ट्रिगोनोमेट्री उदाहरण

$\sqrt{\cos (x)} = 2 \cos (x) - 1$

चरण 1

समीकरण के बाईं पक्ष की ओर मूलांक निकालने के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करें.

${\sqrt{\cos (x)}}^{2} = {(2 \cos (x) - 1)}^{2}$

चरण 2

समीकरण के प्रत्येक पक्ष को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\sqrt{\cos (x)}$ को ${\cos (x)}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

${({\cos (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 \cos (x) - 1)}^{2}$

चरण 2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

${({\cos (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

घातांक को ${({\cos (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${\cos (x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 \cos (x) - 1)}^{2}$

चरण 2.2.1.1.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

${\cos (x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 \cos (x) - 1)}^{2}$

चरण 2.2.1.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\cos^{1} (x) = {(2 \cos (x) - 1)}^{2}$

चरण 2.2.1.2

सरल करें.

$\cos (x) = {(2 \cos (x) - 1)}^{2}$

चरण 2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

${(2 \cos (x) - 1)}^{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

${(2 \cos (x) - 1)}^{2}$ को $(2 \cos (x) - 1) (2 \cos (x) - 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\cos (x) = (2 \cos (x) - 1) (2 \cos (x) - 1)$

चरण 2.3.1.2

FOIL विधि का उपयोग करके $(2 \cos (x) - 1) (2 \cos (x) - 1)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\cos (x) = 2 \cos (x) (2 \cos (x) - 1) - 1 (2 \cos (x) - 1)$

चरण 2.3.1.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\cos (x) = 2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos (x) - 1)$

चरण 2.3.1.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\cos (x) = 2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos (x)) - 1 \cdot - 1$

चरण 2.3.1.3

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.3.1.1

$2 \cos (x) (2 \cos (x))$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.3.1.1.1

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\cos (x) = 4 \cos (x) \cos (x) + 2 \cos (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos (x)) - 1 \cdot - 1$

चरण 2.3.1.3.1.1.2

$\cos (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\cos (x) = 4 (\cos^{1} (x) \cos (x)) + 2 \cos (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos (x)) - 1 \cdot - 1$

चरण 2.3.1.3.1.1.3

$\cos (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\cos (x) = 4 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + 2 \cos (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos (x)) - 1 \cdot - 1$

चरण 2.3.1.3.1.1.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\cos (x) = 4 {\cos (x)}^{1 + 1} + 2 \cos (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos (x)) - 1 \cdot - 1$

चरण 2.3.1.3.1.1.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\cos (x) = 4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos (x)) - 1 \cdot - 1$

चरण 2.3.1.3.1.2

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\cos (x) = 4 \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) - 1 (2 \cos (x)) - 1 \cdot - 1$

चरण 2.3.1.3.1.3

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\cos (x) = 4 \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) - 2 \cos (x) - 1 \cdot - 1$

चरण 2.3.1.3.1.4

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\cos (x) = 4 \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) - 2 \cos (x) + 1$

चरण 2.3.1.3.2

$- 2 \cos (x)$ में से $2 \cos (x)$ घटाएं.

$\cos (x) = 4 \cos^{2} (x) - 4 \cos (x) + 1$

चरण 3

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

सभी अभिव्यक्तियों को समीकरण के बाईं पक्ष की ओर ले जाएँ.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $4 \cos^{2} (x)$ घटाएं.

$\cos (x) - 4 \cos^{2} (x) = - 4 \cos (x) + 1$

चरण 3.1.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $4 \cos (x)$ जोड़ें.

$\cos (x) - 4 \cos^{2} (x) + 4 \cos (x) = 1$

चरण 3.1.3

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$\cos (x) - 4 \cos^{2} (x) + 4 \cos (x) - 1 = 0$

चरण 3.2

$\cos (x)$ और $4 \cos (x)$ जोड़ें.

$5 \cos (x) - 4 \cos^{2} (x) - 1 = 0$

चरण 3.3

$5 \cos (x) - 4 \cos^{2} (x) - 1$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

मान लीजिए $u = \cos (x)$ . $\cos (x)$ की सभी घटनाओं के लिए $u$ को प्रतिस्थापित करें.

$5 u - 4 u^{2} - 1 = 0$

चरण 3.3.2

वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- 4 u^{2} + 5 u - 1 = 0$

चरण 3.3.2.2

फॉर्म $a x^{2} + b x + c$ के बहुपद के लिए, मध्य पद को दो पदों के योग के रूप में फिर से लिखें, जिसका गुणनफल $a \cdot c = - 4 \cdot - 1 = 4$ है और जिसका योग $b = 5$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.2.1

$5 u$ में से $5$ का गुणनखंड करें.

$- 4 u^{2} + 5 (u) - 1 = 0$

चरण 3.3.2.2.2

$5$ को $1$ जोड़ $4$ के रूप में फिर से लिखें

$- 4 u^{2} + (1 + 4) u - 1 = 0$

चरण 3.3.2.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- 4 u^{2} + 1 u + 4 u - 1 = 0$

चरण 3.3.2.2.4

$u$ को $1$ से गुणा करें.

$- 4 u^{2} + u + 4 u - 1 = 0$

चरण 3.3.2.3

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.3.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$(- 4 u^{2} + u) + 4 u - 1 = 0$

चरण 3.3.2.3.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$u (- 4 u + 1) - (- 4 u + 1) = 0$

चरण 3.3.2.4

महत्तम समापवर्तक, $- 4 u + 1$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$(- 4 u + 1) (u - 1) = 0$

चरण 3.3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\cos (x)$ से बदलें.

$(- 4 \cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$

चरण 3.4

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$- 4 \cos (x) + 1 = 0$

$\cos (x) - 1 = 0$

चरण 3.5

$- 4 \cos (x) + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

$- 4 \cos (x) + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$- 4 \cos (x) + 1 = 0$

चरण 3.5.2

$x$ के लिए $- 4 \cos (x) + 1 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$- 4 \cos (x) = - 1$

चरण 3.5.2.2

$- 4 \cos (x) = - 1$ के प्रत्येक पद को $- 4$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.2.1

$- 4 \cos (x) = - 1$ के प्रत्येक पद को $- 4$ से विभाजित करें.

$\frac{- 4 \cos (x)}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

चरण 3.5.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.2.2.1

$- 4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- 4 \cos (x)}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

चरण 3.5.2.2.2.1.2

$\cos (x)$ को $1$ से विभाजित करें.

$\cos (x) = \frac{- 1}{- 4}$

चरण 3.5.2.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.2.3.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\cos (x) = \frac{1}{4}$

चरण 3.5.2.3

कोज्या के अंदर से $x$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम कोज्या लें.

$x = \arccos (\frac{1}{4})$

चरण 3.5.2.4

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.4.1

$\arccos (\frac{1}{4})$ का मान ज्ञात करें.

$x = 1.31811607$

चरण 3.5.2.5

पहले और चौथे चतुर्थांश में कोज्या फलन धनात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, चौथे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए संदर्भ कोण को $2 π$ से घटाएं.

$x = 2 (3.14159265) - 1.31811607$

चरण 3.5.2.6

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.6.1

कोष्ठक हटा दें.

$x = 2 (3.14159265) - 1.31811607$

चरण 3.5.2.6.2

$2 (3.14159265) - 1.31811607$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.6.2.1

$2$ को $3.14159265$ से गुणा करें.

$x = 6.2831853 - 1.31811607$

चरण 3.5.2.6.2.2

$6.2831853$ में से $1.31811607$ घटाएं.

$x = 4.96506923$

चरण 3.5.2.7

$\cos (x)$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.7.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{2 π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{2 π}{| b |}$

चरण 3.5.2.7.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $1$ से बदलें.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

चरण 3.5.2.7.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\frac{2 π}{1}$

चरण 3.5.2.7.4

$2 π$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 π$

चरण 3.5.2.8

$\cos (x)$ फलन की अवधि $2 π$ है, इसलिए मान प्रत्येक $2 π$ रेडियन को दोनों दिशाओं में दोहराएंगे.

$x = 1.31811607 + 2 π n, 4.96506923 + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 3.6

$\cos (x) - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1

$\cos (x) - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$\cos (x) - 1 = 0$

चरण 3.6.2

$x$ के लिए $\cos (x) - 1 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$\cos (x) = 1$

चरण 3.6.2.2

$x = \arccos (1)$

चरण 3.6.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.2.3.1

$\arccos (1)$ का सटीक मान $0$ है.

$x = 0$

चरण 3.6.2.4

$x = 2 π - 0$

चरण 3.6.2.5

$2 π$ में से $0$ घटाएं.

$x = 2 π$

चरण 3.6.2.6

$\cos (x)$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.2.6.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{2 π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{2 π}{| b |}$

चरण 3.6.2.6.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $1$ से बदलें.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

चरण 3.6.2.6.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\frac{2 π}{1}$

चरण 3.6.2.6.4

$2 π$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 π$

चरण 3.6.2.7

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 3.7

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(- 4 \cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 1.31811607 + 2 π n, 4.96506923 + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 4

$2 π n$ और $2 π + 2 π n$ को $2 π n$ में समेकित करें.

$x = 1.31811607 + 2 π n, 4.96506923 + 2 π n, 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 5

उन हलों को छोड़ दें जो $\sqrt{\cos (x)} = 2 \cos (x) - 1$ को सत्य नहीं बनाते हैं.

$x = 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए