ट्रिगोनोमेट्री उदाहरण

$r^{2} = - 4 \cos (2 x)$

चरण 1

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$r = \pm \sqrt{- 4 \cos (2 x)}$

चरण 2

$\pm \sqrt{- 4 \cos (2 x)}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$- 4 \cos (2 x)$ को $2^{2} \cdot (- 1 \cos (2 x))$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$- 4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$r = \pm \sqrt{4 (- 1) \cos (2 x)}$

चरण 2.1.2

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$r = \pm \sqrt{2^{2} \cdot - 1 \cos (2 x)}$

चरण 2.1.3

कोष्ठक लगाएं.

$r = \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 \cos (2 x))}$

चरण 2.2

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$r = \pm 2 \sqrt{- 1 \cos (2 x)}$

चरण 3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$r = 2 \sqrt{- 1 \cos (2 x)}$

चरण 3.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$r = - 2 \sqrt{- 1 \cos (2 x)}$

चरण 3.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$r = 2 \sqrt{- 1 \cos (2 x)}$

$r = - 2 \sqrt{- 1 \cos (2 x)}$

$r = 2 \sqrt{- 1 \cos (2 x)}$

$r = - 2 \sqrt{- 1 \cos (2 x)}$

चरण 4

रेडिकैंड को $\sqrt{- 1 \cos (2 x)}$ में $0$ से बड़ा या उसके बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां परिभाषित किया गया है.

$- 1 \cos (2 x) \geq 0$

चरण 5

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$- 1 \cos (2 x) \geq 0$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

$- 1 \cos (2 x) \geq 0$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें. असमानता के दोनों पक्षों को ऋणात्मक मान से गुणा या विभाजित करते समय, असमानता चिह्न की दिशा को पलटें.

$\frac{- 1 \cos (2 x)}{- 1} \leq \frac{0}{- 1}$

चरण 5.1.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.2.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\frac{\cos (2 x)}{1} \leq \frac{0}{- 1}$

चरण 5.1.2.2

$\cos (2 x)$ को $1$ से विभाजित करें.

$\cos (2 x) \leq \frac{0}{- 1}$

चरण 5.1.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.3.1

$0$ को $- 1$ से विभाजित करें.

$\cos (2 x) \leq 0$

चरण 5.2

कोज्या के अंदर से $x$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम कोज्या लें.

$2 x \leq \arccos (0)$

चरण 5.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

$\arccos (0)$ का सटीक मान $\frac{π}{2}$ है.

$2 x \leq \frac{π}{2}$

चरण 5.4

$2 x \leq \frac{π}{2}$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

$2 x \leq \frac{π}{2}$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 x}{2} \leq \frac{\frac{π}{2}}{2}$

चरण 5.4.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x}{2} \leq \frac{\frac{π}{2}}{2}$

चरण 5.4.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x \leq \frac{\frac{π}{2}}{2}$

चरण 5.4.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.3.1

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$x \leq \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

चरण 5.4.3.2

$\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.3.2.1

$\frac{π}{2}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$x \leq \frac{π}{2 \cdot 2}$

चरण 5.4.3.2.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$x \leq \frac{π}{4}$

चरण 5.5

पहले और चौथे चतुर्थांश में कोज्या फलन धनात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, चौथे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए संदर्भ कोण को $2 π$ से घटाएं.

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

चरण 5.6

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.1.1

$2 π$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

चरण 5.6.1.2

$2 π$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

चरण 5.6.1.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

चरण 5.6.1.4

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

चरण 5.6.1.5

$4 π$ में से $π$ घटाएं.

$2 x = \frac{3 π}{2}$

चरण 5.6.2

$2 x = \frac{3 π}{2}$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.2.1

$2 x = \frac{3 π}{2}$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

चरण 5.6.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.2.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

चरण 5.6.2.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

चरण 5.6.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.2.3.1

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

चरण 5.6.2.3.2

$\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.2.3.2.1

$\frac{3 π}{2}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

चरण 5.6.2.3.2.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$x = \frac{3 π}{4}$

चरण 5.7

$\cos (2 x)$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.7.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{2 π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{2 π}{| b |}$

चरण 5.7.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $2$ से बदलें.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

चरण 5.7.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $2$ के बीच की दूरी $2$ है.

$\frac{2 π}{2}$

चरण 5.7.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.7.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 π}{2}$

चरण 5.7.4.2

$π$ को $1$ से विभाजित करें.

$π$

चरण 5.8

$\cos (2 x)$ फलन की अवधि $π$ है, इसलिए मान प्रत्येक $π$ रेडियन को दोनों दिशाओं में दोहराएंगे.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 5.9

उत्तरों को समेकित करें.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 5.10

परीक्षण अंतराल बनाने के लिए प्रत्येक मूल का प्रयोग करें.

$\frac{π}{4} < x < \frac{3 π}{4}$

$\frac{3 π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$

चरण 5.11

प्रत्येक अंतराल से एक परीक्षण मान चुनें और यह निर्धारित करने के लिए कि कौन से अंतराल असमानता को संतुष्ट करते हैं, इस मान को मूल असमानता में प्लग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.11.1

अंतराल $\frac{π}{4} < x < \frac{3 π}{4}$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.11.1.1

अंतराल $\frac{π}{4} < x < \frac{3 π}{4}$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = 2$

चरण 5.11.1.2

मूल असमानता में $x$ को $2$ से बदलें.

$- 1 \cos (2 (2)) \geq 0$

चरण 5.11.1.3

बाईं ओर $0.65364362$ दाईं ओर $0$ से बड़ा है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन हमेशा सत्य है.

सत्य

चरण 5.11.2

अंतराल $\frac{3 π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.11.2.1

अंतराल $\frac{3 π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = 3$

चरण 5.11.2.2

मूल असमानता में $x$ को $3$ से बदलें.

$- 1 \cos (2 (3)) \geq 0$

चरण 5.11.2.3

बाईं ओर $- 0.96017028$ दाईं ओर $0$ से छोटा है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन गलत है.

असत्य

चरण 5.11.3

यह निर्धारित करने के लिए अंतराल की तुलना करें कि कौन से तत्व मूल असमानता को संतुष्ट करते हैं.

$\frac{π}{4} < x < \frac{3 π}{4}$ सही

$\frac{3 π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$ गलत

$\frac{π}{4} < x < \frac{3 π}{4}$ सही

$\frac{3 π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$ गलत

चरण 5.12

हल में सभी सच्चे अंतराल होते हैं.

$\frac{π}{4} + π n \leq x \leq \frac{3 π}{4} + π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 6

डोमेन $x$ के सभी मान हैं जो व्यंजक को परिभाषित करते हैं.

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x = \frac{π}{4} + π n, x = \frac{3 π}{4} + π n}$

चरण 7