ट्रिगोनोमेट्री उदाहरण

$\frac{1 + \cos (2 y)}{\sin (2 y)}$

चरण 1

यह एक सम्मिश्र संख्या का त्रिकोणमितीय रूप है जहाँ $| z |$ मापांक है और $θ$ सम्मिश्र तल पर बनाया गया कोण है.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

चरण 2

सम्मिश्र संख्या का मापांक सम्मिश्र तल पर मूल बिन्दु से दूरी है.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ जहां $z = a + b i$

चरण 3

$a = \frac{1 + \cos (2 y)}{\sin (2 y)}$ और $b = 0$ के वास्तविक मानों को प्रतिस्थापित करें.

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(\frac{1 + \cos (2 y)}{\sin (2 y)})}^{2}}$

चरण 4

$| z |$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$| z | = \sqrt{0 + {(\frac{1 + \cos (2 y)}{\sin (2 y)})}^{2}}$

चरण 4.2

उत्पाद नियम को $\frac{1 + \cos (2 y)}{\sin (2 y)}$ पर लागू करें.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(1 + \cos (2 y))}^{2}}{\sin^{2} (2 y)}}$

चरण 4.3

$1$ से गुणा करें.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(1 + \cos (2 y))}^{2}}{\sin^{2} (2 y) \cdot 1}}$

चरण 4.4

अलग-अलग भिन्न

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(1 + \cos (2 y))}^{2}}{1} \cdot \frac{1}{\sin^{2} (2 y)}}$

चरण 4.5

$\frac{1}{\sin^{2} (2 y)}$ को $\csc^{2} (2 y)$ में बदलें.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{(1 + \cos (2 y))}^{2}}{1} \cdot \csc^{2} (2 y)}$

चरण 4.6

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.6.1

${(1 + \cos (2 y))}^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$| z | = \sqrt{0 + {(1 + \cos (2 y))}^{2} \csc^{2} (2 y)}$

चरण 4.6.2

${(1 + \cos (2 y))}^{2}$ को $(1 + \cos (2 y)) (1 + \cos (2 y))$ के रूप में फिर से लिखें.

$| z | = \sqrt{0 + (1 + \cos (2 y)) (1 + \cos (2 y)) \csc^{2} (2 y)}$

चरण 4.7

FOIL विधि का उपयोग करके $(1 + \cos (2 y)) (1 + \cos (2 y))$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.7.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$| z | = \sqrt{0 + (1 (1 + \cos (2 y)) + \cos (2 y) (1 + \cos (2 y))) \csc^{2} (2 y)}$

चरण 4.7.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$| z | = \sqrt{0 + (1 \cdot 1 + 1 \cos (2 y) + \cos (2 y) (1 + \cos (2 y))) \csc^{2} (2 y)}$

चरण 4.7.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$| z | = \sqrt{0 + (1 \cdot 1 + 1 \cos (2 y) + \cos (2 y) \cdot 1 + \cos (2 y) \cos (2 y)) \csc^{2} (2 y)}$

चरण 4.8

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.8.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.8.1.1

$1$ को $1$ से गुणा करें.

$| z | = \sqrt{0 + (1 + 1 \cos (2 y) + \cos (2 y) \cdot 1 + \cos (2 y) \cos (2 y)) \csc^{2} (2 y)}$

चरण 4.8.1.2

$\cos (2 y)$ को $1$ से गुणा करें.

$| z | = \sqrt{0 + (1 + \cos (2 y) + \cos (2 y) \cdot 1 + \cos (2 y) \cos (2 y)) \csc^{2} (2 y)}$

चरण 4.8.1.3

$\cos (2 y)$ को $1$ से गुणा करें.

$| z | = \sqrt{0 + (1 + \cos (2 y) + \cos (2 y) + \cos (2 y) \cos (2 y)) \csc^{2} (2 y)}$

चरण 4.8.1.4

$\cos (2 y) \cos (2 y)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.8.1.4.1

$\cos (2 y)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$| z | = \sqrt{0 + (1 + \cos (2 y) + \cos (2 y) + \cos (2 y) \cos (2 y)) \csc^{2} (2 y)}$

चरण 4.8.1.4.2

$\cos (2 y)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$| z | = \sqrt{0 + (1 + \cos (2 y) + \cos (2 y) + \cos (2 y) \cos (2 y)) \csc^{2} (2 y)}$

चरण 4.8.1.4.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$| z | = \sqrt{0 + (1 + \cos (2 y) + \cos (2 y) + {\cos (2 y)}^{1 + 1}) \csc^{2} (2 y)}$

चरण 4.8.1.4.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$| z | = \sqrt{0 + (1 + \cos (2 y) + \cos (2 y) + \cos^{2} (2 y)) \csc^{2} (2 y)}$

चरण 4.8.2

$\cos (2 y)$ और $\cos (2 y)$ जोड़ें.

$| z | = \sqrt{0 + (1 + 2 \cos (2 y) + \cos^{2} (2 y)) \csc^{2} (2 y)}$

चरण 4.9

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$| z | = \sqrt{0 + 1 \csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \cos^{2} (2 y) \csc^{2} (2 y)}$

चरण 4.10

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.10.1

$\csc^{2} (2 y)$ को $1$ से गुणा करें.

$| z | = \sqrt{0 + \csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \cos^{2} (2 y) \csc^{2} (2 y)}$

चरण 4.10.2

ज्या और कोज्या के संदर्भ में $\csc (2 y)$ को फिर से लिखें.

$| z | = \sqrt{0 + \csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \cos^{2} (2 y) {(\frac{1}{\sin (2 y)})}^{2}}$

चरण 4.10.3

उत्पाद नियम को $\frac{1}{\sin (2 y)}$ पर लागू करें.

$| z | = \sqrt{0 + \csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \cos^{2} (2 y) (\frac{1^{2}}{\sin^{2} (2 y)})}$

चरण 4.10.4

एक का कोई भी घात एक होता है.

$| z | = \sqrt{0 + \csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \cos^{2} (2 y) (\frac{1}{\sin^{2} (2 y)})}$

चरण 4.10.5

$\cos^{2} (2 y)$ और $\frac{1}{\sin^{2} (2 y)}$ को मिलाएं.

$| z | = \sqrt{0 + \csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \frac{\cos^{2} (2 y)}{\sin^{2} (2 y)}}$

चरण 4.11

$\frac{\cos^{2} (2 y)}{\sin^{2} (2 y)}$ को $\cot^{2} (2 y)$ में बदलें.

$| z | = \sqrt{0 + \csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \cot^{2} (2 y)}$

चरण 4.12

$0$ और $\csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \cot^{2} (2 y)$ जोड़ें.

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \cot^{2} (2 y)}$

चरण 4.13

$\csc^{2} (2 y) + 2 \cos (2 y) \csc^{2} (2 y) + \cot^{2} (2 y)$ को गुणनखंड रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.13.1

मध्य पद को फिर से लिखें.

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + 2 \csc (2 y) \cot (2 y) + 0 + \cot^{2} (2 y)}$

चरण 4.13.2

पदों को पुनर्व्यवस्थित करें.

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + 2 \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot^{2} (2 y) + 0}$

चरण 4.13.3

पूर्ण वर्ग नियम का उपयोग करके पहले तीन पदों का गुणनखंड करें.

$| z | = \sqrt{{(\csc (2 y) + \cot (2 y))}^{2} + 0}$

चरण 4.13.4

${(\csc (2 y) + \cot (2 y))}^{2}$ को $(\csc (2 y) + \cot (2 y)) (\csc (2 y) + \cot (2 y))$ के रूप में फिर से लिखें.

$| z | = \sqrt{(\csc (2 y) + \cot (2 y)) (\csc (2 y) + \cot (2 y)) + 0}$

चरण 4.13.5

FOIL विधि का उपयोग करके $(\csc (2 y) + \cot (2 y)) (\csc (2 y) + \cot (2 y))$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.13.5.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$| z | = \sqrt{\csc (2 y) (\csc (2 y) + \cot (2 y)) + \cot (2 y) (\csc (2 y) + \cot (2 y)) + 0}$

चरण 4.13.5.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$| z | = \sqrt{\csc (2 y) \csc (2 y) + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) (\csc (2 y) + \cot (2 y)) + 0}$

चरण 4.13.5.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$| z | = \sqrt{\csc (2 y) \csc (2 y) + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot (2 y) \cot (2 y) + 0}$

चरण 4.13.6

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.13.6.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.13.6.1.1

$\csc (2 y) \csc (2 y)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.13.6.1.1.1

$\csc (2 y)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$| z | = \sqrt{\csc (2 y) \csc (2 y) + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot (2 y) \cot (2 y) + 0}$

चरण 4.13.6.1.1.2

$\csc (2 y)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$| z | = \sqrt{\csc (2 y) \csc (2 y) + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot (2 y) \cot (2 y) + 0}$

चरण 4.13.6.1.1.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$| z | = \sqrt{{\csc (2 y)}^{1 + 1} + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot (2 y) \cot (2 y) + 0}$

चरण 4.13.6.1.1.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot (2 y) \cot (2 y) + 0}$

चरण 4.13.6.1.2

$\cot (2 y) \cot (2 y)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.13.6.1.2.1

$\cot (2 y)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot (2 y) \cot (2 y) + 0}$

चरण 4.13.6.1.2.2

$\cot (2 y)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot (2 y) \cot (2 y) + 0}$

चरण 4.13.6.1.2.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + {\cot (2 y)}^{1 + 1} + 0}$

चरण 4.13.6.1.2.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + \csc (2 y) \cot (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot^{2} (2 y) + 0}$

चरण 4.13.6.2

$\csc (2 y) \cot (2 y)$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot^{2} (2 y) + 0}$

चरण 4.13.6.3

$\cot (2 y) \csc (2 y)$ और $\cot (2 y) \csc (2 y)$ जोड़ें.

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + 2 \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot^{2} (2 y) + 0}$

चरण 4.13.7

$\csc^{2} (2 y) + 2 \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot^{2} (2 y)$ और $0$ जोड़ें.

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + 2 \cot (2 y) \csc (2 y) + \cot^{2} (2 y)}$

चरण 4.13.8

पूर्ण वर्ग नियम का उपयोग करके गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.13.8.1

जाँच करें कि मध्य पद पहले पद और तीसरे पद में वर्गीकृत की जा रही संख्याओं के गुणनफल का दोगुना है.

$2 \cot (2 y) \csc (2 y) = 2 \cdot \csc (2 y) \cdot \cot (2 y)$

चरण 4.13.8.2

बहुपद को फिर से लिखें.

$| z | = \sqrt{\csc^{2} (2 y) + 2 \cdot \csc (2 y) \cdot \cot (2 y) + \cot^{2} (2 y)}$

चरण 4.13.8.3

पूर्ण वर्ग त्रिपद नियम $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ का उपयोग करके गुणनखंड करें, जहाँ $a = \csc (2 y)$ और $b = \cot (2 y)$ है.

$| z | = \sqrt{{(\csc (2 y) + \cot (2 y))}^{2}}$

चरण 4.14

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$| z | = \csc (2 y) + \cot (2 y)$

चरण 5

सम्मिश्र तल पर बिंदु का कोण वास्तविक भाग पर सम्मिश्र भाग का व्युत्क्रम स्पर्शरेखा होता है.

$θ = \arctan (\frac{0}{\frac{1 + \cos (2 y)}{\sin (2 y)}})$

चरण 6

$θ = \arctan (\frac{0}{\frac{1 + \cos (2 y)}{\sin (2 y)}})$ और $| z | = \csc (2 y) + \cot (2 y)$ के मानों को प्रतिस्थापित करें.

$\csc (2 y) + \cot (2 y) (\cos (\arctan (\frac{0}{\frac{1 + \cos (2 y)}{\sin (2 y)}})) + i \sin (\arctan (\frac{0}{\frac{1 + \cos (2 y)}{\sin (2 y)}})))$