ट्रिगोनोमेट्री उदाहरण

$2 \sec^{2} (x) - \tan^{4} (x) = - 1$

चरण 1

$2 \sec^{2} (x)$ को $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ पहचान के आधार पर $2 (1 + \tan^{2} (x))$ से बदलें.

$2 (1 + \tan^{2} (x)) - \tan^{4} (x) = - 1$

चरण 2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$2 \cdot 1 + 2 \tan^{2} (x) - \tan^{4} (x) = - 1$

चरण 2.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2 + 2 \tan^{2} (x) - \tan^{4} (x) = - 1$

चरण 3

बहुपद को पुन: व्यवस्थित करें.

$- \tan^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) + 2 = - 1$

चरण 4

समीकरण में $u = \tan^{2} (x)$ प्रतिस्थापित करें. इससे द्विघात सूत्र का उपयोग करना आसान हो जाएगा.

$- u^{2} + 2 u + 2 = - 1$

$u = \tan^{2} (x)$

चरण 5

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$- u^{2} + 2 u + 2 + 1 = 0$

चरण 6

$2$ और $1$ जोड़ें.

$- u^{2} + 2 u + 3 = 0$

चरण 7

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$- u^{2} + 2 u + 3$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1

$- u^{2}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$- (u^{2}) + 2 u + 3 = 0$

चरण 7.1.2

$2 u$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$- (u^{2}) - (- 2 u) + 3 = 0$

चरण 7.1.3

$3$ को $- 1 (- 3)$ के रूप में फिर से लिखें.

$- (u^{2}) - (- 2 u) - 1 \cdot - 3 = 0$

चरण 7.1.4

$- (u^{2}) - (- 2 u)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$- (u^{2} - 2 u) - 1 \cdot - 3 = 0$

चरण 7.1.5

$- (u^{2} - 2 u) - 1 (- 3)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$- (u^{2} - 2 u - 3) = 0$

चरण 7.2

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

AC विधि का उपयोग करके $u^{2} - 2 u - 3$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ के स्वरूप पर विचार करें. पूर्णांकों का एक ऐसा युग्म ज्ञात कीजिए जिसका गुणनफल $c$ है और जिसका योग $b$ है और इस स्थिति में जिसका गुणनफल $- 3$ है और जिसका योग $- 2$ है.

$- 3, 1$

चरण 7.2.1.2

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$- ((u - 3) (u + 1)) = 0$

चरण 7.2.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$- (u - 3) (u + 1) = 0$

चरण 8

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$u - 3 = 0$

$u + 1 = 0$

चरण 9

$u - 3$ को $0$ के बराबर सेट करें और $u$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$u - 3$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$u - 3 = 0$

चरण 9.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $3$ जोड़ें.

$u = 3$

चरण 10

$u + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $u$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$u + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$u + 1 = 0$

चरण 10.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$u = - 1$

चरण 11

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $- (u - 3) (u + 1) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$u = 3, - 1$

चरण 12

हल किए गए समीकरण में $u = \tan^{2} (x)$ के वास्तविक मान को वापस प्रतिस्थापित करें.

$\tan^{2} (x) = 3$

${(\tan^{2} (x))}^{1} = - 1$

चरण 13

$\tan (x)$ के लिए पहला समीकरण हल करें.

$\tan^{2} (x) = 3$

चरण 14

$\tan (x)$ के लिए समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\tan (x) = \pm \sqrt{3}$

चरण 14.2

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.2.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$\tan (x) = \sqrt{3}$

चरण 14.2.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$\tan (x) = - \sqrt{3}$

चरण 14.2.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$\tan (x) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

चरण 15

$\tan (x)$ का मान ज्ञात करने के लिए दूसरा समीकरण हल करें.

${(\tan^{2} (x))}^{1} = - 1$

चरण 16

$\tan (x)$ के लिए समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.1

कोष्ठक हटा दें.

$\tan^{2} (x) = - 1$

चरण 16.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\tan (x) = \pm \sqrt{- 1}$

चरण 16.3

$\sqrt{- 1}$ को $i$ के रूप में फिर से लिखें.

$\tan (x) = \pm i$

चरण 16.4

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.4.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$\tan (x) = i$

चरण 16.4.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$\tan (x) = - i$

चरण 16.4.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$\tan (x) = i, - i$

चरण 17

$- \tan^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) + 2 = - 1$ का हल $\tan (x) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, i, - i$ है.

$\tan (x) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, i, - i$

चरण 18

$x$ को हल करने के लिए प्रत्येक हल सेट करें.

$\tan (x) = \sqrt{3}$

$\tan (x) = - \sqrt{3}$

$\tan (x) = i$

$\tan (x) = - i$

चरण 19

$x$ के लिए $\tan (x) = \sqrt{3}$ में हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 19.1

स्पर्शरेखा के अंदर से $x$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम स्पर्शरेखा लें.

$x = \arctan (\sqrt{3})$

चरण 19.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 19.2.1

$\arctan (\sqrt{3})$ का सटीक मान $\frac{π}{3}$ है.

$x = \frac{π}{3}$

चरण 19.3

पहले और तीसरे चतुर्थांश में स्पर्शरेखा फलन धनात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, चौथे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए $π$ से संदर्भ कोण जोड़ें.

$x = π + \frac{π}{3}$

चरण 19.4

$π + \frac{π}{3}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 19.4.1

$π$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$x = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

चरण 19.4.2

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 19.4.2.1

$π$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$x = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

चरण 19.4.2.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$x = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

चरण 19.4.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 19.4.3.1

$3$ को $π$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x = \frac{3 \cdot π + π}{3}$

चरण 19.4.3.2

$3 π$ और $π$ जोड़ें.

$x = \frac{4 π}{3}$

चरण 19.5

$\tan (x)$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 19.5.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{π}{| b |}$

चरण 19.5.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $1$ से बदलें.

$\frac{π}{| 1 |}$

चरण 19.5.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\frac{π}{1}$

चरण 19.5.4

$π$ को $1$ से विभाजित करें.

$π$

चरण 19.6

$\tan (x)$ फलन की अवधि $π$ है, इसलिए मान प्रत्येक $π$ रेडियन को दोनों दिशाओं में दोहराएंगे.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 20

$x$ के लिए $\tan (x) = - \sqrt{3}$ में हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 20.1

$x = \arctan (- \sqrt{3})$

चरण 20.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 20.2.1

$\arctan (- \sqrt{3})$ का सटीक मान $- \frac{π}{3}$ है.

$x = - \frac{π}{3}$

चरण 20.3

दूसरे और चौथे चतुर्थांश में स्पर्शरेखा फलन ऋणात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, तीसरे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए संदर्भ कोण को $π$ से घटाएं.

$x = - \frac{π}{3} - π$

चरण 20.4

दूसरा हल निकालने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 20.4.1

$2 π$ को $- \frac{π}{3} - π$ में जोड़ें.

$x = - \frac{π}{3} - π + 2 π$

चरण 20.4.2

$\frac{2 π}{3}$ का परिणामी कोण $- \frac{π}{3} - π$ के साथ धनात्मक और कोटरमिनल है.

$x = \frac{2 π}{3}$

चरण 20.5

$\tan (x)$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 20.5.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{π}{| b |}$

चरण 20.5.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $1$ से बदलें.

$\frac{π}{| 1 |}$

चरण 20.5.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\frac{π}{1}$

चरण 20.5.4

$π$ को $1$ से विभाजित करें.

$π$

चरण 20.6

धनात्मक कोण प्राप्त करने के लिए प्रत्येक ऋणात्मक कोण में $π$ जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 20.6.1

धनात्मक कोण ज्ञात करने के लिए $π$ को $- \frac{π}{3}$ में जोड़ें.

$- \frac{π}{3} + π$

चरण 20.6.2

$π$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

चरण 20.6.3

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 20.6.3.1

$π$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

चरण 20.6.3.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{π \cdot 3 - π}{3}$

चरण 20.6.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 20.6.4.1

$3$ को $π$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{3 \cdot π - π}{3}$

चरण 20.6.4.2

$3 π$ में से $π$ घटाएं.

$\frac{2 π}{3}$

चरण 20.6.5

नए कोणों की सूची बनाएंं.

$x = \frac{2 π}{3}$

चरण 20.7

$x = \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 21

$x$ के लिए $\tan (x) = i$ में हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 21.1

$x = \arctan (i)$

चरण 21.2

$\arctan (i)$ की व्युत्क्रम स्पर्शरेखा अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

चरण 22

$x$ के लिए $\tan (x) = - i$ में हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 22.1

$x = \arctan (- i)$

चरण 22.2

$\arctan (- i)$ की व्युत्क्रम स्पर्शरेखा अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

चरण 23

सभी हलों की सूची बनाएंं.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 24

हल समेकित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 24.1

$\frac{π}{3} + π n$ और $\frac{4 π}{3} + π n$ को $\frac{π}{3} + π n$ में समेकित करें.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 24.2

$\frac{2 π}{3} + π n$ और $\frac{2 π}{3} + π n$ को $\frac{2 π}{3} + π n$ में समेकित करें.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए