ट्रिगोनोमेट्री उदाहरण

$\frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)} - \frac{\csc (x)}{1 - \csc (x)} = 2 \sec^{2} (x)$

चरण 1

बाईं ओर से शुरू करें.

$\frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)} - \frac{\csc (x)}{1 - \csc (x)}$

चरण 2

भिन्नों को घटाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{1 - \csc (x)}{1 - \csc (x)}$ से गुणा करें.

$\frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)} \cdot \frac{1 - \csc (x)}{1 - \csc (x)} - \frac{\csc (x)}{1 - \csc (x)}$

चरण 2.2

$- \frac{\csc (x)}{1 - \csc (x)}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{1 + \csc (x)}{1 + \csc (x)}$ से गुणा करें.

$\frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)} \cdot \frac{1 - \csc (x)}{1 - \csc (x)} - \frac{\csc (x)}{1 - \csc (x)} \cdot \frac{1 + \csc (x)}{1 + \csc (x)}$

चरण 2.3

प्रत्येक व्यंजक को $(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$\frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)}$ को $\frac{1 - \csc (x)}{1 - \csc (x)}$ से गुणा करें.

$\frac{\csc (x) (1 - \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))} - \frac{\csc (x)}{1 - \csc (x)} \cdot \frac{1 + \csc (x)}{1 + \csc (x)}$

चरण 2.3.2

$\frac{\csc (x)}{1 - \csc (x)}$ को $\frac{1 + \csc (x)}{1 + \csc (x)}$ से गुणा करें.

$\frac{\csc (x) (1 - \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))} - \frac{\csc (x) (1 + \csc (x))}{(1 - \csc (x)) (1 + \csc (x))}$

चरण 2.3.3

$(1 - \csc (x)) (1 + \csc (x))$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$\frac{\csc (x) (1 - \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))} - \frac{\csc (x) (1 + \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

चरण 2.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{\csc (x) (1 - \csc (x)) - \csc (x) (1 + \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

चरण 3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{\csc (x) \cdot 1 + \csc (x) (- \csc (x)) - \csc (x) (1 + \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

चरण 3.1.2

$\csc (x)$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\csc (x) + \csc (x) (- \csc (x)) - \csc (x) (1 + \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

चरण 3.1.3

$\csc (x) (- \csc (x))$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.3.1

$\csc (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{\csc (x) - ({\csc (x)}^{1} \csc (x)) - \csc (x) (1 + \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

चरण 3.1.3.2

$\csc (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{\csc (x) - ({\csc (x)}^{1} {\csc (x)}^{1}) - \csc (x) (1 + \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

चरण 3.1.3.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{\csc (x) - {\csc (x)}^{1 + 1} - \csc (x) (1 + \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

चरण 3.1.3.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{\csc (x) - {\csc (x)}^{2} - \csc (x) (1 + \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

चरण 3.1.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{\csc (x) - {\csc (x)}^{2} - \csc (x) \cdot 1 - \csc (x) \csc (x)}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

चरण 3.1.5

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\csc (x) - {\csc (x)}^{2} - \csc (x) - \csc (x) \csc (x)}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

चरण 3.1.6

$- \csc (x) \csc (x)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.6.1

$\csc (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{\csc (x) - {\csc (x)}^{2} - \csc (x) - ({\csc (x)}^{1} \csc (x))}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

चरण 3.1.6.2

$\csc (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{\csc (x) - {\csc (x)}^{2} - \csc (x) - ({\csc (x)}^{1} {\csc (x)}^{1})}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

चरण 3.1.6.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{\csc (x) - {\csc (x)}^{2} - \csc (x) - {\csc (x)}^{1 + 1}}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

चरण 3.1.6.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{\csc (x) - {\csc (x)}^{2} - \csc (x) - {\csc (x)}^{2}}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

चरण 3.2

$\csc (x)$ में से $\csc (x)$ घटाएं.

$\frac{- {\csc (x)}^{2} + 0 - {\csc (x)}^{2}}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

चरण 3.3

$- {\csc (x)}^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{- {\csc (x)}^{2} - {\csc (x)}^{2}}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

चरण 3.4

$- {\csc (x)}^{2}$ में से ${\csc (x)}^{2}$ घटाएं.

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))}$

चरण 4

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

FOIL विधि का उपयोग करके $(1 + \csc (x)) (1 - \csc (x))$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{1 (1 - \csc (x)) + \csc (x) (1 - \csc (x))}$

चरण 4.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \csc (x)) + \csc (x) (1 - \csc (x))}$

चरण 4.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \csc (x)) + \csc (x) \cdot 1 + \csc (x) (- \csc (x))}$

चरण 4.2

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{1 - \csc^{2} (x)}$

चरण 5

पाइथागोरस सर्वसमिका लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$1$ और $- \csc^{2} (x)$ को पुन: क्रमित करें.

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{- \csc^{2} (x) + 1}$

चरण 5.2

$- \csc^{2} (x)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{- (\csc^{2} (x)) + 1}$

चरण 5.3

$1$ को $- 1 (- 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{- \csc^{2} (x) - 1 \cdot - 1}$

चरण 5.4

$- \csc^{2} (x) - 1 \cdot - 1$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{- (\csc^{2} (x) - 1)}$

चरण 5.5

पाइथागोरस सर्वसमिका लागू करें.

$\frac{- 2 \csc^{2} (x)}{- \cot^{2} (x)}$

चरण 6

ज्या और कोज्या में बदलें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

प्रतिलोम सर्वसमिका को $\csc (x)$ पर लागू करें.

$\frac{- 2 {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}}{- \cot^{2} (x)}$

चरण 6.2

$\cot (x)$ को ज्या और कोज्या में भागफल सर्वसमिका का उपयोग करके लिखें.

$\frac{- 2 {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}}{- {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}}$

चरण 6.3

उत्पाद नियम को $\frac{1}{\sin (x)}$ पर लागू करें.

$\frac{- 2 \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}}{- {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}}$

चरण 6.4

उत्पाद नियम को $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ पर लागू करें.

$\frac{- 2 \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}}{- \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}}$

चरण 7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$- 2 \frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

चरण 7.2

एक का कोई भी घात एक होता है.

$- 2 \frac{1}{{\sin (x)}^{2}} (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

चरण 7.3

$- 2$ और $\frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{- 2}{{\sin (x)}^{2}} (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})$

चरण 7.4

${\sin (x)}^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.1

$- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\frac{- 2}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{- {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$

चरण 7.4.2

$- {\sin (x)}^{2}$ में से ${\sin (x)}^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- 2}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{{\sin (x)}^{2} \cdot - 1}{{\cos (x)}^{2}}$

चरण 7.4.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- 2}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{{\sin (x)}^{2} \cdot - 1}{{\cos (x)}^{2}}$

चरण 7.4.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 2 \frac{- 1}{{\cos (x)}^{2}}$

चरण 7.5

$- 2$ और $\frac{- 1}{{\cos (x)}^{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{- 2 \cdot - 1}{{\cos (x)}^{2}}$

चरण 7.6

$- 2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{2}{\cos^{2} (x)}$

चरण 8

$\frac{2}{\cos^{2} (x)}$ को $2 \sec^{2} (x)$ के रूप में फिर से लिखें.

$2 \sec^{2} (x)$

चरण 9

चूँकि दोनों पक्षों को समतुल्य दिखाया गया है, समीकरण एक सर्वसमिका है.

$\frac{\csc (x)}{1 + \csc (x)} - \frac{\csc (x)}{1 - \csc (x)} = 2 \sec^{2} (x)$ एक सर्वसमिका है.