ट्रिगोनोमेट्री उदाहरण

$f (x) = 1 - | \cos (2 x) |$

चरण 1

निरपेक्ष मान शीर्ष ज्ञात कीजिए. इस स्थिति में, $y = 1 - | \cos (2 x) |$ का शीर्ष $(\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, 1 - | \cos (\frac{π}{2} + π n) |)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

शीर्ष के $x$ निर्देशांक को पता करने के लिए, निरपेक्ष मान $\cos (2 x)$ के अंदर $0$ के बराबर सेट करें. इस स्थिति में, $\cos (2 x) = 0$ .

$\cos (2 x) = 0$

चरण 1.2

निरपेक्ष मान शीर्ष के लिए $x$ निर्देशांक ज्ञात करने के लिए समीकरण $\cos (2 x) = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

कोज्या के अंदर से $x$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम कोज्या लें.

$2 x = \arccos (0)$

चरण 1.2.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1

$\arccos (0)$ का सटीक मान $\frac{π}{2}$ है.

$2 x = \frac{π}{2}$

चरण 1.2.3

$2 x = \frac{π}{2}$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1

$2 x = \frac{π}{2}$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

चरण 1.2.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

चरण 1.2.3.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

चरण 1.2.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.3.1

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

चरण 1.2.3.3.2

$\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.3.2.1

$\frac{π}{2}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

चरण 1.2.3.3.2.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$x = \frac{π}{4}$

चरण 1.2.4

पहले और चौथे चतुर्थांश में कोज्या फलन धनात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, चौथे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए संदर्भ कोण को $2 π$ से घटाएं.

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

चरण 1.2.5

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.1.1

$2 π$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

चरण 1.2.5.1.2

$2 π$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

चरण 1.2.5.1.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

चरण 1.2.5.1.4

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

चरण 1.2.5.1.5

$4 π$ में से $π$ घटाएं.

$2 x = \frac{3 π}{2}$

चरण 1.2.5.2

$2 x = \frac{3 π}{2}$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.2.1

$2 x = \frac{3 π}{2}$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

चरण 1.2.5.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.2.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

चरण 1.2.5.2.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

चरण 1.2.5.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.2.3.1

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

चरण 1.2.5.2.3.2

$\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.2.3.2.1

$\frac{3 π}{2}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

चरण 1.2.5.2.3.2.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$x = \frac{3 π}{4}$

चरण 1.2.6

$\cos (2 x)$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{2 π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{2 π}{| b |}$

चरण 1.2.6.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $2$ से बदलें.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

चरण 1.2.6.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $2$ के बीच की दूरी $2$ है.

$\frac{2 π}{2}$

चरण 1.2.6.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 π}{2}$

चरण 1.2.6.4.2

$π$ को $1$ से विभाजित करें.

$π$

चरण 1.2.7

$\cos (2 x)$ फलन की अवधि $π$ है, इसलिए मान प्रत्येक $π$ रेडियन को दोनों दिशाओं में दोहराएंगे.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 1.2.8

उत्तरों को समेकित करें.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 1.3

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ से बदलें.

$y = 1 - | \cos (2 (\frac{π}{4} + \frac{π n}{2})) |$

चरण 1.4

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = 1 - | \cos (2 (\frac{π}{4}) + 2 (\frac{π n}{2})) |$

चरण 1.4.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y = 1 - | \cos (2 (\frac{π}{2 (2)}) + 2 (\frac{π n}{2})) |$

चरण 1.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y = 1 - | \cos (2 (\frac{π}{2 \cdot 2}) + 2 (\frac{π n}{2})) |$

चरण 1.4.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y = 1 - | \cos (\frac{π}{2} + 2 (\frac{π n}{2})) |$

चरण 1.4.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y = 1 - | \cos (\frac{π}{2} + 2 (\frac{π n}{2})) |$

चरण 1.4.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y = 1 - | \cos (\frac{π}{2} + π n) |$

चरण 1.5

निरपेक्ष मान शीर्ष $(\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, 1 - | \cos (\frac{π}{2} + π n) |)$ है.

$(\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, 1 - | \cos (\frac{π}{2} + π n) |)$

चरण 2

व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \in ℝ}$

चरण 3

निरपेक्ष मान को शीर्ष $(\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, 1 - | \cos (\frac{π}{2} + π n) |),$ के आसपास के बिंदुओं का उपयोग करके ग्राफ किया जा सकता है

$\begin{array}{c} x & y \\ \frac{π}{4} + \frac{π n}{2} & 1 - | \cos (\frac{π}{2} + π n) | \end{array}$

चरण 4