ट्रिगोनोमेट्री उदाहरण

$2 \cot^{2} (x) + 3 \csc (x) = 0$

चरण 1

$2 \cot^{2} (x)$ को $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ पहचान के आधार पर $2 (\csc^{2} (x) - 1)$ से बदलें.

$2 (\csc^{2} (x) - 1) + 3 \csc (x) = 0$

चरण 2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$2 \csc^{2} (x) + 2 \cdot - 1 + 3 \csc (x) = 0$

चरण 2.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$2 \csc^{2} (x) - 2 + 3 \csc (x) = 0$

चरण 3

बहुपद को पुन: व्यवस्थित करें.

$2 \csc^{2} (x) + 3 \csc (x) - 2 = 0$

चरण 4

$u$ को $\csc (x)$ से प्रतिस्थापित करें.

$2 {(u)}^{2} + 3 (u) - 2 = 0$

चरण 5

वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

फॉर्म $a x^{2} + b x + c$ के बहुपद के लिए, मध्य पद को दो पदों के योग के रूप में फिर से लिखें, जिसका गुणनफल $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ है और जिसका योग $b = 3$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

$3 u$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$2 u^{2} + 3 u - 2 = 0$

चरण 5.1.2

$3$ को $- 1$ जोड़ $4$ के रूप में फिर से लिखें

$2 u^{2} + (- 1 + 4) u - 2 = 0$

चरण 5.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$2 u^{2} - 1 u + 4 u - 2 = 0$

चरण 5.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$2 u^{2} - 1 u + 4 u - 2 = 0$

चरण 5.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$u (2 u - 1) + 2 (2 u - 1) = 0$

चरण 5.3

महत्तम समापवर्तक, $2 u - 1$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$(2 u - 1) (u + 2) = 0$

चरण 6

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$2 u - 1 = 0$

$u + 2 = 0$

चरण 7

$2 u - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $u$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$2 u - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$2 u - 1 = 0$

चरण 7.2

$u$ के लिए $2 u - 1 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$2 u = 1$

चरण 7.2.2

$2 u = 1$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.1

$2 u = 1$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

चरण 7.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

चरण 7.2.2.2.1.2

$u$ को $1$ से विभाजित करें.

$u = \frac{1}{2}$

चरण 8

$u + 2$ को $0$ के बराबर सेट करें और $u$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$u + 2$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$u + 2 = 0$

चरण 8.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $2$ घटाएं.

$u = - 2$

चरण 9

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(2 u - 1) (u + 2) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$u = \frac{1}{2}, - 2$

चरण 10

$\csc (x)$ को $u$ से प्रतिस्थापित करें.

$\csc (x) = \frac{1}{2}, - 2$

चरण 11

$x$ को हल करने के लिए प्रत्येक हल सेट करें.

$\csc (x) = \frac{1}{2}$

$\csc (x) = - 2$

चरण 12

$x$ के लिए $\csc (x) = \frac{1}{2}$ में हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

व्युत्क्रमज्या की सीमा $y \leq - 1$ और $y \geq 1$ है. चूंकि $\frac{1}{2}$ इस श्रेणी में नहीं आता है, इसलिए कोई हल नहीं है.

कोई हल नहीं

चरण 13

$x$ के लिए $\csc (x) = - 2$ में हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

व्युत्क्रमज्या के अंदर से $x$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का व्युत्क्रम व्युत्क्रमज्या लें.

$x = arccsc (- 2)$

चरण 13.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.2.1

$arccsc (- 2)$ का सटीक मान $- \frac{π}{6}$ है.

$x = - \frac{π}{6}$

चरण 13.3

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

चरण 13.4

दूसरा हल निकालने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.4.1

$2 π + \frac{π}{6} + π$ में से $2 π$ घटाएं.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

चरण 13.4.2

$\frac{7 π}{6}$ का परिणामी कोण धनात्मक है, $2 π$ से कम है और $2 π + \frac{π}{6} + π$ के साथ कोटरमिनल है.

$x = \frac{7 π}{6}$

चरण 13.5

$\csc (x)$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.5.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{2 π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{2 π}{| b |}$

चरण 13.5.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $1$ से बदलें.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

चरण 13.5.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\frac{2 π}{1}$

चरण 13.5.4

$2 π$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 π$

चरण 13.6

धनात्मक कोण प्राप्त करने के लिए प्रत्येक ऋणात्मक कोण में $2 π$ जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.6.1

धनात्मक कोण ज्ञात करने के लिए $2 π$ को $- \frac{π}{6}$ में जोड़ें.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

चरण 13.6.2

$2 π$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{6}{6}$ से गुणा करें.

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

चरण 13.6.3

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.6.3.1

$2 π$ और $\frac{6}{6}$ को मिलाएं.

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

चरण 13.6.3.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

चरण 13.6.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.6.4.1

$6$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{12 π - π}{6}$

चरण 13.6.4.2

$12 π$ में से $π$ घटाएं.

$\frac{11 π}{6}$

चरण 13.6.5

नए कोणों की सूची बनाएंं.

$x = \frac{11 π}{6}$

चरण 13.7

$\csc (x)$ फलन की अवधि $2 π$ है, इसलिए मान प्रत्येक $2 π$ रेडियन को दोनों दिशाओं में दोहराएंगे.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 14

सभी हलों की सूची बनाएंं.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए