ट्रिगोनोमेट्री उदाहरण

$h (t) = 10 \sin (2 π t) + 15$

चरण 1

आयाम, अवधि, चरण बदलाव और ऊर्ध्वाधर बदलाव को पता करने के लिए प्रयोग किए जाने वाले चर को पता करने के लिए रूप $a \sin (b x - c) + d$ का प्रयोग करें.

$a = 10$

$b = 2 π$

$c = 0$

$d = 15$

चरण 2

आयाम $| a |$ पता करें.

आयाम: $10$

चरण 3

सूत्र $\frac{2 π}{| b |}$ का उपयोग करके अवधि पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$10 \sin (2 π x)$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{2 π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{2 π}{| b |}$

चरण 3.1.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $2 π$ से बदलें.

$\frac{2 π}{| 2 π |}$

चरण 3.1.3

$2 π$ लगभग $6.2831853$ है जो सकारात्मक है इसलिए निरपेक्ष मान हटा दें

$\frac{2 π}{2 π}$

चरण 3.1.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 π}{2 π}$

चरण 3.1.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{π}{π}$

चरण 3.1.5

$π$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.5.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{π}{π}$

चरण 3.1.5.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$1$

चरण 3.2

$15$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{2 π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{2 π}{| b |}$

चरण 3.2.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $2 π$ से बदलें.

$\frac{2 π}{| 2 π |}$

चरण 3.2.3

$2 π$ लगभग $6.2831853$ है जो सकारात्मक है इसलिए निरपेक्ष मान हटा दें

$\frac{2 π}{2 π}$

चरण 3.2.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 π}{2 π}$

चरण 3.2.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{π}{π}$

चरण 3.2.5

$π$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.5.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{π}{π}$

चरण 3.2.5.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$1$

चरण 3.3

त्रिकोणमितीय फलन के जोड़/घटाव का आवर्त व्यक्तिगत आवर्तो की अधिकतम है.

$1$

चरण 4

सूत्र $\frac{c}{b}$ का उपयोग करके चरण बदलाव पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

फलन के चरण बदलाव की गणना $\frac{c}{b}$ से की जा सकती है.

चरण बदलाव: $\frac{c}{b}$

चरण 4.2

चरण बदलाव के समीकरण में $c$ और $b$ के मान बदलें.

चरण बदलाव: $\frac{0}{2 π}$

चरण 4.3

$0$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$0$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

चरण बदलाव: $\frac{2 (0)}{2 π}$

चरण 4.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1

$2 π$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

चरण बदलाव: $\frac{2 (0)}{2 (π)}$

चरण 4.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

चरण बदलाव: $\frac{2 \cdot 0}{2 π}$

चरण 4.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

चरण बदलाव: $\frac{0}{π}$

चरण 4.4

$0$ को $π$ से विभाजित करें.

चरण बदलाव: $0$

चरण 5

त्रिकोणमितीय फलन के गुणों की सूची बनाइए.

आयाम: $10$

आवर्त: $1$

चरण बदलाव: कोई नहीं

ऊर्ध्वाधर बदलाव: $15$

चरण 6

ग्राफ़ के लिए कुछ बिंदुओं का चयन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$x = 0$ पर बिंदु पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

व्यंजक में चर $x$ को $0$ से बदलें.

$f (0) = 10 \sin (2 π (0)) + 15$

चरण 6.1.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.2.1.1

$2 π (0)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.2.1.1.1

$0$ को $2$ से गुणा करें.

$f (0) = 10 \sin (0 π) + 15$

चरण 6.1.2.1.1.2

$0$ को $π$ से गुणा करें.

$f (0) = 10 \sin (0) + 15$

चरण 6.1.2.1.2

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$f (0) = 10 \cdot 0 + 15$

चरण 6.1.2.1.3

$10$ को $0$ से गुणा करें.

$f (0) = 0 + 15$

चरण 6.1.2.2

$0$ और $15$ जोड़ें.

$f (0) = 15$

चरण 6.1.2.3

अंतिम उत्तर $15$ है.

$15$

चरण 6.2

$x = \frac{1}{4}$ पर बिंदु पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{1}{4}$ से बदलें.

$f (\frac{1}{4}) = 10 \sin (2 π (\frac{1}{4})) + 15$

चरण 6.2.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1.1.1

$2 π$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f (\frac{1}{4}) = 10 \sin (2 (π) (\frac{1}{4})) + 15$

चरण 6.2.2.1.1.2

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f (\frac{1}{4}) = 10 \sin (2 (π) (\frac{1}{2 (2)})) + 15$

चरण 6.2.2.1.1.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{1}{4}) = 10 \sin (2 π (\frac{1}{2 \cdot 2})) + 15$

चरण 6.2.2.1.1.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{1}{4}) = 10 \sin (π (\frac{1}{2})) + 15$

चरण 6.2.2.1.2

$π$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$f (\frac{1}{4}) = 10 \sin (\frac{π}{2}) + 15$

चरण 6.2.2.1.3

$\sin (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $1$ है.

$f (\frac{1}{4}) = 10 \cdot 1 + 15$

चरण 6.2.2.1.4

$10$ को $1$ से गुणा करें.

$f (\frac{1}{4}) = 10 + 15$

चरण 6.2.2.2

$10$ और $15$ जोड़ें.

$f (\frac{1}{4}) = 25$

चरण 6.2.2.3

अंतिम उत्तर $25$ है.

$25$

चरण 6.3

$x = \frac{1}{2}$ पर बिंदु पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{1}{2}$ से बदलें.

$f (\frac{1}{2}) = 10 \sin (2 π (\frac{1}{2})) + 15$

चरण 6.3.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.1.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.1.1.1

$2 π$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f (\frac{1}{2}) = 10 \sin (2 (π) (\frac{1}{2})) + 15$

चरण 6.3.2.1.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{1}{2}) = 10 \sin (2 π (\frac{1}{2})) + 15$

चरण 6.3.2.1.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{1}{2}) = 10 \sin (π) + 15$

चरण 6.3.2.1.2

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें.

$f (\frac{1}{2}) = 10 \sin (0) + 15$

चरण 6.3.2.1.3

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$f (\frac{1}{2}) = 10 \cdot 0 + 15$

चरण 6.3.2.1.4

$10$ को $0$ से गुणा करें.

$f (\frac{1}{2}) = 0 + 15$

चरण 6.3.2.2

$0$ और $15$ जोड़ें.

$f (\frac{1}{2}) = 15$

चरण 6.3.2.3

अंतिम उत्तर $15$ है.

$15$

चरण 6.4

$x = \frac{3}{4}$ पर बिंदु पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{3}{4}$ से बदलें.

$f (\frac{3}{4}) = 10 \sin (2 π (\frac{3}{4})) + 15$

चरण 6.4.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.2.1.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.2.1.1.1

$2 π$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f (\frac{3}{4}) = 10 \sin (2 (π) (\frac{3}{4})) + 15$

चरण 6.4.2.1.1.2

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f (\frac{3}{4}) = 10 \sin (2 (π) (\frac{3}{2 (2)})) + 15$

चरण 6.4.2.1.1.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{3}{4}) = 10 \sin (2 π (\frac{3}{2 \cdot 2})) + 15$

चरण 6.4.2.1.1.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{3}{4}) = 10 \sin (π (\frac{3}{2})) + 15$

चरण 6.4.2.1.2

$π$ और $\frac{3}{2}$ को मिलाएं.

$f (\frac{3}{4}) = 10 \sin (\frac{π \cdot 3}{2}) + 15$

चरण 6.4.2.1.3

$3$ को $π$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f (\frac{3}{4}) = 10 \sin (\frac{3 \cdot π}{2}) + 15$

चरण 6.4.2.1.4

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें. व्यंजक को ऋणात्मक बनाएंं क्योंकि चौथे चतुर्थांश में ज्या ऋणात्मक है.

$f (\frac{3}{4}) = 10 (- \sin (\frac{π}{2})) + 15$

चरण 6.4.2.1.5

$\sin (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $1$ है.

$f (\frac{3}{4}) = 10 (- 1 \cdot 1) + 15$

चरण 6.4.2.1.6

$10 (- 1 \cdot 1)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.2.1.6.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$f (\frac{3}{4}) = 10 \cdot - 1 + 15$

चरण 6.4.2.1.6.2

$10$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f (\frac{3}{4}) = - 10 + 15$

चरण 6.4.2.2

$- 10$ और $15$ जोड़ें.

$f (\frac{3}{4}) = 5$

चरण 6.4.2.3

अंतिम उत्तर $5$ है.

$5$

चरण 6.5

$x = 1$ पर बिंदु पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.1

व्यंजक में चर $x$ को $1$ से बदलें.

$f (1) = 10 \sin (2 π (1)) + 15$

चरण 6.5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.2.1.1

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$f (1) = 10 \sin (2 π) + 15$

चरण 6.5.2.1.2

$2 π$ का पूरा घुमाव घटाएं जब तक कि कोण $0$ से बड़ा या उसके बराबर और $2 π$ से कम न हो जाए.

$f (1) = 10 \sin (0) + 15$

चरण 6.5.2.1.3

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$f (1) = 10 \cdot 0 + 15$

चरण 6.5.2.1.4

$10$ को $0$ से गुणा करें.

$f (1) = 0 + 15$

चरण 6.5.2.2

$0$ और $15$ जोड़ें.

$f (1) = 15$

चरण 6.5.2.3

अंतिम उत्तर $15$ है.

$15$

चरण 6.6

एक तालिका में मुद्दों की सूची बनाएंं.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 15 \\ \frac{1}{4} & 25 \\ \frac{1}{2} & 15 \\ \frac{3}{4} & 5 \\ 1 & 15 \end{array}$

चरण 7

त्रिकोणमितीय फलन को आयाम, अवधि, चरण बदलाव, ऊर्ध्वाधर बदलाव और बिंदुओं का उपयोग करके ग्राफ किया जा सकता है.

आयाम: $10$

आवर्त: $1$

चरण बदलाव: कोई नहीं

ऊर्ध्वाधर बदलाव: $15$

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 15 \\ \frac{1}{4} & 25 \\ \frac{1}{2} & 15 \\ \frac{3}{4} & 5 \\ 1 & 15 \end{array}$

चरण 8