ट्रिगोनोमेट्री उदाहरण

$f (x) = 3 x^{3} - 33 x^{2} + 60 x + 96$

चरण 1

$3 x^{3} - 33 x^{2} + 60 x + 96$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

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चरण 1.1

$3 x^{3}$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$f (x) = 3 (x^{3}) - 33 x^{2} + 60 x + 96$

चरण 1.2

$- 33 x^{2}$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$f (x) = 3 (x^{3}) + 3 (- 11 x^{2}) + 60 x + 96$

चरण 1.3

$60 x$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$f (x) = 3 (x^{3}) + 3 (- 11 x^{2}) + 3 (20 x) + 96$

चरण 1.4

$96$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$f (x) = 3 x^{3} + 3 (- 11 x^{2}) + 3 (20 x) + 3 \cdot 32$

चरण 1.5

$3 x^{3} + 3 (- 11 x^{2})$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$f (x) = 3 (x^{3} - 11 x^{2}) + 3 (20 x) + 3 \cdot 32$

चरण 1.6

$3 (x^{3} - 11 x^{2}) + 3 (20 x)$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$f (x) = 3 (x^{3} - 11 x^{2} + 20 x) + 3 \cdot 32$

चरण 1.7

$3 (x^{3} - 11 x^{2} + 20 x) + 3 \cdot 32$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$f (x) = 3 (x^{3} - 11 x^{2} + 20 x + 32)$

चरण 2

परिमेय मूल परीक्षण का उपयोग करते हुए गुणनखंड $x^{3} - 11 x^{2} + 20 x + 32$ है.

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चरण 2.1

यदि एक बहुपद फलन में पूर्णांक गुणांक होते हैं, तो प्रत्येक परिमेय शून्य का रूप $\frac{p}{q}$ होगा, जहां $p$ स्थिरांक का एक गुणनखंड है और $q$ प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.

$p = \pm 1, \pm 32, \pm 2, \pm 16, \pm 4, \pm 8$

$q = \pm 1$

चरण 2.2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm 32, \pm 2, \pm 16, \pm 4, \pm 8$

चरण 2.3

$- 1$ को प्रतिस्थापित करें और व्यंजक को सरल करें. इस स्थिति में, व्यंजक $0$ के बराबर है, इसलिए $- 1$ बहुपद का मूल है.

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चरण 2.3.1

$- 1$ को बहुपद में प्रतिस्थापित करें.

${(- 1)}^{3} - 11 {(- 1)}^{2} + 20 \cdot - 1 + 32$

चरण 2.3.2

$- 1$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 1 - 11 {(- 1)}^{2} + 20 \cdot - 1 + 32$

चरण 2.3.3

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 1 - 11 \cdot 1 + 20 \cdot - 1 + 32$

चरण 2.3.4

$- 11$ को $1$ से गुणा करें.

$- 1 - 11 + 20 \cdot - 1 + 32$

चरण 2.3.5

$- 1$ में से $11$ घटाएं.

$- 12 + 20 \cdot - 1 + 32$

चरण 2.3.6

$20$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 12 - 20 + 32$

चरण 2.3.7

$- 12$ में से $20$ घटाएं.

$- 32 + 32$

चरण 2.3.8

$- 32$ और $32$ जोड़ें.

$0$

चरण 2.4

चूँकि $- 1$ एक ज्ञात मूल है, बहुपद को $x + 1$ से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.

$\frac{x^{3} - 11 x^{2} + 20 x + 32}{x + 1}$

चरण 2.5

$x^{3} - 11 x^{2} + 20 x + 32$ को $x + 1$ से विभाजित करें.

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चरण 2.5.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$x$

$1$

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$20 x$

$32$

चरण 2.5.2

भाज्य $x^{3}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$

चरण 2.5.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

चरण 2.5.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $x^{3} + x^{2}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

चरण 2.5.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$

चरण 2.5.6

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$20 x$

चरण 2.5.7

भाज्य $- 12 x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	-	$12 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$20 x$

चरण 2.5.8

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	-	$12 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$20 x$
					-	$12 x^{2}$	-	$12 x$

चरण 2.5.9

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- 12 x^{2} - 12 x$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	-	$12 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$20 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$12 x$

चरण 2.5.10

				$x^{2}$	-	$12 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$20 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$32 x$

चरण 2.5.11

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$	-	$12 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$20 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$32 x$	+	$32$

चरण 2.5.12

भाज्य $32 x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	-	$12 x$	+	$32$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$20 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$32 x$	+	$32$

चरण 2.5.13

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	-	$12 x$	+	$32$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$20 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$32 x$	+	$32$
							+	$32 x$	+	$32$

चरण 2.5.14

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $32 x + 32$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	-	$12 x$	+	$32$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$20 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$32 x$	+	$32$
							-	$32 x$	-	$32$

चरण 2.5.15

				$x^{2}$	-	$12 x$	+	$32$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$20 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$20 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$32 x$	+	$32$
							-	$32 x$	-	$32$
										$0$

चरण 2.5.16

चूंकि रिमांडर $0$ है, इसलिए अंतिम उत्तर भागफल है.

$x^{2} - 12 x + 32$

चरण 2.6

गुणनखंडों के एक सेट के रूप में $x^{3} - 11 x^{2} + 20 x + 32$ लिखें.

$f (x) = 3 ((x + 1) (x^{2} - 12 x + 32))$

चरण 3

गुणनखंड करें.

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चरण 3.1

AC विधि का उपयोग करके $x^{2} - 12 x + 32$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

AC विधि का उपयोग करके $x^{2} - 12 x + 32$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1.1

$x^{2} + b x + c$ के स्वरूप पर विचार करें. पूर्णांकों का एक ऐसा युग्म ज्ञात कीजिए जिसका गुणनफल $c$ है और जिसका योग $b$ है और इस स्थिति में जिसका गुणनफल $32$ है और जिसका योग $- 12$ है.

$- 8, - 4$

चरण 3.1.1.2

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$f (x) = 3 ((x + 1) ((x - 8) (x - 4)))$

चरण 3.1.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$f (x) = 3 ((x + 1) (x - 8) (x - 4))$

चरण 3.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$f (x) = 3 (x + 1) (x - 8) (x - 4)$