ट्रिगोनोमेट्री उदाहरण

$8 \cos^{2} (2 x) + 7 \cos (2 x) - 1 = 0$

चरण 1

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लीजिए $u = \cos (2 x)$ . $\cos (2 x)$ की सभी घटनाओं के लिए $u$ को प्रतिस्थापित करें.

$8 u^{2} + 7 u - 1 = 0$

चरण 1.2

वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

फॉर्म $a x^{2} + b x + c$ के बहुपद के लिए, मध्य पद को दो पदों के योग के रूप में फिर से लिखें, जिसका गुणनफल $a \cdot c = 8 \cdot - 1 = - 8$ है और जिसका योग $b = 7$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1.1

$7 u$ में से $7$ का गुणनखंड करें.

$8 u^{2} + 7 (u) - 1 = 0$

चरण 1.2.1.2

$7$ को $- 1$ जोड़ $8$ के रूप में फिर से लिखें

$8 u^{2} + (- 1 + 8) u - 1 = 0$

चरण 1.2.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$8 u^{2} - 1 u + 8 u - 1 = 0$

चरण 1.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$(8 u^{2} - 1 u) + 8 u - 1 = 0$

चरण 1.2.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$u (8 u - 1) + 1 (8 u - 1) = 0$

चरण 1.2.3

महत्तम समापवर्तक, $8 u - 1$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$(8 u - 1) (u + 1) = 0$

चरण 1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\cos (2 x)$ से बदलें.

$(8 \cos (2 x) - 1) (\cos (2 x) + 1) = 0$

चरण 2

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$8 \cos (2 x) - 1 = 0$

$\cos (2 x) + 1 = 0$

चरण 3

$8 \cos (2 x) - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$8 \cos (2 x) - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$8 \cos (2 x) - 1 = 0$

चरण 3.2

$x$ के लिए $8 \cos (2 x) - 1 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$8 \cos (2 x) = 1$

चरण 3.2.2

$8 \cos (2 x) = 1$ के प्रत्येक पद को $8$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

$8 \cos (2 x) = 1$ के प्रत्येक पद को $8$ से विभाजित करें.

$\frac{8 \cos (2 x)}{8} = \frac{1}{8}$

चरण 3.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.2.1

$8$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{8 \cos (2 x)}{8} = \frac{1}{8}$

चरण 3.2.2.2.1.2

$\cos (2 x)$ को $1$ से विभाजित करें.

$\cos (2 x) = \frac{1}{8}$

चरण 3.2.3

कोज्या के अंदर से $x$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम कोज्या लें.

$2 x = \arccos (\frac{1}{8})$

चरण 3.2.4

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.4.1

$\arccos (\frac{1}{8})$ का मान ज्ञात करें.

$2 x = 1.44546849$

चरण 3.2.5

$2 x = 1.44546849$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.5.1

$2 x = 1.44546849$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1.44546849}{2}$

चरण 3.2.5.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.5.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.5.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1.44546849}{2}$

चरण 3.2.5.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{1.44546849}{2}$

चरण 3.2.5.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.5.3.1

$1.44546849$ को $2$ से विभाजित करें.

$x = 0.72273424$

चरण 3.2.6

पहले और चौथे चतुर्थांश में कोज्या फलन धनात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, चौथे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए संदर्भ कोण को $2 π$ से घटाएं.

$2 x = 2 (3.14159265) - 1.44546849$

चरण 3.2.7

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.7.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.7.1.1

$2$ को $3.14159265$ से गुणा करें.

$2 x = 6.2831853 - 1.44546849$

चरण 3.2.7.1.2

$6.2831853$ में से $1.44546849$ घटाएं.

$2 x = 4.83771681$

चरण 3.2.7.2

$2 x = 4.83771681$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.7.2.1

$2 x = 4.83771681$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{4.83771681}{2}$

चरण 3.2.7.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.7.2.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.7.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{4.83771681}{2}$

चरण 3.2.7.2.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{4.83771681}{2}$

चरण 3.2.7.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.7.2.3.1

$4.83771681$ को $2$ से विभाजित करें.

$x = 2.4188584$

चरण 3.2.8

$\cos (2 x)$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.8.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{2 π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{2 π}{| b |}$

चरण 3.2.8.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $2$ से बदलें.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

चरण 3.2.8.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $2$ के बीच की दूरी $2$ है.

$\frac{2 π}{2}$

चरण 3.2.8.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.8.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 π}{2}$

चरण 3.2.8.4.2

$π$ को $1$ से विभाजित करें.

$π$

चरण 3.2.9

$\cos (2 x)$ फलन की अवधि $π$ है, इसलिए मान प्रत्येक $π$ रेडियन को दोनों दिशाओं में दोहराएंगे.

$x = 0.72273424 + π n, 2.4188584 + π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 4

$\cos (2 x) + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$\cos (2 x) + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$\cos (2 x) + 1 = 0$

चरण 4.2

$x$ के लिए $\cos (2 x) + 1 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$\cos (2 x) = - 1$

चरण 4.2.2

$2 x = \arccos (- 1)$

चरण 4.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.3.1

$\arccos (- 1)$ का सटीक मान $π$ है.

$2 x = π$

चरण 4.2.4

$2 x = π$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.4.1

$2 x = π$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

चरण 4.2.4.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.4.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.4.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

चरण 4.2.4.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{π}{2}$

चरण 4.2.5

दूसरे और तीसरे चतुर्थांश में कोज्या फलन ऋणात्मक होता है. दूसरा हल ज्ञात करने के लिए, तीसरे चतुर्थांश में हल ज्ञात करने के लिए संदर्भ कोण को $2 π$ से घटाएं.

$2 x = 2 π - π$

चरण 4.2.6

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.6.1

$2 π$ में से $π$ घटाएं.

$2 x = π$

चरण 4.2.6.2

$2 x = π$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.6.2.1

$2 x = π$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

चरण 4.2.6.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.6.2.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.6.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

चरण 4.2.6.2.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{π}{2}$

चरण 4.2.7

$\cos (2 x)$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.7.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{2 π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{2 π}{| b |}$

चरण 4.2.7.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $2$ से बदलें.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

चरण 4.2.7.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $2$ के बीच की दूरी $2$ है.

$\frac{2 π}{2}$

चरण 4.2.7.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.7.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 π}{2}$

चरण 4.2.7.4.2

$π$ को $1$ से विभाजित करें.

$π$

चरण 4.2.8

$x = \frac{π}{2} + π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 5

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(8 \cos (2 x) - 1) (\cos (2 x) + 1) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 0.72273424 + π n, 2.4188584 + π n, \frac{π}{2} + π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए