ट्रिगोनोमेट्री उदाहरण

$\sin (2 x) + \sqrt{2 \cos (x)} = 0$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों से $\sin (2 x)$ घटाएं.

$\sqrt{2 \cos (x)} = - \sin (2 x)$

चरण 2

समीकरण के बाईं पक्ष की ओर मूलांक निकालने के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करें.

${\sqrt{2 \cos (x)}}^{2} = {(- \sin (2 x))}^{2}$

चरण 3

समीकरण के प्रत्येक पक्ष को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\sqrt{2 \cos (x)}$ को ${(2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

${({(2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \sin (2 x))}^{2}$

चरण 3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

${({(2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1

घातांक को ${({(2 \cos (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 \cos (x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \sin (2 x))}^{2}$

चरण 3.2.1.1.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

${(2 \cos (x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \sin (2 x))}^{2}$

चरण 3.2.1.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

${(2 \cos (x))}^{1} = {(- \sin (2 x))}^{2}$

चरण 3.2.1.2

सरल करें.

$2 \cos (x) = {(- \sin (2 x))}^{2}$

चरण 3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

${(- \sin (2 x))}^{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.1

उत्पाद नियम को $- \sin (2 x)$ पर लागू करें.

$2 \cos (x) = {(- 1)}^{2} \sin^{2} (2 x)$

चरण 3.3.1.2

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$2 \cos (x) = 1 \sin^{2} (2 x)$

चरण 3.3.1.3

$\sin^{2} (2 x)$ को $1$ से गुणा करें.

$2 \cos (x) = \sin^{2} (2 x)$

चरण 4

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $\sin^{2} (2 x)$ घटाएं.

$2 \cos (x) - \sin^{2} (2 x) = 0$

चरण 4.2

$\sin^{2} (2 x)$ को $1 - \cos^{2} (2 x)$ से बदलें.

$2 \cos (x) - (1 - \cos^{2} (2 x)) = 0$

चरण 4.3

समीकरण के बाएँ पक्ष को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

पाइथागोरस सर्वसमिका लागू करें.

$2 \cos (x) - \sin^{2} (2 x) = 0$

चरण 4.3.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1

ज्या दोहरा कोण सर्वसमिका लागू करें.

$2 \cos (x) - {(2 \sin (x) \cos (x))}^{2} = 0$

चरण 4.3.2.2

घातांक वितरण करने के लिए घात नियम ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ का उपयोग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.2.1

उत्पाद नियम को $2 \sin (x) \cos (x)$ पर लागू करें.

$2 \cos (x) - ({(2 \sin (x))}^{2} \cos^{2} (x)) = 0$

चरण 4.3.2.2.2

उत्पाद नियम को $2 \sin (x)$ पर लागू करें.

$2 \cos (x) - (2^{2} \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)) = 0$

चरण 4.3.2.3

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$2 \cos (x) - (4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)) = 0$

चरण 4.3.2.4

$4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$2 \cos (x) - 4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) = 0$

चरण 4.4

$2 \cos (x) - 4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ में से $2 \cos (x)$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.1

$2 \cos (x)$ में से $2 \cos (x)$ का गुणनखंड करें.

$2 \cos (x) \cdot 1 - 4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) = 0$

चरण 4.4.2

$- 4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ में से $2 \cos (x)$ का गुणनखंड करें.

$2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x) \cos (x)) = 0$

चरण 4.4.3

$2 \cos (x) \cdot 1 + 2 \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x) \cos (x))$ में से $2 \cos (x)$ का गुणनखंड करें.

$2 \cos (x) (1 - 2 \sin^{2} (x) \cos (x)) = 0$

चरण 4.5

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$\cos (x) = 0$

$1 - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) = 0$

चरण 4.6

$\cos (x)$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.6.1

$\cos (x)$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$\cos (x) = 0$

चरण 4.6.2

$x$ के लिए $\cos (x) = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.6.2.1

कोज्या के अंदर से $x$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम कोज्या लें.

$x = \arccos (0)$

चरण 4.6.2.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.6.2.2.1

$\arccos (0)$ का सटीक मान $\frac{π}{2}$ है.

$x = \frac{π}{2}$

चरण 4.6.2.3

पहले और चौथे चतुर्थांश में कोज्या फलन धनात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, चौथे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए संदर्भ कोण को $2 π$ से घटाएं.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

चरण 4.6.2.4

$2 π - \frac{π}{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.6.2.4.1

$2 π$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

चरण 4.6.2.4.2

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.6.2.4.2.1

$2 π$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

चरण 4.6.2.4.2.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

चरण 4.6.2.4.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.6.2.4.3.1

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$x = \frac{4 π - π}{2}$

चरण 4.6.2.4.3.2

$4 π$ में से $π$ घटाएं.

$x = \frac{3 π}{2}$

चरण 4.6.2.5

$\cos (x)$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.6.2.5.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{2 π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{2 π}{| b |}$

चरण 4.6.2.5.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $1$ से बदलें.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

चरण 4.6.2.5.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\frac{2 π}{1}$

चरण 4.6.2.5.4

$2 π$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 π$

चरण 4.6.2.6

$\cos (x)$ फलन की अवधि $2 π$ है, इसलिए मान प्रत्येक $2 π$ रेडियन को दोनों दिशाओं में दोहराएंगे.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 4.7

$1 - 2 \sin^{2} (x) \cos (x)$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.7.1

$1 - 2 \sin^{2} (x) \cos (x)$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$1 - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) = 0$

चरण 4.7.2

$x$ के लिए $1 - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.7.2.1

$\sin^{2} (x)$ को $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ पहचान के आधार पर $1 - \cos^{2} (x)$ से बदलें.

$1 (1 - \cos^{2} (x)) \cos (x) = 0$

चरण 4.7.2.2

$1 - \cos^{2} (x)$ को $1$ से गुणा करें.

$(1 - \cos^{2} (x)) \cos (x) = 0$

चरण 4.7.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$1 \cos (x) - \cos^{2} (x) \cos (x) = 0$

चरण 4.7.2.4

$\cos (x)$ को $1$ से गुणा करें.

$\cos (x) - \cos^{2} (x) \cos (x) = 0$

चरण 4.7.2.5

घातांक जोड़कर $\cos^{2} (x)$ को $\cos (x)$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.7.2.5.1

$\cos (x)$ ले जाएं.

$\cos (x) - (\cos (x) \cos^{2} (x)) = 0$

चरण 4.7.2.5.2

$\cos (x)$ को $\cos^{2} (x)$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.7.2.5.2.1

$\cos (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\cos (x) - (\cos (x) \cos^{2} (x)) = 0$

चरण 4.7.2.5.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\cos (x) - {\cos (x)}^{1 + 2} = 0$

चरण 4.7.2.5.3

$1$ और $2$ जोड़ें.

$\cos (x) - \cos^{3} (x) = 0$

चरण 4.7.2.6

बहुपद को पुन: व्यवस्थित करें.

$- \cos^{3} (x) + \cos (x) = 0$

चरण 4.7.2.7

$u$ को $\cos (x)$ से प्रतिस्थापित करें.

$- {(u)}^{3} + u = 0$

चरण 4.7.2.8

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.7.2.8.1

$- u^{3} + u$ में से $- u$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.7.2.8.1.1

$- u^{3}$ में से $- u$ का गुणनखंड करें.

$- u \cdot u^{2} + u = 0$

चरण 4.7.2.8.1.2

$u$ को $1 u$ के रूप में फिर से लिखें.

$- u \cdot u^{2} + 1 u = 0$

चरण 4.7.2.8.1.3

$1 u$ में से $- u$ का गुणनखंड करें.

$- u \cdot u^{2} - u \cdot - 1 = 0$

चरण 4.7.2.8.1.4

$- u \cdot u^{2} - u \cdot - 1$ में से $- u$ का गुणनखंड करें.

$- u (u^{2} - 1) = 0$

चरण 4.7.2.8.2

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- u (u^{2} - 1^{2}) = 0$

चरण 4.7.2.8.3

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.7.2.8.3.1

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = u$ और $b = 1$ .

$- u ((u + 1) (u - 1)) = 0$

चरण 4.7.2.8.3.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$- u (u + 1) (u - 1) = 0$

चरण 4.7.2.9

$u = 0$

$u + 1 = 0$

$u - 1 = 0$

चरण 4.7.2.10

$u$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$u = 0$

चरण 4.7.2.11

$u + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $u$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.7.2.11.1

$u + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$u + 1 = 0$

चरण 4.7.2.11.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$u = - 1$

चरण 4.7.2.12

$u - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $u$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.7.2.12.1

$u - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$u - 1 = 0$

चरण 4.7.2.12.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$u = 1$

चरण 4.7.2.13

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $- u (u + 1) (u - 1) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$u = 0, - 1, 1$

चरण 4.7.2.14

$\cos (x)$ को $u$ से प्रतिस्थापित करें.

$\cos (x) = 0, - 1, 1$

चरण 4.7.2.15

$x$ को हल करने के लिए प्रत्येक हल सेट करें.

$\cos (x) = 0$

$\cos (x) = - 1$

$\cos (x) = 1$

चरण 4.7.2.16

$x$ के लिए $\cos (x) = 0$ में हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.7.2.16.1

$x = \arccos (0)$

चरण 4.7.2.16.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.7.2.16.2.1

$\arccos (0)$ का सटीक मान $\frac{π}{2}$ है.

$x = \frac{π}{2}$

चरण 4.7.2.16.3

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

चरण 4.7.2.16.4

$2 π - \frac{π}{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.7.2.16.4.1

$2 π$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

चरण 4.7.2.16.4.2

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.7.2.16.4.2.1

$2 π$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

चरण 4.7.2.16.4.2.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

चरण 4.7.2.16.4.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.7.2.16.4.3.1

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$x = \frac{4 π - π}{2}$

चरण 4.7.2.16.4.3.2

$4 π$ में से $π$ घटाएं.

$x = \frac{3 π}{2}$

चरण 4.7.2.16.5

$\cos (x)$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.7.2.16.5.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{2 π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{2 π}{| b |}$

चरण 4.7.2.16.5.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $1$ से बदलें.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

चरण 4.7.2.16.5.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\frac{2 π}{1}$

चरण 4.7.2.16.5.4

$2 π$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 π$

चरण 4.7.2.16.6

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 4.7.2.17

$x$ के लिए $\cos (x) = - 1$ में हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.7.2.17.1

$x = \arccos (- 1)$

चरण 4.7.2.17.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.7.2.17.2.1

$\arccos (- 1)$ का सटीक मान $π$ है.

$x = π$

चरण 4.7.2.17.3

दूसरे और तीसरे चतुर्थांश में कोज्या फलन ऋणात्मक होता है. दूसरा हल ज्ञात करने के लिए, तीसरे चतुर्थांश में हल ज्ञात करने के लिए संदर्भ कोण को $2 π$ से घटाएं.

$x = 2 π - π$

चरण 4.7.2.17.4

$2 π$ में से $π$ घटाएं.

$x = π$

चरण 4.7.2.17.5

$\cos (x)$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.7.2.17.5.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{2 π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{2 π}{| b |}$

चरण 4.7.2.17.5.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $1$ से बदलें.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

चरण 4.7.2.17.5.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\frac{2 π}{1}$

चरण 4.7.2.17.5.4

$2 π$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 π$

चरण 4.7.2.17.6

$x = π + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 4.7.2.18

$x$ के लिए $\cos (x) = 1$ में हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.7.2.18.1

$x = \arccos (1)$

चरण 4.7.2.18.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.7.2.18.2.1

$\arccos (1)$ का सटीक मान $0$ है.

$x = 0$

चरण 4.7.2.18.3

$x = 2 π - 0$

चरण 4.7.2.18.4

$2 π$ में से $0$ घटाएं.

$x = 2 π$

चरण 4.7.2.18.5

$\cos (x)$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.7.2.18.5.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{2 π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{2 π}{| b |}$

चरण 4.7.2.18.5.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $1$ से बदलें.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

चरण 4.7.2.18.5.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\frac{2 π}{1}$

चरण 4.7.2.18.5.4

$2 π$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 π$

चरण 4.7.2.18.6

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 4.7.2.19

सभी हलों की सूची बनाएंं.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, π + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 4.7.2.20

उत्तरों को समेकित करें.

$x = \frac{π n}{2}$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 4.8

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $2 \cos (x) (1 - 2 \sin^{2} (x) \cos (x)) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π n}{2}$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 5

उत्तरों को समेकित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$\frac{π}{2} + 2 π n$ और $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ को $\frac{π}{2} + π n$ में समेकित करें.

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π n}{2}$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 5.2

$\frac{π}{2} + π n$ और $\frac{π n}{2}$ को $\frac{π n}{2}$ में समेकित करें.

$x = \frac{π n}{2}$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 6

प्रत्येक हल को $\sin (2 x) + \sqrt{2 \cos (x)} = 0$ में प्रतिस्थापित करके और हल करके सत्यापित करें.

$x = 4.71238898, 10.99557428$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए