ट्रिगोनोमेट्री उदाहरण

$x = y^{2} - 8 y$

चरण 1

समीकरण को $y^{2} - 8 y = x$ के रूप में फिर से लिखें.

$y^{2} - 8 y = x$

चरण 2

समीकरण के दोनों पक्षों से $x$ घटाएं.

$y^{2} - 8 y - x = 0$

चरण 3

हल पता करने के लिए द्विघात सूत्र का प्रयोग करें.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

चरण 4

द्विघात सूत्र में $a = 1$ , $b = - 8$ और $c = - x$ मानों को प्रतिस्थापित करें और $y$ के लिए हल करें.

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x))}}{2 \cdot 1}$

चरण 5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

$- 8$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

चरण 5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.2.1

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

चरण 5.1.2.2

$- 4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

चरण 5.1.3

$64 + 4 x$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.3.1

$64$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 \cdot 16 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

चरण 5.1.3.2

$4 \cdot 16 + 4 x$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 (16 + x)}}{2 \cdot 1}$

चरण 5.1.4

$4 (16 + x)$ को $2^{2} (4^{2} + x)$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.4.1

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (16 + x)}}{2 \cdot 1}$

चरण 5.1.4.2

$16$ को $4^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (4^{2} + x)}}{2 \cdot 1}$

चरण 5.1.5

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{4^{2} + x}}{2 \cdot 1}$

चरण 5.1.6

$4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{16 + x}}{2 \cdot 1}$

चरण 5.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{16 + x}}{2}$

चरण 5.3

$\frac{8 \pm 2 \sqrt{16 + x}}{2}$ को सरल करें.

$y = 4 \pm \sqrt{16 + x}$

चरण 6

$\pm$ के $+$ भाग को हल करने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

$- 8$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

चरण 6.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.2.1

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

चरण 6.1.2.2

$- 4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

चरण 6.1.3

$64 + 4 x$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.3.1

$64$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 \cdot 16 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

चरण 6.1.3.2

$4 \cdot 16 + 4 x$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 (16 + x)}}{2 \cdot 1}$

चरण 6.1.4

$4 (16 + x)$ को $2^{2} (4^{2} + x)$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.4.1

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (16 + x)}}{2 \cdot 1}$

चरण 6.1.4.2

$16$ को $4^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (4^{2} + x)}}{2 \cdot 1}$

चरण 6.1.5

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{4^{2} + x}}{2 \cdot 1}$

चरण 6.1.6

$4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{16 + x}}{2 \cdot 1}$

चरण 6.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{16 + x}}{2}$

चरण 6.3

$\frac{8 \pm 2 \sqrt{16 + x}}{2}$ को सरल करें.

$y = 4 \pm \sqrt{16 + x}$

चरण 6.4

$\pm$ को $+$ में बदलें.

$y = 4 + \sqrt{16 + x}$

चरण 7

$\pm$ के $-$ भाग को हल करने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1

$- 8$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.2.1

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.1.2.2

$- 4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.1.3

$64 + 4 x$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.3.1

$64$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 \cdot 16 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.1.3.2

$4 \cdot 16 + 4 x$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 (16 + x)}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.1.4

$4 (16 + x)$ को $2^{2} (4^{2} + x)$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.4.1

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (16 + x)}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.1.4.2

$16$ को $4^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} (4^{2} + x)}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.1.5

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{4^{2} + x}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.1.6

$4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{16 + x}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{16 + x}}{2}$

चरण 7.3

$\frac{8 \pm 2 \sqrt{16 + x}}{2}$ को सरल करें.

$y = 4 \pm \sqrt{16 + x}$

चरण 7.4

$\pm$ को $-$ में बदलें.

$y = 4 - \sqrt{16 + x}$

चरण 8

अंतिम उत्तर दोनों हलों का संयोजन है.

$y = 4 + \sqrt{16 + x}$

$y = 4 - \sqrt{16 + x}$

चरण 9

चर को अदला-बदली करें. प्रत्येक व्यंजक के लिए एक समीकरण बनाएंँ.

$x = 4 + \sqrt{16 + y}, x = 4 - \sqrt{16 + y}$

चरण 10

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

समीकरण को $4 + \sqrt{16 + y} = x$ के रूप में फिर से लिखें.

$4 + \sqrt{16 + y} = x$

चरण 10.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $4$ घटाएं.

$\sqrt{16 + y} = x - 4$

चरण 10.3

समीकरण के बाईं पक्ष की ओर मूलांक निकालने के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करें.

${\sqrt{16 + y}}^{2} = {(x - 4)}^{2}$

चरण 10.4

समीकरण के प्रत्येक पक्ष को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.4.1

$\sqrt{16 + y}$ को ${(16 + y)}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

${({(16 + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 4)}^{2}$

चरण 10.4.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.4.2.1

${({(16 + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.4.2.1.1

घातांक को ${({(16 + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.4.2.1.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(16 + y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 4)}^{2}$

चरण 10.4.2.1.1.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.4.2.1.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

${(16 + y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 4)}^{2}$

चरण 10.4.2.1.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

${(16 + y)}^{1} = {(x - 4)}^{2}$

चरण 10.4.2.1.2

सरल करें.

$16 + y = {(x - 4)}^{2}$

चरण 10.4.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.4.3.1

${(x - 4)}^{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.4.3.1.1

${(x - 4)}^{2}$ को $(x - 4) (x - 4)$ के रूप में फिर से लिखें.

$16 + y = (x - 4) (x - 4)$

चरण 10.4.3.1.2

FOIL विधि का उपयोग करके $(x - 4) (x - 4)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.4.3.1.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$16 + y = x (x - 4) - 4 (x - 4)$

चरण 10.4.3.1.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$16 + y = x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4)$

चरण 10.4.3.1.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$16 + y = x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4$

चरण 10.4.3.1.3

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.4.3.1.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.4.3.1.3.1.1

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$16 + y = x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4$

चरण 10.4.3.1.3.1.2

$- 4$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$16 + y = x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4$

चरण 10.4.3.1.3.1.3

$- 4$ को $- 4$ से गुणा करें.

$16 + y = x^{2} - 4 x - 4 x + 16$

चरण 10.4.3.1.3.2

$- 4 x$ में से $4 x$ घटाएं.

$16 + y = x^{2} - 8 x + 16$

चरण 10.5

$y$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.5.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $16$ घटाएं.

$y = x^{2} - 8 x + 16 - 16$

चरण 10.5.2

$x^{2} - 8 x + 16 - 16$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.5.2.1

$16$ में से $16$ घटाएं.

$y = x^{2} - 8 x + 0$

चरण 10.5.2.2

$x^{2} - 8 x$ और $0$ जोड़ें.

$y = x^{2} - 8 x$

चरण 11

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 8 x$

चरण 12

सत्यापित करें कि क्या $f^{- 1} (x) = x^{2} - 8 x$ , $f (x) = 4 + \sqrt{16 + x}, 4 - \sqrt{16 + x}$ का व्युत्क्रम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

व्युत्क्रम का डोमेन मूल फंक्शन का परास और इसके विपरीत है. $f (x) = 4 + \sqrt{16 + x}, 4 - \sqrt{16 + x}$ और $f^{- 1} (x) = x^{2} - 8 x$ का डोमेन और परास ज्ञात करें और उनकी तुलना करें.

चरण 12.2

$f (x) = 4 + \sqrt{16 + x}, 4 - \sqrt{16 + x}$ की सीमा ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.1

$4 + \sqrt{16 + x}$ की सीमा ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.1.1

श्रेणी सभी मान्य $y$ मानों का सेट है. परिसर पता करने के लिए ग्राफ का प्रयोग करें.

मध्यवर्ती संकेतन:

$[4, \infty)$

चरण 12.2.2

$4 - \sqrt{16 + x}$ की सीमा ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.2.1

श्रेणी सभी मान्य $y$ मानों का सेट है. परिसर पता करने के लिए ग्राफ का प्रयोग करें.

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, 4]$

चरण 12.2.3

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.3.1

संघ में वे सभी अवयव होते हैं जो प्रत्येक अंतराल में निहित होते हैं.

$(- \infty, \infty)$

चरण 12.3

$4 + \sqrt{16 + x}$ का डोमेन ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.1

रेडिकैंड को $\sqrt{16 + x}$ में $0$ से बड़ा या उसके बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां परिभाषित किया गया है.

$16 + x \geq 0$

चरण 12.3.2

असमानता के दोनों पक्षों से $16$ घटाएं.

$x \geq - 16$

चरण 12.3.3

डोमेन $x$ के सभी मान हैं जो व्यंजक को परिभाषित करते हैं.

$[- 16, \infty)$

चरण 12.4

चूँकि $f^{- 1} (x) = x^{2} - 8 x$ का डोमेन $f (x) = 4 + \sqrt{16 + x}, 4 - \sqrt{16 + x}$ का परास है और $f^{- 1} (x) = x^{2} - 8 x$ का डोमेन $f (x) = 4 + \sqrt{16 + x}, 4 - \sqrt{16 + x}$ का डोमेन है, तो $f^{- 1} (x) = x^{2} - 8 x$ , $f (x) = 4 + \sqrt{16 + x}, 4 - \sqrt{16 + x}$ का व्युत्क्रम है.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 8 x$

चरण 13