ट्रिगोनोमेट्री उदाहरण

$y = 3 \cos (2 θ)$

चरण 1

फलन का पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

चूंकि $3$ , $θ$ के संबंध में स्थिर है, $θ$ के संबंध में $3 \cos (2 θ)$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d θ} [\cos (2 θ)]$ है.

$3 \frac{d}{d θ} [\cos (2 θ)]$

चरण 1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ $f' (g (θ)) g' (θ)$ है, जहाँ $f (θ) = \cos (θ)$ और $g (θ) = 2 θ$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $2 θ$ के रूप में सेट करें.

$3 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d θ} [2 θ])$

चरण 1.2.2

$u$ के संबंध में $\cos (u)$ का व्युत्पन्न $- \sin (u)$ है.

$3 (- \sin (u) \frac{d}{d θ} [2 θ])$

चरण 1.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $2 θ$ से बदलें.

$3 (- \sin (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ])$

चरण 1.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$- 3 (\sin (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ])$

चरण 1.3.2

चूंकि $2$ , $θ$ के संबंध में स्थिर है, $θ$ के संबंध में $2 θ$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d θ} [θ]$ है.

$- 3 \sin (2 θ) (2 \frac{d}{d θ} [θ])$

चरण 1.3.3

$2$ को $- 3$ से गुणा करें.

$- 6 \sin (2 θ) \frac{d}{d θ} [θ]$

चरण 1.3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ $n θ^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- 6 \sin (2 θ) \cdot 1$

चरण 1.3.5

$- 6$ को $1$ से गुणा करें.

$- 6 \sin (2 θ)$

चरण 2

फलन का दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चूंकि $- 6$ , $θ$ के संबंध में स्थिर है, $θ$ के संबंध में $- 6 \sin (2 θ)$ का व्युत्पन्न $- 6 \frac{d}{d θ} [\sin (2 θ)]$ है.

$f'' (θ) = - 6 \frac{d}{d θ} \sin (2 θ)$

चरण 2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ $f' (g (θ)) g' (θ)$ है, जहाँ $f (θ) = \sin (θ)$ और $g (θ) = 2 θ$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $2 θ$ के रूप में सेट करें.

$f'' (θ) = - 6 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d θ} (2 θ))$

चरण 2.2.2

$u$ के संबंध में $\sin (u)$ का व्युत्पन्न $\cos (u)$ है.

$f'' (θ) = - 6 (\cos (u) \frac{d}{d θ} (2 θ))$

चरण 2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $2 θ$ से बदलें.

$f'' (θ) = - 6 (\cos (2 θ) \frac{d}{d θ} (2 θ))$

चरण 2.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूंकि $2$ , $θ$ के संबंध में स्थिर है, $θ$ के संबंध में $2 θ$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d θ} [θ]$ है.

$f'' (θ) = - 6 \cos (2 θ) (2 \frac{d}{d θ} (θ))$

चरण 2.3.2

$2$ को $- 6$ से गुणा करें.

$f'' (θ) = - 12 \cos (2 θ) \frac{d}{d θ} θ$

चरण 2.3.3

$f'' (θ) = - 12 \cos (2 θ) \cdot 1$

चरण 2.3.4

$- 12$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (θ) = - 12 \cos (2 θ)$

चरण 3

फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें और हल करें.

$- 6 \sin (2 θ) = 0$

चरण 4

$- 6 \sin (2 θ) = 0$ के प्रत्येक पद को $- 6$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$- 6 \sin (2 θ) = 0$ के प्रत्येक पद को $- 6$ से विभाजित करें.

$\frac{- 6 \sin (2 θ)}{- 6} = \frac{0}{- 6}$

चरण 4.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$- 6$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- 6 \sin (2 θ)}{- 6} = \frac{0}{- 6}$

चरण 4.2.1.2

$\sin (2 θ)$ को $1$ से विभाजित करें.

$\sin (2 θ) = \frac{0}{- 6}$

चरण 4.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$0$ को $- 6$ से विभाजित करें.

$\sin (2 θ) = 0$

चरण 5

ज्या के अंदर से $θ$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम ज्या लें.

$2 θ = \arcsin (0)$

चरण 6

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$\arcsin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$2 θ = 0$

चरण 7

$2 θ = 0$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$2 θ = 0$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{0}{2}$

चरण 7.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{0}{2}$

चरण 7.2.1.2

$θ$ को $1$ से विभाजित करें.

$θ = \frac{0}{2}$

चरण 7.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1

$0$ को $2$ से विभाजित करें.

$θ = 0$

चरण 8

पहले और दूसरे चतुर्थांश में ज्या फलन धनात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, दूसरे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए संदर्भ कोण को $π$ से घटाएं.

$2 θ = π - 0$

चरण 9

$θ$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$2 θ = π + 0$

चरण 9.1.2

$π$ और $0$ जोड़ें.

$2 θ = π$

चरण 9.2

$2 θ = π$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

$2 θ = π$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{π}{2}$

चरण 9.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{π}{2}$

चरण 9.2.2.1.2

$θ$ को $1$ से विभाजित करें.

$θ = \frac{π}{2}$

चरण 10

समीकरण का हल $2 θ = 0$ .

$θ = 0, \frac{π}{2}$

चरण 11

$θ = 0$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$- 12 \cos (2 (0))$

चरण 12

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$- 12 \cos (0)$

चरण 12.2

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$- 12 \cdot 1$

चरण 12.3

$- 12$ को $1$ से गुणा करें.

$- 12$

चरण 13

$θ = 0$ एक स्थानीय अधिकतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान ऋणात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.

$θ = 0$ एक स्थानीय अधिकतम है.

चरण 14

$θ = 0$ होने पर y-मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

व्यंजक में चर $θ$ को $0$ से बदलें.

$f (0) = 3 \cos (2 (0))$

चरण 14.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.2.1

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$f (0) = 3 \cos (0)$

चरण 14.2.2

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$f (0) = 3 \cdot 1$

चरण 14.2.3

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$f (0) = 3$

चरण 14.2.4

अंतिम उत्तर $3$ है.

$y = 3$

चरण 15

$θ = \frac{π}{2}$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$- 12 \cos (2 (\frac{π}{2}))$

चरण 16

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- 12 \cos (2 \frac{π}{2})$

चरण 16.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 12 \cos (π)$

चरण 16.2

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें. व्यंजक को ऋणात्मक बनाएंं क्योंकि दूसरे चतुर्थांश में कोज्या ऋणात्मक है.

$- 12 (- \cos (0))$

चरण 16.3

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$- 12 (- 1 \cdot 1)$

चरण 16.4

$- 12 (- 1 \cdot 1)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.4.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- 12 \cdot - 1$

चरण 16.4.2

$- 12$ को $- 1$ से गुणा करें.

$12$

चरण 17

$θ = \frac{π}{2}$ एक स्थानीय न्यूनतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान धनात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.

$θ = \frac{π}{2}$ एक स्थानीय न्यूनतम है.

चरण 18

$θ = \frac{π}{2}$ होने पर y-मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.1

व्यंजक में चर $θ$ को $\frac{π}{2}$ से बदलें.

$f (\frac{π}{2}) = 3 \cos (2 (\frac{π}{2}))$

चरण 18.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{π}{2}) = 3 \cos (2 (\frac{π}{2}))$

चरण 18.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{π}{2}) = 3 \cos (π)$

चरण 18.2.2

$f (\frac{π}{2}) = 3 (- \cos (0))$

चरण 18.2.3

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$f (\frac{π}{2}) = 3 (- 1 \cdot 1)$

चरण 18.2.4

$3 (- 1 \cdot 1)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.2.4.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$f (\frac{π}{2}) = 3 \cdot - 1$

चरण 18.2.4.2

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f (\frac{π}{2}) = - 3$

चरण 18.2.5

अंतिम उत्तर $- 3$ है.

$y = - 3$

चरण 19

ये $f (θ) = 3 \cos (2 θ)$ के लिए स्थानीय उच्चत्तम मान हैं.

$(0, 3)$ एक स्थानीय उच्चत्तम है

$(\frac{π}{2}, - 3)$ एक स्थानीय निम्नत्तम है

चरण 20