ट्रिगोनोमेट्री उदाहरण

$\sin^{2} (x) \cos^{2} (x) = \frac{1}{4}$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों से $\frac{1}{4}$ घटाएं.

$\sin^{2} (x) \cos^{2} (x) - \frac{1}{4} = 0$

चरण 2

$\sin^{2} (x)$ को $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ पहचान के आधार पर $1 - \cos^{2} (x)$ से बदलें.

$(1 - \cos^{2} (x)) \cos^{2} (x) - \frac{1}{4} = 0$

चरण 3

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$1 \cos^{2} (x) - \cos^{2} (x) \cos^{2} (x) - \frac{1}{4} = 0$

चरण 3.2

$\cos^{2} (x)$ को $1$ से गुणा करें.

$\cos^{2} (x) - \cos^{2} (x) \cos^{2} (x) - \frac{1}{4} = 0$

चरण 3.3

घातांक जोड़कर $\cos^{2} (x)$ को $\cos^{2} (x)$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$\cos^{2} (x)$ ले जाएं.

$\cos^{2} (x) - (\cos^{2} (x) \cos^{2} (x)) - \frac{1}{4} = 0$

चरण 3.3.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\cos^{2} (x) - {\cos (x)}^{2 + 2} - \frac{1}{4} = 0$

चरण 3.3.3

$2$ और $2$ जोड़ें.

$\cos^{2} (x) - \cos^{4} (x) - \frac{1}{4} = 0$

चरण 4

बहुपद को पुन: व्यवस्थित करें.

$- \cos^{4} (x) + \cos^{2} (x) - \frac{1}{4} = 0$

चरण 5

समीकरण में $u = \cos^{2} (x)$ प्रतिस्थापित करें. इससे द्विघात सूत्र का उपयोग करना आसान हो जाएगा.

$- u^{2} + u - \frac{1}{4} = 0$

$u = \cos^{2} (x)$

चरण 6

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$- u^{2} + u - \frac{1}{4}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

$- u^{2}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$- (u^{2}) + u - \frac{1}{4} = 0$

चरण 6.1.2

$u$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$- (u^{2}) - 1 (- u) - \frac{1}{4} = 0$

चरण 6.1.3

$- \frac{1}{4}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$- (u^{2}) - 1 (- u) - (\frac{1}{4}) = 0$

चरण 6.1.4

$- (u^{2}) - 1 (- u)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$- (u^{2} - u) - (\frac{1}{4}) = 0$

चरण 6.1.5

$- (u^{2} - u) - (\frac{1}{4})$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$- (u^{2} - u + \frac{1}{4}) = 0$

चरण 6.2

पूर्ण वर्ग नियम का उपयोग करके गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- (u^{2} - u + \frac{1^{2}}{4}) = 0$

चरण 6.2.2

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- (u^{2} - u + \frac{1^{2}}{2^{2}}) = 0$

चरण 6.2.3

$\frac{1^{2}}{2^{2}}$ को ${(\frac{1}{2})}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- (u^{2} - u + {(\frac{1}{2})}^{2}) = 0$

चरण 6.2.4

जाँच करें कि मध्य पद पहले पद और तीसरे पद में वर्गीकृत की जा रही संख्याओं के गुणनफल का दोगुना है.

$u = 2 \cdot u \cdot \frac{1}{2}$

चरण 6.2.5

बहुपद को फिर से लिखें.

$- (u^{2} - 2 \cdot u \cdot \frac{1}{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}) = 0$

चरण 6.2.6

पूर्ण वर्ग त्रिपद नियम $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ का उपयोग करके गुणनखंड करें, जहाँ $a = u$ और $b = \frac{1}{2}$ है.

$- {(u - \frac{1}{2})}^{2} = 0$

चरण 7

$- {(u - \frac{1}{2})}^{2} = 0$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$- {(u - \frac{1}{2})}^{2} = 0$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से विभाजित करें.

$\frac{- {(u - \frac{1}{2})}^{2}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

चरण 7.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\frac{{(u - \frac{1}{2})}^{2}}{1} = \frac{0}{- 1}$

चरण 7.2.2

${(u - \frac{1}{2})}^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

${(u - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{0}{- 1}$

चरण 7.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1

$0$ को $- 1$ से विभाजित करें.

${(u - \frac{1}{2})}^{2} = 0$

चरण 8

$u - \frac{1}{2}$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$u - \frac{1}{2} = 0$

चरण 9

समीकरण के दोनों पक्षों में $\frac{1}{2}$ जोड़ें.

$u = \frac{1}{2}$

चरण 10

हल किए गए समीकरण में $u = \cos^{2} (x)$ के वास्तविक मान को वापस प्रतिस्थापित करें.

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{2}$

चरण 11

$\cos (x)$ के लिए समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

चरण 11.2

$\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.1

$\sqrt{\frac{1}{2}}$ को $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

चरण 11.2.2

$1$ का कोई भी मूल $1$ होता है.

$\cos (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

चरण 11.2.3

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ को $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ से गुणा करें.

$\cos (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

चरण 11.2.4

भाजक को मिलाएं और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.4.1

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ को $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ से गुणा करें.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

चरण 11.2.4.2

$\sqrt{2}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

चरण 11.2.4.3

$\sqrt{2}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

चरण 11.2.4.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

चरण 11.2.4.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

चरण 11.2.4.6

${\sqrt{2}}^{2}$ को $2$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.4.6.1

$\sqrt{2}$ को $2^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 11.2.4.6.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

चरण 11.2.4.6.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

चरण 11.2.4.6.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.4.6.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

चरण 11.2.4.6.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

चरण 11.2.4.6.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

चरण 11.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

चरण 11.3.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

चरण 11.3.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

चरण 12

$x$ को हल करने के लिए प्रत्येक हल सेट करें.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

चरण 13

$x$ के लिए $\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ में हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

कोज्या के अंदर से $x$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम कोज्या लें.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

चरण 13.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.2.1

$\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ का सटीक मान $\frac{π}{4}$ है.

$x = \frac{π}{4}$

चरण 13.3

पहले और चौथे चतुर्थांश में कोज्या फलन धनात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, चौथे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए संदर्भ कोण को $2 π$ से घटाएं.

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

चरण 13.4

$2 π - \frac{π}{4}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.4.1

$2 π$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{4}{4}$ से गुणा करें.

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

चरण 13.4.2

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.4.2.1

$2 π$ और $\frac{4}{4}$ को मिलाएं.

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

चरण 13.4.2.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

चरण 13.4.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.4.3.1

$4$ को $2$ से गुणा करें.

$x = \frac{8 π - π}{4}$

चरण 13.4.3.2

$8 π$ में से $π$ घटाएं.

$x = \frac{7 π}{4}$

चरण 13.5

$\cos (x)$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.5.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{2 π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{2 π}{| b |}$

चरण 13.5.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $1$ से बदलें.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

चरण 13.5.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\frac{2 π}{1}$

चरण 13.5.4

$2 π$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 π$

चरण 13.6

$\cos (x)$ फलन की अवधि $2 π$ है, इसलिए मान प्रत्येक $2 π$ रेडियन को दोनों दिशाओं में दोहराएंगे.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 14

$x$ के लिए $\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ में हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

चरण 14.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.2.1

$\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ का सटीक मान $\frac{3 π}{4}$ है.

$x = \frac{3 π}{4}$

चरण 14.3

दूसरे और तीसरे चतुर्थांश में कोज्या फलन ऋणात्मक होता है. दूसरा हल ज्ञात करने के लिए, तीसरे चतुर्थांश में हल ज्ञात करने के लिए संदर्भ कोण को $2 π$ से घटाएं.

$x = 2 π - \frac{3 π}{4}$

चरण 14.4

$2 π - \frac{3 π}{4}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.4.1

$2 π$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{4}{4}$ से गुणा करें.

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

चरण 14.4.2

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.4.2.1

$2 π$ और $\frac{4}{4}$ को मिलाएं.

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

चरण 14.4.2.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

चरण 14.4.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.4.3.1

$4$ को $2$ से गुणा करें.

$x = \frac{8 π - 3 π}{4}$

चरण 14.4.3.2

$8 π$ में से $3 π$ घटाएं.

$x = \frac{5 π}{4}$

चरण 14.5

$\cos (x)$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.5.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{2 π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{2 π}{| b |}$

चरण 14.5.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $1$ से बदलें.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

चरण 14.5.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\frac{2 π}{1}$

चरण 14.5.4

$2 π$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 π$

चरण 14.6

$x = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 15

सभी हलों की सूची बनाएंं.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 16

उत्तरों को समेकित करें.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए