 1) = 1 + \frac{(x - 1) \ln (2)}{\ln (2)}$

चरण 5.2.4.2

$\ln (2)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.4.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f^{- 1} (2^{x - 1} + 1) = 1 + \frac{(x - 1) \ln (2)}{\ln (2)}$

चरण 5.2.4.2.2

$x - 1$ को $1$ से विभाजित करें.

$f^{- 1} (2^{x - 1} + 1) = 1 + x - 1$

चरण 5.2.5

$1 + x - 1$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.5.1

$1$ में से $1$ घटाएं.

$f^{- 1} (2^{x - 1} + 1) = x + 0$

चरण 5.2.5.2

$x$ और $0$ जोड़ें.

$f^{- 1} (2^{x - 1} + 1) = x$

चरण 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

समग्र परिणाम फलन सेट करें.

$f (f^{- 1} (x))$

चरण 5.3.2

$f$ में $f^{- 1}$ का मान प्रतिस्थापित करके $f (1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)})$ का मान ज्ञात करें.

$f (1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}) = 2^{(1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}) - 1} + 1$

चरण 5.3.3

$2^{(1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}) - 1} + 1$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.1

$1$ में से $1$ घटाएं.

$f (1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}) = 2^{0 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}} + 1$

चरण 5.3.3.2

$0$ और $\frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}$ जोड़ें.

$f (1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}) = 2^{\frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}} + 1$

चरण 5.3.4

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.4.1

आधार नियम $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ के परिवर्तन का प्रयोग करें.

$f (1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}) = 2^{\log_{2} (x - 1)} + 1$

चरण 5.3.4.2

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

$f (1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}) = x - 1 + 1$

चरण 5.3.5

$x - 1 + 1$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.5.1

$- 1$ और $1$ जोड़ें.

$f (1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}) = x + 0$

चरण 5.3.5.2

$x$ और $0$ जोड़ें.

$f (1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}) = x$

चरण 5.4

चूँकि $f^{- 1} (f (x)) = x$ और $f (f^{- 1} (x)) = x$ , तो $f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}$ , $f (x) = 2^{x - 1} + 1$ का व्युत्क्रम है.

$f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}$