ट्रिगोनोमेट्री उदाहरण

$\sin^{2} (2 x) = 3 \cos^{2} (2 x)$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों से $3 \cos^{2} (2 x)$ घटाएं.

$\sin^{2} (2 x) - 3 \cos^{2} (2 x) = 0$

चरण 2

$\sin^{2} (2 x)$ को $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ पहचान के आधार पर $1 - \cos^{2} (2 x)$ से बदलें.

$(1 - \cos^{2} (2 x)) - 3 \cos^{2} (2 x) = 0$

चरण 3

$- \cos^{2} (2 x)$ में से $3 \cos^{2} (2 x)$ घटाएं.

$1 - 4 \cos^{2} (2 x) = 0$

चरण 4

बहुपद को पुन: व्यवस्थित करें.

$- 4 \cos^{2} (2 x) + 1 = 0$

चरण 5

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$- 4 \cos^{2} (2 x) = - 1$

चरण 6

$- 4 \cos^{2} (2 x) = - 1$ के प्रत्येक पद को $- 4$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$- 4 \cos^{2} (2 x) = - 1$ के प्रत्येक पद को $- 4$ से विभाजित करें.

$\frac{- 4 \cos^{2} (2 x)}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

चरण 6.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$- 4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- 4 \cos^{2} (2 x)}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

चरण 6.2.1.2

$\cos^{2} (2 x)$ को $1$ से विभाजित करें.

$\cos^{2} (2 x) = \frac{- 1}{- 4}$

चरण 6.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\cos^{2} (2 x) = \frac{1}{4}$

चरण 7

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$\cos (2 x) = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

चरण 8

$\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$\sqrt{\frac{1}{4}}$ को $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\cos (2 x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

चरण 8.2

$1$ का कोई भी मूल $1$ होता है.

$\cos (2 x) = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

चरण 8.3

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\cos (2 x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

चरण 8.3.2

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$\cos (2 x) = \pm \frac{1}{2}$

चरण 9

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$\cos (2 x) = \frac{1}{2}$

चरण 9.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$\cos (2 x) = - \frac{1}{2}$

चरण 9.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$\cos (2 x) = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

चरण 10

$x$ को हल करने के लिए प्रत्येक हल सेट करें.

$\cos (2 x) = \frac{1}{2}$

$\cos (2 x) = - \frac{1}{2}$

चरण 11

$x$ के लिए $\cos (2 x) = \frac{1}{2}$ में हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

कोज्या के अंदर से $x$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम कोज्या लें.

$2 x = \arccos (\frac{1}{2})$

चरण 11.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.1

$\arccos (\frac{1}{2})$ का सटीक मान $\frac{π}{3}$ है.

$2 x = \frac{π}{3}$

चरण 11.3

$2 x = \frac{π}{3}$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.1

$2 x = \frac{π}{3}$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{3}}{2}$

चरण 11.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{3}}{2}$

चरण 11.3.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{\frac{π}{3}}{2}$

चरण 11.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.3.1

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

चरण 11.3.3.2

$\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{2}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.3.2.1

$\frac{π}{3}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$x = \frac{π}{3 \cdot 2}$

चरण 11.3.3.2.2

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$x = \frac{π}{6}$

चरण 11.4

पहले और चौथे चतुर्थांश में कोज्या फलन धनात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, चौथे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए संदर्भ कोण को $2 π$ से घटाएं.

$2 x = 2 π - \frac{π}{3}$

चरण 11.5

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.5.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.5.1.1

$2 π$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$2 x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

चरण 11.5.1.2

$2 π$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$2 x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

चरण 11.5.1.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$2 x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

चरण 11.5.1.4

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$2 x = \frac{6 π - π}{3}$

चरण 11.5.1.5

$6 π$ में से $π$ घटाएं.

$2 x = \frac{5 π}{3}$

चरण 11.5.2

$2 x = \frac{5 π}{3}$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.5.2.1

$2 x = \frac{5 π}{3}$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 π}{3}}{2}$

चरण 11.5.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.5.2.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.5.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 π}{3}}{2}$

चरण 11.5.2.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{\frac{5 π}{3}}{2}$

चरण 11.5.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.5.2.3.1

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$x = \frac{5 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

चरण 11.5.2.3.2

$\frac{5 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.5.2.3.2.1

$\frac{5 π}{3}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$x = \frac{5 π}{3 \cdot 2}$

चरण 11.5.2.3.2.2

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$x = \frac{5 π}{6}$

चरण 11.6

$\cos (2 x)$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.6.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{2 π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{2 π}{| b |}$

चरण 11.6.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $2$ से बदलें.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

चरण 11.6.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $2$ के बीच की दूरी $2$ है.

$\frac{2 π}{2}$

चरण 11.6.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.6.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 π}{2}$

चरण 11.6.4.2

$π$ को $1$ से विभाजित करें.

$π$

चरण 11.7

$\cos (2 x)$ फलन की अवधि $π$ है, इसलिए मान प्रत्येक $π$ रेडियन को दोनों दिशाओं में दोहराएंगे.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 12

$x$ के लिए $\cos (2 x) = - \frac{1}{2}$ में हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$2 x = \arccos (- \frac{1}{2})$

चरण 12.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.1

$\arccos (- \frac{1}{2})$ का सटीक मान $\frac{2 π}{3}$ है.

$2 x = \frac{2 π}{3}$

चरण 12.3

$2 x = \frac{2 π}{3}$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.1

$2 x = \frac{2 π}{3}$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{2 π}{3}}{2}$

चरण 12.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{2 π}{3}}{2}$

चरण 12.3.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{\frac{2 π}{3}}{2}$

चरण 12.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.3.1

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$x = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

चरण 12.3.3.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.3.2.1

$2 π$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

चरण 12.3.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

चरण 12.3.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x = \frac{π}{3}$

चरण 12.4

दूसरे और तीसरे चतुर्थांश में कोज्या फलन ऋणात्मक होता है. दूसरा हल ज्ञात करने के लिए, तीसरे चतुर्थांश में हल ज्ञात करने के लिए संदर्भ कोण को $2 π$ से घटाएं.

$2 x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

चरण 12.5

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.5.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.5.1.1

$2 π$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$2 x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

चरण 12.5.1.2

$2 π$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$2 x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

चरण 12.5.1.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$2 x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

चरण 12.5.1.4

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$2 x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

चरण 12.5.1.5

$6 π$ में से $2 π$ घटाएं.

$2 x = \frac{4 π}{3}$

चरण 12.5.2

$2 x = \frac{4 π}{3}$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.5.2.1

$2 x = \frac{4 π}{3}$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{4 π}{3}}{2}$

चरण 12.5.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.5.2.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.5.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{4 π}{3}}{2}$

चरण 12.5.2.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{\frac{4 π}{3}}{2}$

चरण 12.5.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.5.2.3.1

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$x = \frac{4 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

चरण 12.5.2.3.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.5.2.3.2.1

$4 π$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{2 (2 π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

चरण 12.5.2.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x = \frac{2 (2 π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

चरण 12.5.2.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x = \frac{2 π}{3}$

चरण 12.6

$\cos (2 x)$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.6.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{2 π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{2 π}{| b |}$

चरण 12.6.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $2$ से बदलें.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

चरण 12.6.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $2$ के बीच की दूरी $2$ है.

$\frac{2 π}{2}$

चरण 12.6.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.6.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 π}{2}$

चरण 12.6.4.2

$π$ को $1$ से विभाजित करें.

$π$

चरण 12.7

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 13

सभी हलों की सूची बनाएंं.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 14

हल समेकित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

$\frac{π}{6} + π n$ और $\frac{2 π}{3} + π n$ को $\frac{π}{6} + \frac{π n}{2}$ में समेकित करें.

$x = \frac{π}{6} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{6} + π n, \frac{π}{3} + π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 14.2

$\frac{5 π}{6} + π n$ और $\frac{π}{3} + π n$ को $\frac{π}{3} + \frac{π n}{2}$ में समेकित करें.

$x = \frac{π}{6} + \frac{π n}{2}, \frac{π}{3} + \frac{π n}{2}$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए