ट्रिगोनोमेट्री उदाहरण

$g (x) = \sqrt{16 - x^{4}}$

चरण 1

$y = \sqrt{16 - x^{4}}$ के लिए डोमेन पता करें ताकि $x$ मानों की सूची को चुनकर बिन्दुओं की सूची पता की जा सके, जिससे रेडिकल का ग्राफ बनाने में मदद मिलेगी.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

रेडिकैंड को $\sqrt{(4 + x^{2}) (2 + x) (2 - x)}$ में $0$ से बड़ा या उसके बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां परिभाषित किया गया है.

$(4 + x^{2}) (2 + x) (2 - x) \geq 0$

चरण 1.2

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$4 + x^{2} = 0$

$2 + x = 0$

$2 - x = 0$

चरण 1.2.2

$4 + x^{2}$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1

$4 + x^{2}$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$4 + x^{2} = 0$

चरण 1.2.2.2

$x$ के लिए $4 + x^{2} = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $4$ घटाएं.

$x^{2} = - 4$

चरण 1.2.2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

चरण 1.2.2.2.3

$\pm \sqrt{- 4}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.2.3.1

$- 4$ को $- 1 (4)$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

चरण 1.2.2.2.3.2

$\sqrt{- 1 (4)}$ को $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

चरण 1.2.2.2.3.3

$\sqrt{- 1}$ को $i$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

चरण 1.2.2.2.3.4

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

चरण 1.2.2.2.3.5

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$x = \pm i \cdot 2$

चरण 1.2.2.2.3.6

$2$ को $i$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x = \pm 2 i$

चरण 1.2.2.2.4

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.2.4.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$x = 2 i$

चरण 1.2.2.2.4.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$x = - 2 i$

चरण 1.2.2.2.4.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$x = 2 i, - 2 i$

चरण 1.2.3

$2 + x$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1

$2 + x$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$2 + x = 0$

चरण 1.2.3.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $2$ घटाएं.

$x = - 2$

चरण 1.2.4

$2 - x$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.1

$2 - x$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$2 - x = 0$

चरण 1.2.4.2

$x$ के लिए $2 - x = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $2$ घटाएं.

$- x = - 2$

चरण 1.2.4.2.2

$- x = - 2$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.2.2.1

$- x = - 2$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से विभाजित करें.

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

चरण 1.2.4.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.2.2.2.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

चरण 1.2.4.2.2.2.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{- 2}{- 1}$

चरण 1.2.4.2.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.2.2.3.1

$- 2$ को $- 1$ से विभाजित करें.

$x = 2$

चरण 1.2.5

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(4 + x^{2}) (2 + x) (2 - x) \geq 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 2 i, - 2 i, - 2, 2$

चरण 1.2.6

परीक्षण अंतराल बनाने के लिए प्रत्येक मूल का प्रयोग करें.

$x < - 2$

$- 2 < x < 2$

$x > 2$

चरण 1.2.7

प्रत्येक अंतराल से एक परीक्षण मान चुनें और यह निर्धारित करने के लिए कि कौन से अंतराल असमानता को संतुष्ट करते हैं, इस मान को मूल असमानता में प्लग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.7.1

अंतराल $x < - 2$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.7.1.1

अंतराल $x < - 2$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = - 4$

चरण 1.2.7.1.2

मूल असमानता में $x$ को $- 4$ से बदलें.

$(4 + {(- 4)}^{2}) (2 - 4) (2 - (- 4)) \geq 0$

चरण 1.2.7.1.3

बाईं ओर $- 240$ दाईं ओर $0$ से छोटा है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन गलत है.

False

चरण 1.2.7.2

अंतराल $- 2 < x < 2$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.7.2.1

अंतराल $- 2 < x < 2$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = 0$

चरण 1.2.7.2.2

मूल असमानता में $x$ को $0$ से बदलें.

$(4 + {(0)}^{2}) (2 + 0) (2 - (0)) \geq 0$

चरण 1.2.7.2.3

बाईं ओर $16$ दाईं ओर $0$ से बड़ा है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन हमेशा सत्य है.

True

चरण 1.2.7.3

अंतराल $x > 2$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.7.3.1

अंतराल $x > 2$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = 4$

चरण 1.2.7.3.2

मूल असमानता में $x$ को $4$ से बदलें.

$(4 + {(4)}^{2}) (2 + 4) (2 - (4)) \geq 0$

चरण 1.2.7.3.3

बाईं ओर $- 240$ दाईं ओर $0$ से छोटा है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन गलत है.

False

चरण 1.2.7.4

यह निर्धारित करने के लिए अंतराल की तुलना करें कि कौन से तत्व मूल असमानता को संतुष्ट करते हैं.

$x < - 2$ गलत

$- 2 < x < 2$ सही

$x > 2$ गलत

$x < - 2$ गलत

$- 2 < x < 2$ सही

$x > 2$ गलत

चरण 1.2.8

हल में सभी सच्चे अंतराल होते हैं.

$- 2 \leq x \leq 2$

चरण 1.3

डोमेन $x$ के सभी मान हैं जो व्यंजक को परिभाषित करते हैं.

मध्यवर्ती संकेतन:

$[- 2, 2]$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | - 2 \leq x \leq 2}$

मध्यवर्ती संकेतन:

$[- 2, 2]$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | - 2 \leq x \leq 2}$

चरण 2

अंतिम बिंदुओं को पता करने के लिए, डोमेन से $x$ मानों की सीमा को $f (x) = \sqrt{(4 + x^{2}) (2 + x) (2 - x)}$ में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 2$ से बदलें.

$f (- 2) = \sqrt{(4 + {(- 2)}^{2}) (2 - 2) (2 - (- 2))}$

चरण 2.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

कोष्ठक हटा दें.

$f (- 2) = \sqrt{(4 + {(- 2)}^{2}) (2 - 2) (2 - (- 2))}$

चरण 2.2.2

$- 2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (- 2) = \sqrt{(4 + 4) (2 - 2) (2 - (- 2))}$

चरण 2.2.3

$4$ और $4$ जोड़ें.

$f (- 2) = \sqrt{8 (2 - 2) (2 - (- 2))}$

चरण 2.2.4

$- 1$ को $- 2$ से गुणा करें.

$f (- 2) = \sqrt{8 (2 - 2) (2 + 2)}$

चरण 2.2.5

$2$ में से $2$ घटाएं.

$f (- 2) = \sqrt{8 \cdot (0 (2 + 2))}$

चरण 2.2.6

प्रतिपादकों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.6.1

$8$ को $0$ से गुणा करें.

$f (- 2) = \sqrt{0 (2 + 2)}$

चरण 2.2.6.2

$0$ को $2 + 2$ से गुणा करें.

$f (- 2) = \sqrt{0}$

चरण 2.2.7

$0$ को $0^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f (- 2) = \sqrt{0^{2}}$

चरण 2.2.8

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$f (- 2) = 0$

चरण 2.2.9

अंतिम उत्तर $0$ है.

$0$

चरण 2.3

व्यंजक में चर $x$ को $2$ से बदलें.

$f (2) = \sqrt{(4 + {(2)}^{2}) (2 + 2) (2 - (2))}$

चरण 2.4

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

कोष्ठक हटा दें.

$f (2) = \sqrt{(4 + {(2)}^{2}) (2 + 2) (2 - (2))}$

चरण 2.4.2

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (2) = \sqrt{(4 + 4) (2 + 2) (2 - (2))}$

चरण 2.4.3

$4$ और $4$ जोड़ें.

$f (2) = \sqrt{8 (2 + 2) (2 - (2))}$

चरण 2.4.4

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$f (2) = \sqrt{8 (2 + 2) (2 - 2)}$

चरण 2.4.5

$2$ और $2$ जोड़ें.

$f (2) = \sqrt{8 \cdot (4 (2 - 2))}$

चरण 2.4.6

$8$ को $4$ से गुणा करें.

$f (2) = \sqrt{32 (2 - 2)}$

चरण 2.4.7

$2$ में से $2$ घटाएं.

$f (2) = \sqrt{32 \cdot 0}$

चरण 2.4.8

$32$ को $0$ से गुणा करें.

$f (2) = \sqrt{0}$

चरण 2.4.9

$0$ को $0^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f (2) = \sqrt{0^{2}}$

चरण 2.4.10

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$f (2) = 0$

चरण 2.4.11

अंतिम उत्तर $0$ है.

$0$

चरण 3

अंतिम बिंदु $(- 2, 0), (2, 0)$ हैं.

$(- 2, 0), (2, 0)$

चरण 4

वर्गमूल को शीर्ष $(- 2, 0), (2, 0),$ के आसपास के बिंदुओं का उपयोग करके ग्राफ किया जा सकता है

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 0 \\ 2 & 0 \end{array}$

चरण 5