ट्रिगोनोमेट्री उदाहरण

$8 \sin^{2} (\frac{x}{2}) - 10 \sin (\frac{x}{2}) + 3 = 0$

चरण 1

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लीजिए $u = \sin (\frac{x}{2})$ . $\sin (\frac{x}{2})$ की सभी घटनाओं के लिए $u$ को प्रतिस्थापित करें.

$8 u^{2} - 10 u + 3 = 0$

चरण 1.2

वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

फॉर्म $a x^{2} + b x + c$ के बहुपद के लिए, मध्य पद को दो पदों के योग के रूप में फिर से लिखें, जिसका गुणनफल $a \cdot c = 8 \cdot 3 = 24$ है और जिसका योग $b = - 10$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1.1

$- 10 u$ में से $- 10$ का गुणनखंड करें.

$8 u^{2} - 10 u + 3 = 0$

चरण 1.2.1.2

$- 10$ को $- 4$ जोड़ $- 6$ के रूप में फिर से लिखें

$8 u^{2} + (- 4 - 6) u + 3 = 0$

चरण 1.2.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$8 u^{2} - 4 u - 6 u + 3 = 0$

चरण 1.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$(8 u^{2} - 4 u) - 6 u + 3 = 0$

चरण 1.2.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$4 u (2 u - 1) - 3 (2 u - 1) = 0$

चरण 1.2.3

महत्तम समापवर्तक, $2 u - 1$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$(2 u - 1) (4 u - 3) = 0$

चरण 1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\sin (\frac{x}{2})$ से बदलें.

$(2 \sin (\frac{x}{2}) - 1) (4 \sin (\frac{x}{2}) - 3) = 0$

चरण 2

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$2 \sin (\frac{x}{2}) - 1 = 0$

$4 \sin (\frac{x}{2}) - 3 = 0$

चरण 3

$2 \sin (\frac{x}{2}) - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$2 \sin (\frac{x}{2}) - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$2 \sin (\frac{x}{2}) - 1 = 0$

चरण 3.2

$x$ के लिए $2 \sin (\frac{x}{2}) - 1 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$2 \sin (\frac{x}{2}) = 1$

चरण 3.2.2

$2 \sin (\frac{x}{2}) = 1$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

$2 \sin (\frac{x}{2}) = 1$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 \sin (\frac{x}{2})}{2} = \frac{1}{2}$

चरण 3.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 \sin (\frac{x}{2})}{2} = \frac{1}{2}$

चरण 3.2.2.2.1.2

$\sin (\frac{x}{2})$ को $1$ से विभाजित करें.

$\sin (\frac{x}{2}) = \frac{1}{2}$

चरण 3.2.3

ज्या के अंदर से $x$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम ज्या लें.

$\frac{x}{2} = \arcsin (\frac{1}{2})$

चरण 3.2.4

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.4.1

$\arcsin (\frac{1}{2})$ का सटीक मान $\frac{π}{6}$ है.

$\frac{x}{2} = \frac{π}{6}$

चरण 3.2.5

समीकरण के दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करें.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{6}$

चरण 3.2.6

समीकरण के दोनों पक्षों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.6.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.6.1.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.6.1.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{6}$

चरण 3.2.6.1.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x = 2 \frac{π}{6}$

चरण 3.2.6.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.6.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.6.2.1.1

$6$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$x = 2 \frac{π}{2 (3)}$

चरण 3.2.6.2.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x = 2 \frac{π}{2 \cdot 3}$

चरण 3.2.6.2.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x = \frac{π}{3}$

चरण 3.2.7

पहले और दूसरे चतुर्थांश में ज्या फलन धनात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, दूसरे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए संदर्भ कोण को $π$ से घटाएं.

$\frac{x}{2} = π - \frac{π}{6}$

चरण 3.2.8

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.8.1

समीकरण के दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करें.

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - \frac{π}{6})$

चरण 3.2.8.2

समीकरण के दोनों पक्षों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.8.2.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.8.2.1.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.8.2.1.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - \frac{π}{6})$

चरण 3.2.8.2.1.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x = 2 (π - \frac{π}{6})$

चरण 3.2.8.2.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.8.2.2.1

$2 (π - \frac{π}{6})$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.8.2.2.1.1

$π$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{6}{6}$ से गुणा करें.

$x = 2 (π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6})$

चरण 3.2.8.2.2.1.2

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.8.2.2.1.2.1

$π$ और $\frac{6}{6}$ को मिलाएं.

$x = 2 (\frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6})$

चरण 3.2.8.2.2.1.2.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$x = 2 \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

चरण 3.2.8.2.2.1.2.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.8.2.2.1.2.3.1

$6$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$x = 2 \frac{π \cdot 6 - π}{2 (3)}$

चरण 3.2.8.2.2.1.2.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x = 2 \frac{π \cdot 6 - π}{2 \cdot 3}$

चरण 3.2.8.2.2.1.2.3.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{3}$

चरण 3.2.8.2.2.1.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.8.2.2.1.3.1

$6$ को $π$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x = \frac{6 \cdot π - π}{3}$

चरण 3.2.8.2.2.1.3.2

$6 π$ में से $π$ घटाएं.

$x = \frac{5 π}{3}$

चरण 3.2.9

$\sin (\frac{x}{2})$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.9.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{2 π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{2 π}{| b |}$

चरण 3.2.9.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $\frac{1}{2}$ से बदलें.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

चरण 3.2.9.3

$\frac{1}{2}$ लगभग $0.5$ है जो सकारात्मक है इसलिए निरपेक्ष मान हटा दें

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

चरण 3.2.9.4

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$2 π \cdot 2$

चरण 3.2.9.5

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$4 π$

चरण 3.2.10

$\sin (\frac{x}{2})$ फलन की अवधि $4 π$ है, इसलिए मान प्रत्येक $4 π$ रेडियन को दोनों दिशाओं में दोहराएंगे.

$x = \frac{π}{3} + 4 π n, \frac{5 π}{3} + 4 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 4

$4 \sin (\frac{x}{2}) - 3$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$4 \sin (\frac{x}{2}) - 3$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$4 \sin (\frac{x}{2}) - 3 = 0$

चरण 4.2

$x$ के लिए $4 \sin (\frac{x}{2}) - 3 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $3$ जोड़ें.

$4 \sin (\frac{x}{2}) = 3$

चरण 4.2.2

$4 \sin (\frac{x}{2}) = 3$ के प्रत्येक पद को $4$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1

$4 \sin (\frac{x}{2}) = 3$ के प्रत्येक पद को $4$ से विभाजित करें.

$\frac{4 \sin (\frac{x}{2})}{4} = \frac{3}{4}$

चरण 4.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.2.1

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{4 \sin (\frac{x}{2})}{4} = \frac{3}{4}$

चरण 4.2.2.2.1.2

$\sin (\frac{x}{2})$ को $1$ से विभाजित करें.

$\sin (\frac{x}{2}) = \frac{3}{4}$

चरण 4.2.3

$\frac{x}{2} = \arcsin (\frac{3}{4})$

चरण 4.2.4

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.4.1

$\arcsin (\frac{3}{4})$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{x}{2} = 0.84806207$

चरण 4.2.5

समीकरण के दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करें.

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot 0.84806207$

चरण 4.2.6

समीकरण के दोनों पक्षों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.6.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.6.1.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.6.1.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot 0.84806207$

चरण 4.2.6.1.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x = 2 \cdot 0.84806207$

चरण 4.2.6.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.6.2.1

$2$ को $0.84806207$ से गुणा करें.

$x = 1.69612415$

चरण 4.2.7

$\frac{x}{2} = (3.14159265) - 0.84806207$

चरण 4.2.8

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.8.1

समीकरण के दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करें.

$2 \frac{x}{2} = 2 ((3.14159265) - 0.84806207)$

चरण 4.2.8.2

समीकरण के दोनों पक्षों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.8.2.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.8.2.1.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.8.2.1.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \frac{x}{2} = 2 ((3.14159265) - 0.84806207)$

चरण 4.2.8.2.1.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x = 2 ((3.14159265) - 0.84806207)$

चरण 4.2.8.2.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.8.2.2.1

$2 ((3.14159265) - 0.84806207)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.8.2.2.1.1

$3.14159265$ में से $0.84806207$ घटाएं.

$x = 2 \cdot 2.29353057$

चरण 4.2.8.2.2.1.2

$2$ को $2.29353057$ से गुणा करें.

$x = 4.58706114$

चरण 4.2.9

$\sin (\frac{x}{2})$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.9.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{2 π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{2 π}{| b |}$

चरण 4.2.9.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $\frac{1}{2}$ से बदलें.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

चरण 4.2.9.3

$\frac{1}{2}$ लगभग $0.5$ है जो सकारात्मक है इसलिए निरपेक्ष मान हटा दें

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

चरण 4.2.9.4

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$2 π \cdot 2$

चरण 4.2.9.5

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$4 π$

चरण 4.2.10

$x = 1.69612415 + 4 π n, 4.58706114 + 4 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 5

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(2 \sin (\frac{x}{2}) - 1) (4 \sin (\frac{x}{2}) - 3) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = \frac{π}{3} + 4 π n, \frac{5 π}{3} + 4 π n, 1.69612415 + 4 π n, 4.58706114 + 4 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए