ट्रिगोनोमेट्री उदाहरण

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) - 2 \sqrt{2} \cos (x) = \sqrt{2}$ , $[0, 2 π)$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों से $\sqrt{2}$ घटाएं.

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) - 2 \sqrt{2} \cos (x) - \sqrt{2} = 0$

चरण 2

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) - 2 \sqrt{2} \cos (x) - \sqrt{2}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) - 2 \cos (x) \sqrt{2} - \sqrt{2} = 0$

चरण 2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) - 2 \cos (x) \sqrt{2} - \sqrt{2} = 0$

चरण 2.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$2 \cos (x) (2 \cos (x) + 1) - \sqrt{2} (2 \cos (x) + 1) = 0$

चरण 2.3

महत्तम समापवर्तक, $2 \cos (x) + 1$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$(2 \cos (x) + 1) (2 \cos (x) - \sqrt{2}) = 0$

चरण 3

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$2 \cos (x) + 1 = 0$

$2 \cos (x) - \sqrt{2} = 0$

चरण 4

$2 \cos (x) + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$2 \cos (x) + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$2 \cos (x) + 1 = 0$

चरण 4.2

$x$ के लिए $2 \cos (x) + 1 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$2 \cos (x) = - 1$

चरण 4.2.2

$2 \cos (x) = - 1$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1

$2 \cos (x) = - 1$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

चरण 4.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

चरण 4.2.2.2.1.2

$\cos (x)$ को $1$ से विभाजित करें.

$\cos (x) = \frac{- 1}{2}$

चरण 4.2.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.3.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

चरण 4.2.3

कोज्या के अंदर से $x$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम कोज्या लें.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

चरण 4.2.4

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.4.1

$\arccos (- \frac{1}{2})$ का सटीक मान $\frac{2 π}{3}$ है.

$x = \frac{2 π}{3}$

चरण 4.2.5

दूसरे और तीसरे चतुर्थांश में कोज्या फलन ऋणात्मक होता है. दूसरा हल ज्ञात करने के लिए, तीसरे चतुर्थांश में हल ज्ञात करने के लिए संदर्भ कोण को $2 π$ से घटाएं.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

चरण 4.2.6

$2 π - \frac{2 π}{3}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.6.1

$2 π$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

चरण 4.2.6.2

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.6.2.1

$2 π$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

चरण 4.2.6.2.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

चरण 4.2.6.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.6.3.1

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

चरण 4.2.6.3.2

$6 π$ में से $2 π$ घटाएं.

$x = \frac{4 π}{3}$

चरण 4.2.7

$\cos (x)$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.7.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{2 π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{2 π}{| b |}$

चरण 4.2.7.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $1$ से बदलें.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

चरण 4.2.7.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\frac{2 π}{1}$

चरण 4.2.7.4

$2 π$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 π$

चरण 4.2.8

$\cos (x)$ फलन की अवधि $2 π$ है, इसलिए मान प्रत्येक $2 π$ रेडियन को दोनों दिशाओं में दोहराएंगे.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 5

$2 \cos (x) - \sqrt{2}$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$2 \cos (x) - \sqrt{2}$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$2 \cos (x) - \sqrt{2} = 0$

चरण 5.2

$x$ के लिए $2 \cos (x) - \sqrt{2} = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $\sqrt{2}$ जोड़ें.

$2 \cos (x) = \sqrt{2}$

चरण 5.2.2

$2 \cos (x) = \sqrt{2}$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

$2 \cos (x) = \sqrt{2}$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

चरण 5.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

चरण 5.2.2.2.1.2

$\cos (x)$ को $1$ से विभाजित करें.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

चरण 5.2.3

$x = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

चरण 5.2.4

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.4.1

$\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ का सटीक मान $\frac{π}{4}$ है.

$x = \frac{π}{4}$

चरण 5.2.5

पहले और चौथे चतुर्थांश में कोज्या फलन धनात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, चौथे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए संदर्भ कोण को $2 π$ से घटाएं.

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

चरण 5.2.6

$2 π - \frac{π}{4}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.6.1

$2 π$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{4}{4}$ से गुणा करें.

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

चरण 5.2.6.2

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.6.2.1

$2 π$ और $\frac{4}{4}$ को मिलाएं.

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

चरण 5.2.6.2.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

चरण 5.2.6.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.6.3.1

$4$ को $2$ से गुणा करें.

$x = \frac{8 π - π}{4}$

चरण 5.2.6.3.2

$8 π$ में से $π$ घटाएं.

$x = \frac{7 π}{4}$

चरण 5.2.7

$\cos (x)$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.7.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{2 π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{2 π}{| b |}$

चरण 5.2.7.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $1$ से बदलें.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

चरण 5.2.7.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\frac{2 π}{1}$

चरण 5.2.7.4

$2 π$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 π$

चरण 5.2.8

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 6

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(2 \cos (x) + 1) (2 \cos (x) - \sqrt{2}) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 7

$n$ के वे मान ज्ञात करें जो अंतराल $[0, 2 π)$ के भीतर एक मान उत्पन्न करते हैं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$n$ के लिए $0$ प्लग इन करें और यह देखने के लिए सरल करें कि हल $[0, 2 π)$ में है या नहीं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1

$n$ के लिए $0$ प्लग इन करें.

$\frac{π}{4} + 2 π (0)$

चरण 7.1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.2.1

$2 π (0)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.2.1.1

$0$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{π}{4} + 0 π$

चरण 7.1.2.1.2

$0$ को $π$ से गुणा करें.

$\frac{π}{4} + 0$

चरण 7.1.2.2

$\frac{π}{4}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{π}{4}$

चरण 7.1.3

अंतराल $[0, 2 π)$ में $\frac{π}{4}$ है.

$x = \frac{π}{4}$

चरण 7.2

$n$ के लिए $0$ प्लग इन करें और यह देखने के लिए सरल करें कि हल $[0, 2 π)$ में है या नहीं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$n$ के लिए $0$ प्लग इन करें.

$\frac{2 π}{3} + 2 π (0)$

चरण 7.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.1

$2 π (0)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.1.1

$0$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{2 π}{3} + 0 π$

चरण 7.2.2.1.2

$0$ को $π$ से गुणा करें.

$\frac{2 π}{3} + 0$

चरण 7.2.2.2

$\frac{2 π}{3}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{2 π}{3}$

चरण 7.2.3

अंतराल $[0, 2 π)$ में $\frac{2 π}{3}$ है.

$x = \frac{π}{4}, \frac{2 π}{3}$

चरण 7.3

$n$ के लिए $0$ प्लग इन करें और यह देखने के लिए सरल करें कि हल $[0, 2 π)$ में है या नहीं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1

$n$ के लिए $0$ प्लग इन करें.

$\frac{4 π}{3} + 2 π (0)$

चरण 7.3.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.2.1

$2 π (0)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.2.1.1

$0$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{4 π}{3} + 0 π$

चरण 7.3.2.1.2

$0$ को $π$ से गुणा करें.

$\frac{4 π}{3} + 0$

चरण 7.3.2.2

$\frac{4 π}{3}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{4 π}{3}$

चरण 7.3.3

अंतराल $[0, 2 π)$ में $\frac{4 π}{3}$ है.

$x = \frac{π}{4}, \frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3}$

चरण 7.4

$n$ के लिए $0$ प्लग इन करें और यह देखने के लिए सरल करें कि हल $[0, 2 π)$ में है या नहीं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.1

$n$ के लिए $0$ प्लग इन करें.

$\frac{7 π}{4} + 2 π (0)$

चरण 7.4.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.2.1

$2 π (0)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.2.1.1

$0$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{7 π}{4} + 0 π$

चरण 7.4.2.1.2

$0$ को $π$ से गुणा करें.

$\frac{7 π}{4} + 0$

चरण 7.4.2.2

$\frac{7 π}{4}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{7 π}{4}$

चरण 7.4.3

अंतराल $[0, 2 π)$ में $\frac{7 π}{4}$ है.

$x = \frac{π}{4}, \frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3}, \frac{7 π}{4}$