ट्रिगोनोमेट्री उदाहरण

$x^{4} + x^{3} - 54 x^{2} + 120 x = 0$

चरण 1

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$x^{4} + x^{3} - 54 x^{2} + 120 x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$x^{4}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$x \cdot x^{3} + x^{3} - 54 x^{2} + 120 x = 0$

चरण 1.1.2

$x^{3}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$x \cdot x^{3} + x \cdot x^{2} - 54 x^{2} + 120 x = 0$

चरण 1.1.3

$- 54 x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$x \cdot x^{3} + x \cdot x^{2} + x (- 54 x) + 120 x = 0$

चरण 1.1.4

$120 x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$x \cdot x^{3} + x \cdot x^{2} + x (- 54 x) + x \cdot 120 = 0$

चरण 1.1.5

$x \cdot x^{3} + x \cdot x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$x (x^{3} + x^{2}) + x (- 54 x) + x \cdot 120 = 0$

चरण 1.1.6

$x (x^{3} + x^{2}) + x (- 54 x)$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$x (x^{3} + x^{2} - 54 x) + x \cdot 120 = 0$

चरण 1.1.7

$x (x^{3} + x^{2} - 54 x) + x \cdot 120$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$x (x^{3} + x^{2} - 54 x + 120) = 0$

चरण 1.2

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

परिमेय मूल परीक्षण का उपयोग करते हुए गुणनखंड $x^{3} + x^{2} - 54 x + 120$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1.1

यदि एक बहुपद फलन में पूर्णांक गुणांक होते हैं, तो प्रत्येक परिमेय शून्य का रूप $\frac{p}{q}$ होगा, जहां $p$ स्थिरांक का एक गुणनखंड है और $q$ प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.

$p = \pm 1, \pm 120, \pm 2, \pm 60, \pm 3, \pm 40, \pm 4, \pm 30, \pm 5, \pm 24, \pm 6, \pm 20, \pm 8, \pm 15, \pm 10, \pm 12$

$q = \pm 1$

चरण 1.2.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm 120, \pm 2, \pm 60, \pm 3, \pm 40, \pm 4, \pm 30, \pm 5, \pm 24, \pm 6, \pm 20, \pm 8, \pm 15, \pm 10, \pm 12$

चरण 1.2.1.3

$5$ को प्रतिस्थापित करें और व्यंजक को सरल करें. इस स्थिति में, व्यंजक $0$ के बराबर है, इसलिए $5$ बहुपद का मूल है.

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चरण 1.2.1.3.1

$5$ को बहुपद में प्रतिस्थापित करें.

$5^{3} + 5^{2} - 54 \cdot 5 + 120$

चरण 1.2.1.3.2

$5$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$125 + 5^{2} - 54 \cdot 5 + 120$

चरण 1.2.1.3.3

$5$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$125 + 25 - 54 \cdot 5 + 120$

चरण 1.2.1.3.4

$125$ और $25$ जोड़ें.

$150 - 54 \cdot 5 + 120$

चरण 1.2.1.3.5

$- 54$ को $5$ से गुणा करें.

$150 - 270 + 120$

चरण 1.2.1.3.6

$150$ में से $270$ घटाएं.

$- 120 + 120$

चरण 1.2.1.3.7

$- 120$ और $120$ जोड़ें.

$0$

चरण 1.2.1.4

चूँकि $5$ एक ज्ञात मूल है, बहुपद को $x - 5$ से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.

$\frac{x^{3} + x^{2} - 54 x + 120}{x - 5}$

चरण 1.2.1.5

$x^{3} + x^{2} - 54 x + 120$ को $x - 5$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1.5.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$x$

$5$

$x^{3}$

$x^{2}$

$54 x$

$120$

चरण 1.2.1.5.2

भाज्य $x^{3}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$x^{2}$
	$x$	-	$5$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$54 x$	+	$120$

चरण 1.2.1.5.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$54 x$	+	$120$
			+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$

चरण 1.2.1.5.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $x^{3} - 5 x^{2}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$54 x$	+	$120$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$

चरण 1.2.1.5.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				$x^{2}$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$54 x$	+	$120$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$

चरण 1.2.1.5.6

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$54 x$	+	$120$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$54 x$

चरण 1.2.1.5.7

भाज्य $6 x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$54 x$	+	$120$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$54 x$

चरण 1.2.1.5.8

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$54 x$	+	$120$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$54 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$30 x$

चरण 1.2.1.5.9

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $6 x^{2} - 30 x$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$54 x$	+	$120$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$54 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$30 x$

चरण 1.2.1.5.10

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$54 x$	+	$120$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$54 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$30 x$
							-	$24 x$

चरण 1.2.1.5.11

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$54 x$	+	$120$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$54 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$30 x$
							-	$24 x$	+	$120$

चरण 1.2.1.5.12

भाज्य $- 24 x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	+	$6 x$	-	$24$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$54 x$	+	$120$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$54 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$30 x$
							-	$24 x$	+	$120$

चरण 1.2.1.5.13

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	+	$6 x$	-	$24$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$54 x$	+	$120$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$54 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$30 x$
							-	$24 x$	+	$120$
							-	$24 x$	+	$120$

चरण 1.2.1.5.14

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- 24 x + 120$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	+	$6 x$	-	$24$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$54 x$	+	$120$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$54 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$30 x$
							-	$24 x$	+	$120$
							+	$24 x$	-	$120$

चरण 1.2.1.5.15

				$x^{2}$	+	$6 x$	-	$24$
$x$	-	$5$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$54 x$	+	$120$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$54 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$30 x$
							-	$24 x$	+	$120$
							+	$24 x$	-	$120$
										$0$

चरण 1.2.1.5.16

चूंकि रिमांडर $0$ है, इसलिए अंतिम उत्तर भागफल है.

$x^{2} + 6 x - 24$

चरण 1.2.1.6

गुणनखंडों के एक सेट के रूप में $x^{3} + x^{2} - 54 x + 120$ लिखें.

$x ((x - 5) (x^{2} + 6 x - 24)) = 0$

चरण 1.2.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$x (x - 5) (x^{2} + 6 x - 24) = 0$

चरण 2

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x = 0$

$x - 5 = 0$

$x^{2} + 6 x - 24 = 0$

चरण 3

$x$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x = 0$

चरण 4

$x - 5$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$x - 5$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 5 = 0$

चरण 4.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $5$ जोड़ें.

$x = 5$

चरण 5

$x^{2} + 6 x - 24$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$x^{2} + 6 x - 24$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x^{2} + 6 x - 24 = 0$

चरण 5.2

$x$ के लिए $x^{2} + 6 x - 24 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

हल पता करने के लिए द्विघात सूत्र का प्रयोग करें.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

चरण 5.2.2

द्विघात सूत्र में $a = 1$ , $b = 6$ और $c = - 24$ मानों को प्रतिस्थापित करें और $x$ के लिए हल करें.

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 24)}}{2 \cdot 1}$

चरण 5.2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.1.1

$6$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot - 24}}{2 \cdot 1}$

चरण 5.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 24$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.1.2.1

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 24}}{2 \cdot 1}$

चरण 5.2.3.1.2.2

$- 4$ को $- 24$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 96}}{2 \cdot 1}$

चरण 5.2.3.1.3

$36$ और $96$ जोड़ें.

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{132}}{2 \cdot 1}$

चरण 5.2.3.1.4

$132$ को $2^{2} \cdot 33$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.1.4.1

$132$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (33)}}{2 \cdot 1}$

चरण 5.2.3.1.4.2

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 33}}{2 \cdot 1}$

चरण 5.2.3.1.5

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{33}}{2 \cdot 1}$

चरण 5.2.3.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{33}}{2}$

चरण 5.2.3.3

$\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{33}}{2}$ को सरल करें.

$x = - 3 \pm \sqrt{33}$

चरण 5.2.4

अंतिम उत्तर दोनों हलों का संयोजन है.

$x = - 3 + \sqrt{33}, - 3 - \sqrt{33}$

चरण 6

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $x (x - 5) (x^{2} + 6 x - 24) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 0, 5, - 3 + \sqrt{33}, - 3 - \sqrt{33}$

चरण 7

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$x = 0, 5, - 3 + \sqrt{33}, - 3 - \sqrt{33}$

दशमलव रूप:

$x = 0, 5, 2.74456264 \dots, - 8.74456264 \dots$

चरण 8