ट्रिगोनोमेट्री उदाहरण

$\cot^{2} (x) + 3 \csc (x) = - 3$

चरण 1

$\cot^{2} (x)$ को $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ पहचान के आधार पर $\csc^{2} (x) - 1$ से बदलें.

$(\csc^{2} (x) - 1) + 3 \csc (x) = - 3$

चरण 2

बहुपद को पुन: व्यवस्थित करें.

$\csc^{2} (x) + 3 \csc (x) - 1 = - 3$

चरण 3

$u$ को $\csc (x)$ से प्रतिस्थापित करें.

${(u)}^{2} + 3 (u) - 1 = - 3$

चरण 4

समीकरण के दोनों पक्षों में $3$ जोड़ें.

$u^{2} + 3 u - 1 + 3 = 0$

चरण 5

$- 1$ और $3$ जोड़ें.

$u^{2} + 3 u + 2 = 0$

चरण 6

AC विधि का उपयोग करके $u^{2} + 3 u + 2$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$x^{2} + b x + c$ के स्वरूप पर विचार करें. पूर्णांकों का एक ऐसा युग्म ज्ञात कीजिए जिसका गुणनफल $c$ है और जिसका योग $b$ है और इस स्थिति में जिसका गुणनफल $2$ है और जिसका योग $3$ है.

$1, 2$

चरण 6.2

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$(u + 1) (u + 2) = 0$

चरण 7

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$u + 1 = 0$

$u + 2 = 0$

चरण 8

$u + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $u$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$u + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$u + 1 = 0$

चरण 8.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$u = - 1$

चरण 9

$u + 2$ को $0$ के बराबर सेट करें और $u$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$u + 2$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$u + 2 = 0$

चरण 9.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $2$ घटाएं.

$u = - 2$

चरण 10

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(u + 1) (u + 2) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$u = - 1, - 2$

चरण 11

$\csc (x)$ को $u$ से प्रतिस्थापित करें.

$\csc (x) = - 1, - 2$

चरण 12

$x$ को हल करने के लिए प्रत्येक हल सेट करें.

$\csc (x) = - 1$

$\csc (x) = - 2$

चरण 13

$x$ के लिए $\csc (x) = - 1$ में हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

व्युत्क्रमज्या के अंदर से $x$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का व्युत्क्रम व्युत्क्रमज्या लें.

$x = arccsc (- 1)$

चरण 13.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.2.1

$arccsc (- 1)$ का सटीक मान $- \frac{π}{2}$ है.

$x = - \frac{π}{2}$

चरण 13.3

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

चरण 13.4

दूसरा हल निकालने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.4.1

$2 π + \frac{π}{2} + π$ में से $2 π$ घटाएं.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

चरण 13.4.2

$\frac{3 π}{2}$ का परिणामी कोण धनात्मक है, $2 π$ से कम है और $2 π + \frac{π}{2} + π$ के साथ कोटरमिनल है.

$x = \frac{3 π}{2}$

चरण 13.5

$\csc (x)$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.5.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{2 π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{2 π}{| b |}$

चरण 13.5.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $1$ से बदलें.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

चरण 13.5.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\frac{2 π}{1}$

चरण 13.5.4

$2 π$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 π$

चरण 13.6

धनात्मक कोण प्राप्त करने के लिए प्रत्येक ऋणात्मक कोण में $2 π$ जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.6.1

धनात्मक कोण ज्ञात करने के लिए $2 π$ को $- \frac{π}{2}$ में जोड़ें.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

चरण 13.6.2

$2 π$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

चरण 13.6.3

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.6.3.1

$2 π$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

चरण 13.6.3.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

चरण 13.6.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.6.4.1

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{4 π - π}{2}$

चरण 13.6.4.2

$4 π$ में से $π$ घटाएं.

$\frac{3 π}{2}$

चरण 13.6.5

नए कोणों की सूची बनाएंं.

$x = \frac{3 π}{2}$

चरण 13.7

$\csc (x)$ फलन की अवधि $2 π$ है, इसलिए मान प्रत्येक $2 π$ रेडियन को दोनों दिशाओं में दोहराएंगे.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 14

$x$ के लिए $\csc (x) = - 2$ में हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

$x = arccsc (- 2)$

चरण 14.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.2.1

$arccsc (- 2)$ का सटीक मान $- \frac{π}{6}$ है.

$x = - \frac{π}{6}$

चरण 14.3

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

चरण 14.4

दूसरा हल निकालने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.4.1

$2 π + \frac{π}{6} + π$ में से $2 π$ घटाएं.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

चरण 14.4.2

$\frac{7 π}{6}$ का परिणामी कोण धनात्मक है, $2 π$ से कम है और $2 π + \frac{π}{6} + π$ के साथ कोटरमिनल है.

$x = \frac{7 π}{6}$

चरण 14.5

$\csc (x)$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.5.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{2 π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{2 π}{| b |}$

चरण 14.5.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $1$ से बदलें.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

चरण 14.5.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\frac{2 π}{1}$

चरण 14.5.4

$2 π$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 π$

चरण 14.6

धनात्मक कोण प्राप्त करने के लिए प्रत्येक ऋणात्मक कोण में $2 π$ जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.6.1

धनात्मक कोण ज्ञात करने के लिए $2 π$ को $- \frac{π}{6}$ में जोड़ें.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

चरण 14.6.2

$2 π$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{6}{6}$ से गुणा करें.

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

चरण 14.6.3

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.6.3.1

$2 π$ और $\frac{6}{6}$ को मिलाएं.

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

चरण 14.6.3.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

चरण 14.6.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.6.4.1

$6$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{12 π - π}{6}$

चरण 14.6.4.2

$12 π$ में से $π$ घटाएं.

$\frac{11 π}{6}$

चरण 14.6.5

नए कोणों की सूची बनाएंं.

$x = \frac{11 π}{6}$

चरण 14.7

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 15

सभी हलों की सूची बनाएंं.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 16

$\frac{3 π}{2} + 2 π n$ और $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ को $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ में समेकित करें.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए