ट्रिगोनोमेट्री उदाहरण

$\sin (t) + \sqrt{3} \cos (t) = 1$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों से $\sin (t)$ घटाएं.

$\sqrt{3} \cos (t) = 1 - \sin (t)$

चरण 2

समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करें

${(\sqrt{3} \cos (t))}^{2} = {(1 - \sin (t))}^{2}$

चरण 3

${(\sqrt{3} \cos (t))}^{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

उत्पाद नियम को $\sqrt{3} \cos (t)$ पर लागू करें.

${\sqrt{3}}^{2} \cos^{2} (t) = {(1 - \sin (t))}^{2}$

चरण 3.2

${\sqrt{3}}^{2}$ को $3$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$\sqrt{3}$ को $3^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

${(3^{\frac{1}{2}})}^{2} \cos^{2} (t) = {(1 - \sin (t))}^{2}$

चरण 3.2.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3^{\frac{1}{2} \cdot 2} \cos^{2} (t) = {(1 - \sin (t))}^{2}$

चरण 3.2.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$3^{\frac{2}{2}} \cos^{2} (t) = {(1 - \sin (t))}^{2}$

चरण 3.2.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$3^{\frac{2}{2}} \cos^{2} (t) = {(1 - \sin (t))}^{2}$

चरण 3.2.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$3^{1} \cos^{2} (t) = {(1 - \sin (t))}^{2}$

चरण 3.2.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$3 \cos^{2} (t) = {(1 - \sin (t))}^{2}$

चरण 4

${(1 - \sin (t))}^{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

${(1 - \sin (t))}^{2}$ को $(1 - \sin (t)) (1 - \sin (t))$ के रूप में फिर से लिखें.

$3 \cos^{2} (t) = (1 - \sin (t)) (1 - \sin (t))$

चरण 4.2

FOIL विधि का उपयोग करके $(1 - \sin (t)) (1 - \sin (t))$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$3 \cos^{2} (t) = 1 (1 - \sin (t)) - \sin (t) (1 - \sin (t))$

चरण 4.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$3 \cos^{2} (t) = 1 \cdot 1 + 1 (- \sin (t)) - \sin (t) (1 - \sin (t))$

चरण 4.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$3 \cos^{2} (t) = 1 \cdot 1 + 1 (- \sin (t)) - \sin (t) \cdot 1 - \sin (t) (- \sin (t))$

चरण 4.3

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1.1

$1$ को $1$ से गुणा करें.

$3 \cos^{2} (t) = 1 + 1 (- \sin (t)) - \sin (t) \cdot 1 - \sin (t) (- \sin (t))$

चरण 4.3.1.2

$- \sin (t)$ को $1$ से गुणा करें.

$3 \cos^{2} (t) = 1 - \sin (t) - \sin (t) \cdot 1 - \sin (t) (- \sin (t))$

चरण 4.3.1.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$3 \cos^{2} (t) = 1 - \sin (t) - \sin (t) - \sin (t) (- \sin (t))$

चरण 4.3.1.4

$- \sin (t) (- \sin (t))$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1.4.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$3 \cos^{2} (t) = 1 - \sin (t) - \sin (t) + 1 \sin (t) \sin (t)$

चरण 4.3.1.4.2

$\sin (t)$ को $1$ से गुणा करें.

$3 \cos^{2} (t) = 1 - \sin (t) - \sin (t) + \sin (t) \sin (t)$

चरण 4.3.1.4.3

$\sin (t)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$3 \cos^{2} (t) = 1 - \sin (t) - \sin (t) + \sin^{1} (t) \sin (t)$

चरण 4.3.1.4.4

$\sin (t)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$3 \cos^{2} (t) = 1 - \sin (t) - \sin (t) + \sin^{1} (t) \sin^{1} (t)$

चरण 4.3.1.4.5

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$3 \cos^{2} (t) = 1 - \sin (t) - \sin (t) + {\sin (t)}^{1 + 1}$

चरण 4.3.1.4.6

$1$ और $1$ जोड़ें.

$3 \cos^{2} (t) = 1 - \sin (t) - \sin (t) + \sin^{2} (t)$

चरण 4.3.2

$- \sin (t)$ में से $\sin (t)$ घटाएं.

$3 \cos^{2} (t) = 1 - 2 \sin (t) + \sin^{2} (t)$

चरण 5

सभी अभिव्यक्तियों को समीकरण के बाईं पक्ष की ओर ले जाएँ.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$3 \cos^{2} (t) - 1 = - 2 \sin (t) + \sin^{2} (t)$

चरण 5.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $2 \sin (t)$ जोड़ें.

$3 \cos^{2} (t) - 1 + 2 \sin (t) = \sin^{2} (t)$

चरण 5.3

समीकरण के दोनों पक्षों से $\sin^{2} (t)$ घटाएं.

$3 \cos^{2} (t) - 1 + 2 \sin (t) - \sin^{2} (t) = 0$

चरण 6

$3 \cos^{2} (t)$ को $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ पहचान के आधार पर $3 (1 - \sin^{2} (t))$ से बदलें.

$3 (1 - \sin^{2} (t)) - 1 + 2 \sin (t) - \sin^{2} (t) = 0$

चरण 7

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$3 \cdot 1 + 3 (- \sin^{2} (t)) - 1 + 2 \sin (t) - \sin^{2} (t) = 0$

चरण 7.2

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$3 + 3 (- \sin^{2} (t)) - 1 + 2 \sin (t) - \sin^{2} (t) = 0$

चरण 7.3

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$3 - 3 \sin^{2} (t) - 1 + 2 \sin (t) - \sin^{2} (t) = 0$

चरण 8

पदों को जोड़कर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$3$ में से $1$ घटाएं.

$- 3 \sin^{2} (t) + 2 + 2 \sin (t) - \sin^{2} (t) = 0$

चरण 8.2

$- 3 \sin^{2} (t)$ में से $\sin^{2} (t)$ घटाएं.

$- 4 \sin^{2} (t) + 2 + 2 \sin (t) = 0$

चरण 9

बहुपद को पुन: व्यवस्थित करें.

$- 4 \sin^{2} (t) + 2 \sin (t) + 2 = 0$

चरण 10

$u$ को $\sin (t)$ से प्रतिस्थापित करें.

$- 4 {(u)}^{2} + 2 (u) + 2 = 0$

चरण 11

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$- 4 u^{2} + 2 u + 2$ में से $- 2$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1.1

$- 4 u^{2}$ में से $- 2$ का गुणनखंड करें.

$- 2 (2 u^{2}) + 2 u + 2 = 0$

चरण 11.1.2

$2 u$ में से $- 2$ का गुणनखंड करें.

$- 2 (2 u^{2}) - 2 (- u) + 2 = 0$

चरण 11.1.3

$2$ में से $- 2$ का गुणनखंड करें.

$- 2 (2 u^{2}) - 2 (- u) - 2 \cdot - 1 = 0$

चरण 11.1.4

$- 2 (2 u^{2}) - 2 (- u)$ में से $- 2$ का गुणनखंड करें.

$- 2 (2 u^{2} - u) - 2 \cdot - 1 = 0$

चरण 11.1.5

$- 2 (2 u^{2} - u) - 2 (- 1)$ में से $- 2$ का गुणनखंड करें.

$- 2 (2 u^{2} - u - 1) = 0$

चरण 11.2

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.1

वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.1.1

फॉर्म $a x^{2} + b x + c$ के बहुपद के लिए, मध्य पद को दो पदों के योग के रूप में फिर से लिखें, जिसका गुणनफल $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ है और जिसका योग $b = - 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.1.1.1

$- u$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$- 2 (2 u^{2} - u - 1) = 0$

चरण 11.2.1.1.2

$- 1$ को $1$ जोड़ $- 2$ के रूप में फिर से लिखें

$- 2 (2 u^{2} + (1 - 2) u - 1) = 0$

चरण 11.2.1.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- 2 (2 u^{2} + 1 u - 2 u - 1) = 0$

चरण 11.2.1.1.4

$u$ को $1$ से गुणा करें.

$- 2 (2 u^{2} + u - 2 u - 1) = 0$

चरण 11.2.1.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.1.2.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$- 2 (2 u^{2} + u - 2 u - 1) = 0$

चरण 11.2.1.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$- 2 (u (2 u + 1) - (2 u + 1)) = 0$

चरण 11.2.1.3

महत्तम समापवर्तक, $2 u + 1$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$- 2 ((2 u + 1) (u - 1)) = 0$

चरण 11.2.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$- 2 (2 u + 1) (u - 1) = 0$

चरण 12

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$2 u + 1 = 0$

$u - 1 = 0$

चरण 13

$2 u + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $u$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$2 u + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$2 u + 1 = 0$

चरण 13.2

$u$ के लिए $2 u + 1 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$2 u = - 1$

चरण 13.2.2

$2 u = - 1$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.2.2.1

$2 u = - 1$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

चरण 13.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.2.2.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.2.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

चरण 13.2.2.2.1.2

$u$ को $1$ से विभाजित करें.

$u = \frac{- 1}{2}$

चरण 13.2.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.2.2.3.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$u = - \frac{1}{2}$

चरण 14

$u - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $u$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

$u - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$u - 1 = 0$

चरण 14.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$u = 1$

चरण 15

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $- 2 (2 u + 1) (u - 1) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$u = - \frac{1}{2}, 1$

चरण 16

$\sin (t)$ को $u$ से प्रतिस्थापित करें.

$\sin (t) = - \frac{1}{2}, 1$

चरण 17

$t$ को हल करने के लिए प्रत्येक हल सेट करें.

$\sin (t) = - \frac{1}{2}$

$\sin (t) = 1$

चरण 18

$t$ के लिए $\sin (t) = - \frac{1}{2}$ में हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.1

ज्या के अंदर से $t$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम ज्या लें.

$t = \arcsin (- \frac{1}{2})$

चरण 18.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.2.1

$\arcsin (- \frac{1}{2})$ का सटीक मान $- \frac{π}{6}$ है.

$t = - \frac{π}{6}$

चरण 18.3

तीसरे और चौथे चतुर्थांश में ज्या फलन ऋणात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, संदर्भ कोण पता करने के लिए हल को $2 π$ से घटाएं. इसके बाद, तीसरे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए इस संदर्भ कोण को $π$ में जोड़ें.

$t = 2 π + \frac{π}{6} + π$

चरण 18.4

दूसरा हल निकालने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.4.1

$2 π + \frac{π}{6} + π$ में से $2 π$ घटाएं.

$t = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

चरण 18.4.2

$\frac{7 π}{6}$ का परिणामी कोण धनात्मक है, $2 π$ से कम है और $2 π + \frac{π}{6} + π$ के साथ कोटरमिनल है.

$t = \frac{7 π}{6}$

चरण 18.5

$\sin (t)$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.5.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{2 π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{2 π}{| b |}$

चरण 18.5.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $1$ से बदलें.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

चरण 18.5.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\frac{2 π}{1}$

चरण 18.5.4

$2 π$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 π$

चरण 18.6

धनात्मक कोण प्राप्त करने के लिए प्रत्येक ऋणात्मक कोण में $2 π$ जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.6.1

धनात्मक कोण ज्ञात करने के लिए $2 π$ को $- \frac{π}{6}$ में जोड़ें.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

चरण 18.6.2

$2 π$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{6}{6}$ से गुणा करें.

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

चरण 18.6.3

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.6.3.1

$2 π$ और $\frac{6}{6}$ को मिलाएं.

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

चरण 18.6.3.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

चरण 18.6.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.6.4.1

$6$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{12 π - π}{6}$

चरण 18.6.4.2

$12 π$ में से $π$ घटाएं.

$\frac{11 π}{6}$

चरण 18.6.5

नए कोणों की सूची बनाएंं.

$t = \frac{11 π}{6}$

चरण 18.7

$\sin (t)$ फलन की अवधि $2 π$ है, इसलिए मान प्रत्येक $2 π$ रेडियन को दोनों दिशाओं में दोहराएंगे.

$t = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 19

$t$ के लिए $\sin (t) = 1$ में हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 19.1

$t = \arcsin (1)$

चरण 19.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 19.2.1

$\arcsin (1)$ का सटीक मान $\frac{π}{2}$ है.

$t = \frac{π}{2}$

चरण 19.3

पहले और दूसरे चतुर्थांश में ज्या फलन धनात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, दूसरे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए संदर्भ कोण को $π$ से घटाएं.

$t = π - \frac{π}{2}$

चरण 19.4

$π - \frac{π}{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 19.4.1

$π$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$t = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

चरण 19.4.2

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 19.4.2.1

$π$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$t = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

चरण 19.4.2.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$t = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

चरण 19.4.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 19.4.3.1

$2$ को $π$ के बाईं ओर ले जाएं.

$t = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

चरण 19.4.3.2

$2 π$ में से $π$ घटाएं.

$t = \frac{π}{2}$

चरण 19.5

$\sin (t)$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 19.5.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{2 π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{2 π}{| b |}$

चरण 19.5.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $1$ से बदलें.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

चरण 19.5.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\frac{2 π}{1}$

चरण 19.5.4

$2 π$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 π$

चरण 19.6

$t = \frac{π}{2} + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 20

सभी हलों की सूची बनाएंं.

$t = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 21

उत्तरों को समेकित करें.

$t = \frac{π}{2} + \frac{2 π n}{3}$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 22

प्रत्येक हल को $\sin (t) + \sqrt{3} \cos (t) = 1$ में प्रतिस्थापित करके और हल करके सत्यापित करें.

$t = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए