ट्रिगोनोमेट्री उदाहरण

$\frac{x^{3} + x^{2} - 5 x - 6}{x + 2}$

चरण 1

परिमेय मूल परीक्षण का उपयोग करते हुए गुणनखंड $x^{3} + x^{2} - 5 x - 6$ है.

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चरण 1.1

यदि एक बहुपद फलन में पूर्णांक गुणांक होते हैं, तो प्रत्येक परिमेय शून्य का रूप $\frac{p}{q}$ होगा, जहां $p$ स्थिरांक का एक गुणनखंड है और $q$ प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

चरण 1.2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

चरण 1.3

$- 2$ को प्रतिस्थापित करें और व्यंजक को सरल करें. इस स्थिति में, व्यंजक $0$ के बराबर है, इसलिए $- 2$ बहुपद का मूल है.

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चरण 1.3.1

$- 2$ को बहुपद में प्रतिस्थापित करें.

${(- 2)}^{3} + {(- 2)}^{2} - 5 \cdot - 2 - 6$

चरण 1.3.2

$- 2$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 8 + {(- 2)}^{2} - 5 \cdot - 2 - 6$

चरण 1.3.3

$- 2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 8 + 4 - 5 \cdot - 2 - 6$

चरण 1.3.4

$- 8$ और $4$ जोड़ें.

$- 4 - 5 \cdot - 2 - 6$

चरण 1.3.5

$- 5$ को $- 2$ से गुणा करें.

$- 4 + 10 - 6$

चरण 1.3.6

$- 4$ और $10$ जोड़ें.

$6 - 6$

चरण 1.3.7

$6$ में से $6$ घटाएं.

$0$

चरण 1.4

चूँकि $- 2$ एक ज्ञात मूल है, बहुपद को $x + 2$ से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.

$\frac{x^{3} + x^{2} - 5 x - 6}{x + 2}$

चरण 1.5

$x^{3} + x^{2} - 5 x - 6$ को $x + 2$ से विभाजित करें.

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चरण 1.5.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$x$

$2$

$x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

$6$

चरण 1.5.2

भाज्य $x^{3}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$

चरण 1.5.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

चरण 1.5.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $x^{3} + 2 x^{2}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

चरण 1.5.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$

चरण 1.5.6

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$5 x$

चरण 1.5.7

भाज्य $- x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$5 x$

चरण 1.5.8

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$

चरण 1.5.9

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- x^{2} - 2 x$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$5 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$

चरण 1.5.10

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$5 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$3 x$

चरण 1.5.11

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$5 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$3 x$	-	$6$

चरण 1.5.12

भाज्य $- 3 x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$3$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$5 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$3 x$	-	$6$

चरण 1.5.13

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$3$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$5 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$3 x$	-	$6$
							-	$3 x$	-	$6$

चरण 1.5.14

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- 3 x - 6$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	-	$x$	-	$3$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$5 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$3 x$	-	$6$
							+	$3 x$	+	$6$

चरण 1.5.15

				$x^{2}$	-	$x$	-	$3$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$5 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$3 x$	-	$6$
							+	$3 x$	+	$6$
										$0$

चरण 1.5.16

चूंकि रिमांडर $0$ है, इसलिए अंतिम उत्तर भागफल है.

$x^{2} - x - 3$

चरण 1.6

गुणनखंडों के एक सेट के रूप में $x^{3} + x^{2} - 5 x - 6$ लिखें.

$\frac{(x + 2) (x^{2} - x - 3)}{x + 2}$

चरण 2

सामान्य गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक को छोटा करें.

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चरण 2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक $\frac{(x + 2) (x^{2} - x - 3)}{x + 2}$ को छोटा करें.

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चरण 2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{(x + 2) (x^{2} - x - 3)}{x + 2}$

चरण 2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{x^{2} - x - 3}{1}$

चरण 2.2

$x^{2} - x - 3$ को $1$ से विभाजित करें.

$x^{2} - x - 3$