ट्रिगोनोमेट्री उदाहरण

$2 \sec^{2} (θ) - \tan^{4} (θ) = - 1$

चरण 1

$2 \sec^{2} (θ)$ को $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ पहचान के आधार पर $2 (1 + \tan^{2} (θ))$ से बदलें.

$2 (1 + \tan^{2} (θ)) - \tan^{4} (θ) = - 1$

चरण 2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$2 \cdot 1 + 2 \tan^{2} (θ) - \tan^{4} (θ) = - 1$

चरण 2.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2 + 2 \tan^{2} (θ) - \tan^{4} (θ) = - 1$

चरण 3

बहुपद को पुन: व्यवस्थित करें.

$- \tan^{4} (θ) + 2 \tan^{2} (θ) + 2 = - 1$

चरण 4

समीकरण में $u = \tan^{2} (θ)$ प्रतिस्थापित करें. इससे द्विघात सूत्र का उपयोग करना आसान हो जाएगा.

$- u^{2} + 2 u + 2 = - 1$

$u = \tan^{2} (θ)$

चरण 5

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$- u^{2} + 2 u + 2 + 1 = 0$

चरण 6

$2$ और $1$ जोड़ें.

$- u^{2} + 2 u + 3 = 0$

चरण 7

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$- u^{2} + 2 u + 3$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1

$- u^{2}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$- (u^{2}) + 2 u + 3 = 0$

चरण 7.1.2

$2 u$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$- (u^{2}) - (- 2 u) + 3 = 0$

चरण 7.1.3

$3$ को $- 1 (- 3)$ के रूप में फिर से लिखें.

$- (u^{2}) - (- 2 u) - 1 \cdot - 3 = 0$

चरण 7.1.4

$- (u^{2}) - (- 2 u)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$- (u^{2} - 2 u) - 1 \cdot - 3 = 0$

चरण 7.1.5

$- (u^{2} - 2 u) - 1 (- 3)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$- (u^{2} - 2 u - 3) = 0$

चरण 7.2

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

AC विधि का उपयोग करके $u^{2} - 2 u - 3$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ के स्वरूप पर विचार करें. पूर्णांकों का एक ऐसा युग्म ज्ञात कीजिए जिसका गुणनफल $c$ है और जिसका योग $b$ है और इस स्थिति में जिसका गुणनफल $- 3$ है और जिसका योग $- 2$ है.

$- 3, 1$

चरण 7.2.1.2

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$- ((u - 3) (u + 1)) = 0$

चरण 7.2.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$- (u - 3) (u + 1) = 0$

चरण 8

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$u - 3 = 0$

$u + 1 = 0$

चरण 9

$u - 3$ को $0$ के बराबर सेट करें और $u$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$u - 3$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$u - 3 = 0$

चरण 9.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $3$ जोड़ें.

$u = 3$

चरण 10

$u + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $u$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$u + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$u + 1 = 0$

चरण 10.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$u = - 1$

चरण 11

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $- (u - 3) (u + 1) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$u = 3, - 1$

चरण 12

हल किए गए समीकरण में $u = \tan^{2} (θ)$ के वास्तविक मान को वापस प्रतिस्थापित करें.

$\tan^{2} (θ) = 3$

${(\tan^{2} (θ))}^{1} = - 1$

चरण 13

$\tan (θ)$ के लिए पहला समीकरण हल करें.

$\tan^{2} (θ) = 3$

चरण 14

$\tan (θ)$ के लिए समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$\tan (θ) = \pm \sqrt{3}$

चरण 14.2

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.2.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$\tan (θ) = \sqrt{3}$

चरण 14.2.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$\tan (θ) = - \sqrt{3}$

चरण 14.2.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$\tan (θ) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

चरण 15

$\tan (θ)$ का मान ज्ञात करने के लिए दूसरा समीकरण हल करें.

${(\tan^{2} (θ))}^{1} = - 1$

चरण 16

$\tan (θ)$ के लिए समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.1

कोष्ठक हटा दें.

$\tan^{2} (θ) = - 1$

चरण 16.2

$\tan (θ) = \pm \sqrt{- 1}$

चरण 16.3

$\sqrt{- 1}$ को $i$ के रूप में फिर से लिखें.

$\tan (θ) = \pm i$

चरण 16.4

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.4.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$\tan (θ) = i$

चरण 16.4.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$\tan (θ) = - i$

चरण 16.4.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$\tan (θ) = i, - i$

चरण 17

$- \tan^{4} (θ) + 2 \tan^{2} (θ) + 2 = - 1$ का हल $\tan (θ) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, i, - i$ है.

$\tan (θ) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, i, - i$

चरण 18

$θ$ को हल करने के लिए प्रत्येक हल सेट करें.

$\tan (θ) = \sqrt{3}$

$\tan (θ) = - \sqrt{3}$

$\tan (θ) = i$

$\tan (θ) = - i$

चरण 19

$θ$ के लिए $\tan (θ) = \sqrt{3}$ में हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 19.1

स्पर्शरेखा के अंदर से $θ$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम स्पर्शरेखा लें.

$θ = \arctan (\sqrt{3})$

चरण 19.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 19.2.1

$\arctan (\sqrt{3})$ का सटीक मान $60$ है.

$θ = 60$

चरण 19.3

पहले और तीसरे चतुर्थांश में स्पर्शरेखा फलन धनात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, चौथे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए संदर्भ कोण को $180$ से घटाएं.

$θ = 180 + 60$

चरण 19.4

$180$ और $60$ जोड़ें.

$θ = 240$

चरण 19.5

$\tan (θ)$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 19.5.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{180}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{180}{| b |}$

चरण 19.5.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $1$ से बदलें.

$\frac{180}{| 1 |}$

चरण 19.5.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\frac{180}{1}$

चरण 19.5.4

$180$ को $1$ से विभाजित करें.

$180$

चरण 19.6

$\tan (θ)$ फलन की अवधि $180$ है, इसलिए मान दोनों दिशाओं में प्रत्येक $180$ डिग्री दोहराए जाएंगे.

$θ = 60 + 180 n, 240 + 180 n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 20

$θ$ के लिए $\tan (θ) = - \sqrt{3}$ में हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 20.1

$θ = \arctan (- \sqrt{3})$

चरण 20.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 20.2.1

$\arctan (- \sqrt{3})$ का सटीक मान $- 60$ है.

$θ = - 60$

चरण 20.3

दूसरे और चौथे चतुर्थांश में स्पर्शरेखा फलन ऋणात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, तीसरे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए संदर्भ कोण को $180$ से घटाएं.

$θ = - 60 - 180$

चरण 20.4

दूसरा हल निकालने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 20.4.1

$360 °$ को $- 60 - 180 °$ में जोड़ें.

$θ = - 60 - 180 ° + 360 °$

चरण 20.4.2

$120 °$ का परिणामी कोण $- 60 - 180$ के साथ धनात्मक और कोटरमिनल है.

$θ = 120 °$

चरण 20.5

$\tan (θ)$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 20.5.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{180}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{180}{| b |}$

चरण 20.5.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $1$ से बदलें.

$\frac{180}{| 1 |}$

चरण 20.5.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\frac{180}{1}$

चरण 20.5.4

$180$ को $1$ से विभाजित करें.

$180$

चरण 20.6

धनात्मक कोण प्राप्त करने के लिए प्रत्येक ऋणात्मक कोण में $180$ जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 20.6.1

धनात्मक कोण ज्ञात करने के लिए $180$ को $- 60$ में जोड़ें.

$- 60 + 180$

चरण 20.6.2

$180$ में से $60$ घटाएं.

$120$

चरण 20.6.3

नए कोणों की सूची बनाएंं.

$θ = 120$

चरण 20.7

$θ = 120 + 180 n, 120 + 180 n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 21

$θ$ के लिए $\tan (θ) = i$ में हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 21.1

$θ = \arctan (i)$

चरण 21.2

$\arctan (i)$ की व्युत्क्रम स्पर्शरेखा अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

चरण 22

$θ$ के लिए $\tan (θ) = - i$ में हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 22.1

$θ = \arctan (- i)$

चरण 22.2

$\arctan (- i)$ की व्युत्क्रम स्पर्शरेखा अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

चरण 23

सभी हलों की सूची बनाएंं.

$θ = 60 + 180 n, 240 + 180 n, 120 + 180 n, 120 + 180 n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 24

हल समेकित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 24.1

$60 + 180 n$ और $240 + 180 n$ को $60 + 180 n$ में समेकित करें.

$θ = 60 + 180 n, 120 + 180 n, 120 + 180 n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 24.2

$120 + 180 n$ और $120 + 180 n$ को $120 + 180 n$ में समेकित करें.

$θ = 60 + 180 n, 120 + 180 n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए