ट्रिगोनोमेट्री उदाहरण

{csc}^{2} (x) - csc (x) - 2 = 0

$\csc^{2} (x) - \csc (x) - 2 = 0$

चरण 1

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लीजिए

$u = \csc (x)$ .

$\csc (x)$ की सभी घटनाओं के लिए

$u$ को प्रतिस्थापित करें.

$u^{2} - u - 2 = 0$

चरण 1.2

AC विधि का उपयोग करके

$u^{2} - u - 2$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

$x^{2} + b x + c$ के स्वरूप पर विचार करें. पूर्णांकों का एक ऐसा युग्म ज्ञात कीजिए जिसका गुणनफल

$c$ है और जिसका योग

$b$ है और इस स्थिति में जिसका गुणनफल

$- 2$ है और जिसका योग

$- 1$ है.

$- 2, 1$

चरण 1.2.2

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$(u - 2) (u + 1) = 0$

चरण 1.3

$u$ की सभी घटनाओं को

$\csc (x)$ से बदलें.

$(\csc (x) - 2) (\csc (x) + 1) = 0$

चरण 2

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड

$0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक

$0$ के बराबर होगा.

$\csc (x) - 2 = 0$

$\csc (x) + 1 = 0$

चरण 3

$\csc (x) - 2$ को

$0$ के बराबर सेट करें और

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\csc (x) - 2$ को

$0$ के बराबर सेट करें.

$\csc (x) - 2 = 0$

चरण 3.2

$x$ के लिए

$\csc (x) - 2 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में

$2$ जोड़ें.

$\csc (x) = 2$

चरण 3.2.2

व्युत्क्रमज्या के अंदर से

$x$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का व्युत्क्रम व्युत्क्रमज्या लें.

$x = arccsc (2)$

चरण 3.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.3.1

$arccsc (2)$ का सटीक मान

$\frac{π}{6}$ है.

$x = \frac{π}{6}$

चरण 3.2.4

पहले और दूसरे चतुर्थांश में व्युत्क्रमज्या फलन धनात्मक होता है. दूसरा हल ज्ञात करने के लिए, दूसरे चतुर्थांश में हल ज्ञात करने के लिए संदर्भ कोण को

$π$ से घटाएं.

$x = π - \frac{π}{6}$

चरण 3.2.5

$π - \frac{π}{6}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.5.1

$π$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए,

$\frac{6}{6}$ से गुणा करें.

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

चरण 3.2.5.2

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.5.2.1

$π$ और

$\frac{6}{6}$ को मिलाएं.

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

चरण 3.2.5.2.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

चरण 3.2.5.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.5.3.1

$6$ को

$π$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

चरण 3.2.5.3.2

$6 π$ में से

$π$ घटाएं.

$x = \frac{5 π}{6}$

चरण 3.2.6

$\csc (x)$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.6.1

फलन की अवधि की गणना

$\frac{2 π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{2 π}{| b |}$

चरण 3.2.6.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में

$b$ को

$1$ से बदलें.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

चरण 3.2.6.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है.

$0$ और

$1$ के बीच की दूरी

$1$ है.

$\frac{2 π}{1}$

चरण 3.2.6.4

$2 π$ को

$1$ से विभाजित करें.

$2 π$

चरण 3.2.7

$\csc (x)$ फलन की अवधि

$2 π$ है, इसलिए मान प्रत्येक

$2 π$ रेडियन को दोनों दिशाओं में दोहराएंगे.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक

$n$ के लिए

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक

$n$ के लिए

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक

$n$ के लिए

चरण 4

$\csc (x) + 1$ को

$0$ के बराबर सेट करें और

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$\csc (x) + 1$ को

$0$ के बराबर सेट करें.

$\csc (x) + 1 = 0$

चरण 4.2

$x$ के लिए

$\csc (x) + 1 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से

$1$ घटाएं.

$\csc (x) = - 1$

चरण 4.2.2

व्युत्क्रमज्या के अंदर से

$x$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का व्युत्क्रम व्युत्क्रमज्या लें.

$x = arccsc (- 1)$

चरण 4.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.3.1

$arccsc (- 1)$ का सटीक मान

$- \frac{π}{2}$ है.

$x = - \frac{π}{2}$

चरण 4.2.4

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from

$2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to

$π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

चरण 4.2.5

दूसरा हल निकालने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.5.1

$2 π + \frac{π}{2} + π$ में से

$2 π$ घटाएं.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

चरण 4.2.5.2

$\frac{3 π}{2}$ का परिणामी कोण धनात्मक है,

$2 π$ से कम है और

$2 π + \frac{π}{2} + π$ के साथ कोटरमिनल है.

$x = \frac{3 π}{2}$

चरण 4.2.6

$\csc (x)$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.6.1

फलन की अवधि की गणना

$\frac{2 π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{2 π}{| b |}$

चरण 4.2.6.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में

$b$ को

$1$ से बदलें.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

चरण 4.2.6.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है.

$0$ और

$1$ के बीच की दूरी

$1$ है.

$\frac{2 π}{1}$

चरण 4.2.6.4

$2 π$ को

$1$ से विभाजित करें.

$2 π$

चरण 4.2.7

धनात्मक कोण प्राप्त करने के लिए प्रत्येक ऋणात्मक कोण में

$2 π$ जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.7.1

धनात्मक कोण ज्ञात करने के लिए

$2 π$ को

$- \frac{π}{2}$ में जोड़ें.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

चरण 4.2.7.2

$2 π$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए,

$\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

चरण 4.2.7.3

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.7.3.1

$2 π$ और

$\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

चरण 4.2.7.3.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

चरण 4.2.7.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.7.4.1

$2$ को

$2$ से गुणा करें.

$\frac{4 π - π}{2}$

चरण 4.2.7.4.2

$4 π$ में से

$π$ घटाएं.

$\frac{3 π}{2}$

चरण 4.2.7.5

नए कोणों की सूची बनाएंं.

$x = \frac{3 π}{2}$

चरण 4.2.8

$\csc (x)$ फलन की अवधि

$2 π$ है, इसलिए मान प्रत्येक

$2 π$ रेडियन को दोनों दिशाओं में दोहराएंगे.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक

$n$ के लिए

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक

$n$ के लिए

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक

$n$ के लिए

चरण 5

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो

$(\csc (x) - 2) (\csc (x) + 1) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक

$n$ के लिए

चरण 6

उत्तरों को समेकित करें.

$x = \frac{π}{6} + \frac{2 π n}{3}$ , किसी भी पूर्णांक

$n$ के लिए