ट्रिगोनोमेट्री उदाहरण

$\frac{4 \sin (x)}{1 - \sin^{2} (x)} = \frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)}$

चरण 1

प्रत्येक पद का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{4 \sin (x)}{1^{2} - \sin^{2} (x)} = \frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)}$

चरण 1.2

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = 1$ और $b = \sin (x)$ .

$\frac{4 \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} = \frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)}$

चरण 2

समीकरण के पदों का LCD पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

मान की एक सूची के LCD को पता करना उन मान के भाजक के LCM को पता करने के समान है.

$(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)), 1 - \sin (x), 1 + \sin (x)$

चरण 2.2

LCM (लघुत्तम समापवर्तक) सबसे छोटी धनात्मक संख्या है जिसे सभी संख्याएँ समान रूप से विभाजित करती हैं.

1. प्रत्येक संख्या के अभाज्य गुणनखंडों की सूची बनाइए.

2. प्रत्येक गुणनखंड को किसी भी संख्या में जितनी बार आता है उतनी बार गुणा करें.

चरण 2.3

संख्या $1$ एक अभाज्य संख्या नहीं है क्योंकि इसका केवल एक धनात्मक गुणनखंड है, जो स्वयं है.

अभाज्य संख्या नहीं

चरण 2.4

$1, 1, 1$ का LCM (लघुत्तम समापवर्तक) सभी अभाज्य गुणन खंड में से किसी एक संख्या में आने वाली सबसे बड़ी संख्या को गुणा करने का परिणाम है.

$1$

चरण 2.5

$1 + \sin (x)$ का गुणनखंड $1 + \sin (x)$ ही है.

$(1 + \sin (x)) = 1 + \sin (x)$

$(1 + \sin (x))$ $1$ बार आता है.

चरण 2.6

$1 - \sin (x)$ का गुणनखंड $1 - \sin (x)$ ही है.

$(1 - \sin (x)) = 1 - \sin (x)$

$(1 - \sin (x))$ $1$ बार आता है.

चरण 2.7

$1 + \sin (x)$ का गुणनखंड $1 + \sin (x)$ ही है.

$(1 + \sin (x)) = 1 + \sin (x)$

$(1 + \sin (x))$ $1$ बार आता है.

चरण 2.8

$1 + \sin (x), 1 - \sin (x), 1 - \sin (x), 1 + \sin (x)$ का LCM (न्यूनतम सामान्य गुणक) सभी गुणनखंडों को किसी भी पद में सबसे बड़ी संख्या में गुणा करने का परिणाम है.

$(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$

चरण 3

भिन्नों को हटाने के लिए $\frac{4 \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} = \frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)}$ के प्रत्येक पद को $(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{4 \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} = \frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)}$ के प्रत्येक पद को $(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ से गुणा करें.

$\frac{4 \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))) = \frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))) + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

चरण 3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

चरण 3.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$4 \sin (x) = \frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))) + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

चरण 3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.1

$1 - \sin (x)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.1.1

$(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ में से $1 - \sin (x)$ का गुणनखंड करें.

$4 \sin (x) = \frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} ((1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))) + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

चरण 3.3.1.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$4 \sin (x) = \frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} ((1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))) + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

चरण 3.3.1.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$4 \sin (x) = (1 + \sin (x)) (1 + \sin (x)) + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

चरण 3.3.1.2

$1 + \sin (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{1} (1 + \sin (x)) + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

चरण 3.3.1.3

$1 + \sin (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{1} {(1 + \sin (x))}^{1} + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

चरण 3.3.1.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{1 + 1} + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

चरण 3.3.1.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{2} + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

चरण 3.3.1.6

$1 + \sin (x)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.6.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{2} + \frac{\sin (x) - 1}{1 + \sin (x)} ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

चरण 3.3.1.6.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{2} + (\sin (x) - 1) (1 - \sin (x))$

चरण 3.3.1.7

$\sin (x)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{2} + (- 1 (- \sin (x)) - 1) (1 - \sin (x))$

चरण 3.3.1.8

$- 1$ को $- 1 (1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{2} + (- 1 (- \sin (x)) - 1 (1)) (1 - \sin (x))$

चरण 3.3.1.9

$- 1 (- \sin (x)) - 1 (1)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{2} - 1 (- \sin (x) + 1) (1 - \sin (x))$

चरण 3.3.1.10

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{2} - 1 (- \sin (x) + 1) (- \sin (x) + 1)$

चरण 3.3.1.11

$- \sin (x) + 1$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{2} - 1 ({(- \sin (x) + 1)}^{1} (- \sin (x) + 1))$

चरण 3.3.1.12

$- \sin (x) + 1$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{2} - 1 ({(- \sin (x) + 1)}^{1} {(- \sin (x) + 1)}^{1})$

चरण 3.3.1.13

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{2} - 1 {(- \sin (x) + 1)}^{1 + 1}$

चरण 3.3.1.14

$1$ और $1$ जोड़ें.

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{2} - 1 {(- \sin (x) + 1)}^{2}$

चरण 3.3.1.15

$- 1 {(- \sin (x) + 1)}^{2}$ को $- {(- \sin (x) + 1)}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$4 \sin (x) = {(1 + \sin (x))}^{2} - {(- \sin (x) + 1)}^{2}$

चरण 4

समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

चूंकि $\sin (x)$ समीकरण के दाएं पक्ष की ओर है, पक्षों को स्विच करें ताकि यह समीकरण के बाएं पक्ष की ओर हो.

${(1 + \sin (x))}^{2} - {(- \sin (x) + 1)}^{2} = 4 \sin (x)$

चरण 4.2

$\sin (x)$ वाले सभी पदों को समीकरण के बाईं ओर ले जाएँ.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $4 \sin (x)$ घटाएं.

${(1 + \sin (x))}^{2} - {(- \sin (x) + 1)}^{2} - 4 \sin (x) = 0$

चरण 4.2.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1

${(1 + \sin (x))}^{2}$ को $(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))$ के रूप में फिर से लिखें.

$(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x)) - {(- \sin (x) + 1)}^{2} - 4 \sin (x) = 0$

चरण 4.2.2.2

FOIL विधि का उपयोग करके $(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$1 (1 + \sin (x)) + \sin (x) (1 + \sin (x)) - {(- \sin (x) + 1)}^{2} - 4 \sin (x) = 0$

चरण 4.2.2.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) (1 + \sin (x)) - {(- \sin (x) + 1)}^{2} - 4 \sin (x) = 0$

चरण 4.2.2.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x) - {(- \sin (x) + 1)}^{2} - 4 \sin (x) = 0$

चरण 4.2.2.3

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.3.1.1

$1$ को $1$ से गुणा करें.

$1 + 1 \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x) - {(- \sin (x) + 1)}^{2} - 4 \sin (x) = 0$

चरण 4.2.2.3.1.2

$\sin (x)$ को $1$ से गुणा करें.

$1 + \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x) - {(- \sin (x) + 1)}^{2} - 4 \sin (x) = 0$

चरण 4.2.2.3.1.3

$\sin (x)$ को $1$ से गुणा करें.

$1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) \sin (x) - {(- \sin (x) + 1)}^{2} - 4 \sin (x) = 0$

चरण 4.2.2.3.1.4

$\sin (x)$ को $\sin (x)$ से गुणा करें.

$1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{2} (x) - {(- \sin (x) + 1)}^{2} - 4 \sin (x) = 0$

चरण 4.2.2.3.2

$\sin (x)$ और $\sin (x)$ जोड़ें.

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - {(- \sin (x) + 1)}^{2} - 4 \sin (x) = 0$

चरण 4.2.2.4

${(- \sin (x) + 1)}^{2}$ को $(- \sin (x) + 1) (- \sin (x) + 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - ((- \sin (x) + 1) (- \sin (x) + 1)) - 4 \sin (x) = 0$

चरण 4.2.2.5

FOIL विधि का उपयोग करके $(- \sin (x) + 1) (- \sin (x) + 1)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.5.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - (- \sin (x) (- \sin (x) + 1) + 1 (- \sin (x) + 1)) - 4 \sin (x) = 0$

चरण 4.2.2.5.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - (- \sin (x) (- \sin (x)) - \sin (x) \cdot 1 + 1 (- \sin (x) + 1)) - 4 \sin (x) = 0$

चरण 4.2.2.5.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - (- \sin (x) (- \sin (x)) - \sin (x) \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + 1 \cdot 1) - 4 \sin (x) = 0$

चरण 4.2.2.6

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.6.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.6.1.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - (- 1 \cdot - 1 \sin (x) \sin (x) - \sin (x) \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + 1 \cdot 1) - 4 \sin (x) = 0$

चरण 4.2.2.6.1.2

घातांक जोड़कर $\sin (x)$ को $\sin (x)$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.6.1.2.1

$\sin (x)$ ले जाएं.

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - (- 1 \cdot - 1 (\sin (x) \sin (x)) - \sin (x) \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + 1 \cdot 1) - 4 \sin (x) = 0$

चरण 4.2.2.6.1.2.2

$\sin (x)$ को $\sin (x)$ से गुणा करें.

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - (- 1 \cdot - 1 \sin^{2} (x) - \sin (x) \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + 1 \cdot 1) - 4 \sin (x) = 0$

चरण 4.2.2.6.1.3

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - (1 \sin^{2} (x) - \sin (x) \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + 1 \cdot 1) - 4 \sin (x) = 0$

चरण 4.2.2.6.1.4

$\sin^{2} (x)$ को $1$ से गुणा करें.

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - (\sin^{2} (x) - \sin (x) \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + 1 \cdot 1) - 4 \sin (x) = 0$

चरण 4.2.2.6.1.5

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - (\sin^{2} (x) - \sin (x) + 1 (- \sin (x)) + 1 \cdot 1) - 4 \sin (x) = 0$

चरण 4.2.2.6.1.6

$- \sin (x)$ को $1$ से गुणा करें.

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - (\sin^{2} (x) - \sin (x) - \sin (x) + 1 \cdot 1) - 4 \sin (x) = 0$

चरण 4.2.2.6.1.7

$1$ को $1$ से गुणा करें.

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - (\sin^{2} (x) - \sin (x) - \sin (x) + 1) - 4 \sin (x) = 0$

चरण 4.2.2.6.2

$- \sin (x)$ में से $\sin (x)$ घटाएं.

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - (\sin^{2} (x) - 2 \sin (x) + 1) - 4 \sin (x) = 0$

चरण 4.2.2.7

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) - (- 2 \sin (x)) - 1 \cdot 1 - 4 \sin (x) = 0$

चरण 4.2.2.8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.8.1

$- 2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) - 1 \cdot 1 - 4 \sin (x) = 0$

चरण 4.2.2.8.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) - 1 - 4 \sin (x) = 0$

चरण 4.2.3

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) - 1 - 4 \sin (x)$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.3.1

$\sin^{2} (x)$ में से $\sin^{2} (x)$ घटाएं.

$1 + 2 \sin (x) + 0 + 2 \sin (x) - 1 - 4 \sin (x) = 0$

चरण 4.2.3.2

$1 + 2 \sin (x)$ और $0$ जोड़ें.

$1 + 2 \sin (x) + 2 \sin (x) - 1 - 4 \sin (x) = 0$

चरण 4.2.3.3

$1$ में से $1$ घटाएं.

$2 \sin (x) + 2 \sin (x) + 0 - 4 \sin (x) = 0$

चरण 4.2.3.4

$2 \sin (x) + 2 \sin (x)$ और $0$ जोड़ें.

$2 \sin (x) + 2 \sin (x) - 4 \sin (x) = 0$

चरण 4.2.4

$2 \sin (x)$ और $2 \sin (x)$ जोड़ें.

$4 \sin (x) - 4 \sin (x) = 0$

चरण 4.2.5

$4 \sin (x)$ में से $4 \sin (x)$ घटाएं.

$0 = 0$

चरण 4.3

चूंकि $0 = 0$ , $x$ के किसी भी मान के लिए समीकरण हमेशा सत्य होगा.

सभी वास्तविक संख्या

चरण 5

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सभी वास्तविक संख्या

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, \infty)$